Exercice 1 Calculs d intensité (3 points)

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1 Page 1/ 5 Devoir électrocinétique n o 1 M1 EFTIS/IUFM Nice Le contrôle est constitué de cinq exercices indépendants, le barême étant approximatif et donné à titre indicatif seulement. Toute erreur éventuelle de l énoncé doit être indiquée dans la copie et ne doit pas empêcher la poursuite de l exercice. Exercice 1 Calculs d intensité ( points) 1. Déterminer l íntensité du courant traversant la résistance = 1Ω dans le montage suivant. On donne e 1 = 1V, e = V, e = 4V et r 1 = 1Ω, r = Ω, r = 4Ω. e1 e r1 r e r 1. Une façon de répondre à la question posée est de d abord simplifier le circuit électrique. Chaque branche, comportant un générateur de tension idéal en série avec une résistance, peut être remplacée de manière équivalente par un générateur de Norton (cf circuit de gauche). On peut alors simplifier dans un deuxième temps en faisant apparaitre un seul générateur de courant idéal I en parallèle avec une résistance (cf circuit de droite), tels que I = e 1 / 1 + e / + e / = A et 1/ = 1/r 1 +1/r 1 +1/r 1, soit =.57Ω. On trouve alors que I = + I = 1.1A. e1/r1 e/r e/r I r1 r r ' I' I Exercice éponse d un circuit à un échelon de tension (5 points) On considère un condensateur de capacité C, et de résistance de fuite, monté en série avec une résistance. A t =, on ferme l interrupteur K, le condensateur étant non chargé 1. Etablir les expressions de u(t) et i(t). Tracer les graphes correspondants.. En régime permanent, quelle est alors l énergie électrocinétique W d origine électrostatique emmagasinée dans le condensateur?. En régime permanent toujours, que vaut la puissance fournie par le générateur au reste du circuit? 4. On compare la charge du condensateur en l absence ou présence de la résistance de fuite. Examiner les cas t et t + Année 1/11 C. aufaste

2 Page / 5 Devoir électrocinétique n o 1 M1 EFTIS/IUFM Nice 1. En appliquant les lois des mailles et des noeuds, et en utilisant les caractéristiques des dipôles, on obtient les deux équations E = i + u et i = Cdu/dt + u/, qui en se combinant conduisent à du/dt + + C u = 1 CE. En posant (facultatif mais fait bien ressortir les grandeurs caractéristiques) τ = C et τ = C/(+ ), on obtient d dt u+ u τ = E τ, dont la résolution (cf cours) donne pour solution générale u(t) = Ae t/τ + τ τ E, où A est une constante à déterminer. La tension aux bornes d un condensateur est une grandeur continue. A t =, u =. Donc u( + ) =. Avec cette condition, on trouve : u(t) = τ τ E(1 e t/τ ) i(t) = E u = E τ E τ (1 e t/τ ) En remarquant que τ τ, on obtient les graphiques de la figure suivante. τ τ E E. u(t) i(t) E (1 τ τ ) t t. En régime permanent, l énergie électrocinétique W vaut W = 1 Cu( ) = 1 ( ) τ C E τ. En régime permanent, la puissance P g fournie par le générateur au reste du circuit vaut P g = Ei( ) = E (1 τ /τ) = E + 4. u(t) = τ τ E(1 e t/τ ). Quand t, t/τ << 1 et donc e t/τ 1 t/τ. D où u(t) t τ τ E(1 (1 t/τ )) = E t τ. Année 1/11 C. aufaste

3 Page / 5 Devoir électrocinétique n o 1 M1 EFTIS/IUFM Nice Cette expression est indépendante de, donc la charge du condensateur en t = sera la même quelle que soit la résistance de fuite. Quand t, u + E, qui tend vers lorsque = et E pour. Exercice Dipôles, C série ou parallèle ( points) On considère les deux groupements g 1 et g pris séparément alimentés en courant sinusoidal à la pulsation ω. 1. Déterminer C et pour que les deux groupements soient équivalents entre A et.. Pour quelle valeur de ω a-t-on C = C? g1 g A A C C' ' 1. En notant Z 1 et Z les impédances complexes correspondant respectivement aux groupement g 1 et g. On trouve Z 1 = 1+Cjω = (1 Cjω) 1+(Cω) = 1+(Cω) j Cω 1+(Cω) Z = + 1 jc ω = j 1 C ω En égalisant les parties réelles et imaginaires de Z 1 et Z, on trouve. En utilisant les expressions ci-dessus, on trouve C = C 1+(Cω) (Cω) 1 = 1+(Cω) C 1 = C (Cω) En prenant ω = 1/C, on a donc bien C = C. Exercice 4 Montage déphaseur (5 points) On considère le circuit de la figure suivante avec e(t) = E m cos(ωt). On pose u(t) = U m cos(ωt+ϕ). 1. Montrer que U m, l amplitude de la tension u(t), est indépendante de, L et C. A u(t) L L C. Exprimer le déphasage ϕ et préciser comment ϕ varie lorsque l on fait varier de à +. i e(t) Année 1/11 C. aufaste

4 Page 4/ 5 Devoir électrocinétique n o 1 M1 EFTIS/IUFM Nice 1. En raisonnant avec le formalisme complexe, on obtient les relations suivantes (on remarque que l on peut faire apparaitre des diviseurs de tensions pour calculer u A et u ) : u A = 1/jCω 1/jCω + e = 1 e = 1 1+Cjω e u = jlω jlω +jlω e = 1 e u = u A u = 1 Cjω 1+Cjω 1+(Cjω) U m = 1+(Cjω) e E m = E m. On peut réecrire u e = 1 (1+(Cω) ) [1 (Cω) jcω]. D où ϕ = arg[1 (Cω) jcω]. On pose P = 1 (Cω) jc, et ϕ = arg[p]. egardons les cas particuliers. Si =, P = 1 et ϕ = (modulo π). Si, P (Cω) et ϕ = π (modulo π). On remarque que sin(ϕ) = C/ F quelque soit. Donc ϕ varie plutôt entre ( = ) et π ( ). Parmi les fonctions sin, cos et tan, seule cos est à la fois bijective ET continue entre π et. Il est donc plus simple d utiliser cette fonction pour exprimer ϕ. cos(ϕ) = e[p] P. cos(ϕ) = 1 (Cω) 1+(Cω) La fonction arccos étant définie entre et π, on a donc ( ) 1 (Cω) ϕ = arccos 1+(Cω) On remarque qu en = 1/ωC, ϕ = π/. Le tracé exact est donné par la figure suivante..5 1 ϕ Cω Exercice 5 Facteur de puissance (4 points) Un abonné EDF dispose d une source de tension sinusoidale u de fréquence 5 Hz et de valeur efficace U = V. Il branche un appareil de chauffage (non inductif) qui consomme P 1 = 1kW et un moteur inductif (impédance Z modélisable par une résistance en série avec une inductance L, soit Z = +jl ω) de puissance moyenne P = kw et de facteur de puissance cos(ϕ Z ) = Faire un schéma équivalent de l installation électrique.. Définir les intensités (valeurs efficaces, déphasages) i 1, i dans les deux dérivations et i dans la ligne d alimentation. Année 1/11 C. aufaste

5 Page 5/ 5 Devoir électrocinétique n o 1 M1 EFTIS/IUFM Nice. EDF recommande d améliorer le facteur de puissance de l installation. Pour cela on adjoint un condensateur en dérivation. Quelle est la valeur de C qui permet d obtenir un facteur de puissance égal à 1, c est-à-dire avoir u et i en phase? i i u Z u 1 1/jCw 1. 1 jlw jlw Zeq Le schéma équivalent correspond à celui de gauche sur la figure ci-dessus.. Soit I et ϕ i, respectivement la valeur efficace et le déphasage de i (i(t) = Icos(ϕ i )). De même avec (I 1, ϕ ) et (I, ϕ i ) pour i 1 et i. caractéristiques de i 1 : 1 est un composant purement résistif, donc P 1 = UI 1 et ϕ = ϕ u =. I 1 = P 1 /U = 4.5A. caractéristiques de i : dans le cours on a montré que P = UI cos(z ), soit I = P /U cos(z ) = 18.A. Par définition, i = u/z, soit ϕ i = ϕ u ϕ Z = ϕ Z. On sait que cos(ϕ Z ) =.5 et ϕ Z [,π/] (pour s en convaincre, tracer dans le plan complexe l impédance d une résistance en série avec une inductance). Soit ϕ Z = +π/ et ϕ i = π/. caractéristiques de i : d après la loi des noeuds, i = i 1 + i. En traçant ces grandeurs dans le plan complexe (cf figure), on constate que Soit I = e[i] = e[i 1 ]+e[i ] = I I Im[i] = Im[i 1 ]+Im[i ] = I (I I ) +( I ) = =.8 A. cos(ϕ i ) = e[i]/i = 1.6/.8 =.65. Im e i i. Pour que le facteur de puissance de l installation soit égal à 1, il faut que l ensemble de l installation se comporte comme un élément purement résistif, c est-à-dire qu il faut que Z eq de la figure 1 (droite) ait une partie imaginaire nulle. Une autre façon de procéder est de faire une représentation complexe. On aura désormais i = i 1 +i +i, avec i le courant circulant dans le condensateur. On souhaite avoir i I. D autre réel (Im[i] = ). Il faut donc que Im[i 1 ]+Im[i ]+Im[i ] =, soit Im[i ] = Im[i ] = part, i = ujcω. u étant réel, on a Im[i ] = UCω. En réunissant les deux expressions on trouve que la condition pour avoir un facteur de puissance global égal à 1 peut s écrire : I = UCω C = I Uω = 8µF Année 1/11 C. aufaste