1 SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS ex. 1

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1 3 e - programme 2012 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 1 sur 10 Ch.N4 : Systèmes d équations 1 SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS ex. 1 DÉFINITIONS 1 5x + 2y = 4 est un système de deux équations du premier degré à deux inconnues désignées par les lettres 2x + y = 7 x et y. Un couple de nombres (x ; y) est solution d'un système s'il vérifie simultanément les deux égalités. Exemple 1 : 5x + 2y = 4 Le couple (2 ; 3) est-il solution du système 2x + y = 7? 5x + 2y = ( 3) = 10 6 = 4 Pour x = 2 et y = 3 :. 2x + y = ( 3) = 7 Les deux égalités sont vérifiées pour x = 2 et y = 3 donc le couple (2 ; 3) est solution du système 5x + 2y = 4 2x + y = 7. Exercice du cours n 1 page 76 4x 3y = 24,5 Les couples ( 5 ; 1,5) et (1 ; 9,5) sont-ils solutions du système 3x + 7y = 4,5? x = 5 y = 1,5 4 ( 5) 3 1,5 = 20 4,5 = 24,5 3 ( 5) + 7 1,5 = ,5 = 4,5 ( 5 ; 1,5) x = 1 y = 9, ,5 = 4 13,5 = 9, ,5 = ,5 = 69,5 (1 ; 9,5) Exercice n 1 page 77 Tour de chauffe a) Vérifie que le nombre 5 est solution de l'équation 3x + 7 = 8. b) Vérifie que le couple (3 ; 2) est solution des équations et du système suivants. 3x + 5y = 1 7x + 6y = 9 3 ( 5) + 7 = = 8 5 x = 3 y = ( 2) = 9 + ( 10) = 1 (3 ; 2) ( 2) = 21 + ( 12) = 9 (3 ; 2) ( 2) = 3 + ( 4) = ( 2) = 6 ( 10) = = 16 (3 ; 2) x + 2y = 7 2x 5y = 16 2 RÉSOLUTION ex. 2 à 4 DÉFINITION 2 Résoudre un système de deux équations à deux inconnues revient à déterminer tous les couples de nombres (x ; y) qui vérifient simultanément les deux équations.

2 3 e - programme 2012 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 2 sur Résolution par combinaisons Exemple 2 : 5x 4y = 8 Résous le système par combinaisons. 2x + 5y = 1 Détermination d'une des inconnues On cherche à éliminer l'inconnue y pour se ramener à une équation du premier degré à une inconnue. 5 (5x 4y) = 5 8 On multiplie les deux membres de la première équation par 5 et ceux de la 4 (2x + 5y) = 4 1 seconde par 4. 25x 20y = 40 On obtient ainsi des coefficients opposés devant y dans les deux équations. 8x + 20y = 4 25x + 8x = On ajoute membre à membre les deux équations du système ainsi obtenu pour éliminer y. 33x = 44 On résout cette équation à une inconnue pour trouver la valeur de x. x = = = 4 3 Détermination de l'autre inconnue y = y = 8 4y = 4 3 y = 1 3 5x 4y = 8 Donc, si 2x + 5y = 1 alors x = On remplace x par 4 dans l'une des deux équations pour trouver y (ici la y = 1 3 première). On résout cette équation à une inconnue pour trouver la valeur de y.. On vérifie ensuite que le couple 4 3, 1 est bien une solution de ce 3 système. On en déduit que le couple 4 3, 1 est la solution de ce système. 3 Remarque : Pour trouver la valeur de y, on pouvait aussi éliminer l inconnue x. Exercice du cours n 3 page 76 3x 7y = 29 Résous par combinaisons le système 4x 5y = x + 28y = x 15y = 99 12x+ 28y + 12x 15y = y = 215 y = x 7y = 29 3x = x = 29 3x = x = x = = , Exercice du cours n 4 page 76

3 3 e - programme 2012 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 3 sur 10 2x + 3y = 3,5 Résous par la méthode de ton choix le système : x 4y = 5,5. x y x = 5,5 + 4y x 5,5 + 4y 2( 5,5 + 4y) + 3y = 3,5 11 8y + 3y = 3,5 11 5y = 3,5 5y = 3,5 11 5y = 7,5 y = 7,5 5 y = 1,5 y x 4 1,5 = 5,5 x = 5,5 + 6 = 0,5 (0,5, 1,5) Exercice n 8 page 77 Résous les systèmes suivants en utilisant la méthode par combinaisons. 3x 5y = 5 2x + 3y = 6 a) b) 4x + 7y = 7 5x + 7y = x 20y = 20 12x 21y = 21 12x 20y 12x 21y = y = 41 y = 1 3x 5y = 5 3x 5 ( 1) = 5 3x + 5 = 5 3x = 0 x = 0 (0, 1) ( 1) = = ( 1) = 0 7= x + 15y 10x 14y = y = 12 2x + 3y = 6 2x = 6 2x + 36 = 6 2x = 30 x = 15 ( 15, 12) 2 ( 15) = = 6 5 ( 15) = = 9 Exercice n 9 page 78 Résous les systèmes suivants en utilisant la méthode par combinaisons. 2x + 5y = 7 3x + 5y = 2 a) 3x + 4y = 3 b) 5x + 2y = 1 10x + 15y = 30 10x 14y = 18 c) 2x 5y = 1 3x + 7y = 4

4 3 e - programme 2012 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 4 sur x + 15y = 21 6x 8y = 6 6x 6x + 15y 8y = y = 27 y = x + 4y = 3 3x = 3 3x = 3 3x = x = x = , = = 49 7 = = = 21 7 = 3 15x + 25y = x + ( 6)y = 3 15x 15x + 25y + ( 6)y = y = 13 y = x + 5y = 2 3x = 2 3x = 2 3x = x = x = , = = = = = = x + 6x + 15y + 14y = x + 15y = 3 6x + 14y = 8 29y = 11

5 y = e - programme 2012 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 5 sur 10 2x 5y = 1 2x = 1 2x = 1 2x = x = x = , = = = = = = 4 Exercice n 10 page 78 Avec un peu d'astuce (bis) Résous les systèmes suivants en utilisant la méthode par combinaisons. 3x 2y = 18 5x + 4y = 11 3x + y = 12 a) b) c) 9x + 10y = 6 15x + 2y = 7 5x y = 4 15x 10y = x + 10y = 6 15x + 9x 10y + 10y = x + y = 21 d) 4x 3y = 13 24x = 96 x = x = 4 3x 2y = 18 3( 4) 2y = y = 18 2y = y = 6 y = 3 ( 4, 3) 2 5x + 4y = 11 30x 4y = 14 5x 30x + 4y 4y = x = 25 x = 1 5x + 4y = 11 5( 1) + 4y = y = 11 4y = y = 16 y = 4 ( 1, 4) 3x + 5x + y y =

6 3 e - programme 2012 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 6 sur 10 8x = 16 x = 16 8 x = 2 3x + y = y = y = 12 y = 12 6 y = 6 (2, 6) 3 6x + 3y = 63 4x 3y = 13 6x + 4x + 3y 3y = x = 50 x = x = 5 2x +y = y = y = 21 y = y = 11 (5, 11) 2.1 Résolution par substitution Exemple 3 : Résous le système 3x + y = 9 par substitution. 4x 3y = 17 y = 9 + 3x On exprime y en fonction de x à l'aide de la première équation. 4x 3(9 + 3x) = 17 4x 27 9x = 17 5x = 10 x = 2 y = ( 2) y = 9 6 y = 3 Donc, si 3x + y = 9 On remplace (substitue) y par 9 + 3x dans la deuxième équation. On résout l'équation à une inconnue ainsi obtenue pour trouver la valeur de x. On remplace x par 2 dans l'équation trouvée à la première étape pour trouver la valeur de y. 4x 3y = 17 alors x = 2 y = 3. On vérifie ensuite que le couple ( 2 ; 3) est une solution effective de ce système en appliquant ce qui a été vu partie 1. On en déduit que ( 2 ; 3) est la solution de ce système. Exercice du cours n 2 page 76 5x + y = 17 Résous par substitution le système 3x + 4y = 22. y x y = 17 5x y 17 5x 3x + 4(17 5x) = 22 3x x = 22 23x = x = 46 x = x = 2

7 3 e - programme 2012 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 7 sur 10 x y = 17 y = = = = = = 17 (2, 7) Exercice n 5 page 77 Résous les systèmes suivants en utilisant la méthode par substitution. a) x 3y = 2 5x 2y = 7 b) c) 6x + y = 8 2x 7y = 6 3x + y = 2 10x + 7y = 8 x = 3y + 2 2(3y + 2) 7y = 6 6y + 4 7y = 6 y = 6 4 y = 2 y = 2 x = 3y + 2 x = 3 ( 2) + 2 = = 4 ( 4, 2) 4 3 ( 2) = = 2 2 ( 4) 7 ( 2) = = 6 y = 3x 2 5x 2( 3x 2) = 7 5x + 6x + 4 = 7 11x = x = 11 x = 1 y = 3x 2 y = 3 ( 1) 2 = 3 2 = 1 ( 1, 1) 5 ( 1) 2 1 = 5 2 = 7 3 ( 1) + 1 = = 2 y = 6x x + 7( 6x + 8) = 8 10x 42x + 56 = 8 32x = x = 64 x = x = 2 y = 6x + 8 y = = = 4 (2, 4) ( 4) = 12 4 = ( 4) = = 8 7x + 4y = 5 d) x + 3y = 9

8 3 e - programme 2012 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 8 sur 10 x = 3y + 9 7( 3y + 9) + 4y = 5 21y y = 5 17y = y = 68 y = y = 4 x = 3y + 9 x = = = 3 ( 3, 4) 7 ( 3) = = = = 9 3 ÉTAPES POUR RÉSOUDRE UN PROBLÈME ex. 5 Exemple 4 : Un musée propose un tarif pour les adultes à 7 et un autre pour les enfants à 4,50. Lors d'une journée, ce musée a reçu la visite de 205 personnes et la recette totale a été de 1 222,50. Retrouve le nombre d'adultes et le nombre d'enfants ayant visité le musée lors de cette journée. Étape n 1 : Choisir les inconnues Soit x le nombre d'adultes et y le nombre d'enfants. On repère les inconnues. On les note généralement x et y. Étape n 2 : Mettre le problème en équation 205 personnes ont visité le musée donc x + y = 205. La recette totale a été de 1 222,50 donc 7x + 4,50y = 1 222,50. Ainsi x + y = 205 7x + 4,50y = 1 222,50. Étape n 3 : Résoudre le système. On trouve x = 120 et y = 85 (voir partie 2). Étape n 4 : Vérifier que le couple trouvé est solution du problème (voir partie 2). Étape n 5 : Conclure : 120 adultes et 85 enfants ont visité le musée lors de cette journée. On exprime les informations données dans l'énoncé en fonction de x et de y. L'énoncé se traduit donc par le système cicontre. Exercice du cours n 5 page 76 Dans une boulangerie, Paul a acheté quatre croissants et trois pains au chocolat pour 5,65. Lina a acheté, dans cette même boulangerie, trois croissants et cinq pains au chocolat pour 6,85. Retrouve le prix d'un croissant et celui d'un pain au chocolat. x y 5,65 4 x + 3 y = 5,65 6,85 3 x + 5 y = 6,85 4x + 3y = 5,65 3x + 5y = 6,85 3 ( 4) 12x + 9y = 16,95 12x 20y = 27,4

9 3 e - programme 2012 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 9 sur 10 x 9y 20y = 16,95 27,4 11y = 10,45 y = 10,45 11 = 0,95 y 4x + 3y = 5,65 4x + 3 0,95 = 5,65 4x = 5,65 2,85 4x = 2,80 x = 0,70 4 0, ,95 = 2,80 + 2,85 = 5,65 5,65 3 0, ,95 = 2,10 + 4,75 = 6,85 6,85 (0,70 ; 0,95) Exercice n 15 page 78 Extrait du Brevet a) Résoudre le système : 6x + 5y = 57 3x + 7y = 55,5 2 6x 6x + 5y 14y = x + 5y = 57 6x 14y = 111 9y = 54 y = 54 9 y = 6 y 6 6x + 5y = 57 6x = 57 6x + 30 = 57 6x = 27 x = 4,5 (4,5, 6) b) Pour classer des photos, un magasin propose deux types de rangement, des albums ou des boîtes. Léa achète six boîtes et cinq albums et paie 57. Hugo achète trois boîtes et sept albums et paie 55,50. Quel est le prix d'une boîte? Quel est le prix d'un album? x y 6x + 5y = 57 3x + 7y = 55,5 57 6x + 5y = 57 55,50 3x + 7y = 55,50 4,50 6 Exercice n 16 page 79 Parmi les quatre systèmes ci-dessous, détermine celui qui permettra de résoudre le problème suivant. «À la boulangerie, Matteo achète deux parts de pizza et quatre parts de flan pâtissier. Il paie 12. Salim achète trois parts de pizza et deux parts de flans pâtissiers. Il paie 9,80. a) Quel est le prix d'une part de pizza?

10 3 e - programme 2012 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 10 sur 10 b) Quel est le prix d'une part de flan pâtissier?» 2x + 4y = 12 2x + 2y = 12 2x + 4y = 12 2x + 4y = 9,80 3x 2y = 9,80 3x + 4y = 9,80 3x + 2y = 9,80 3x + 2y = 12 x y 12 2x + 4y = 12 5,7 + 2y = 9,8 2y = 4,1 y = 2,05 2x + 4y = 12 3x + 2y = 9,80 (1,90 ; 2,05) 0,5 x 2y = 6 3x + 2y = 9,80 2x = 3,8 x = 1,9 3x + 2y = 9,8 3 1,9 + 2y = 9,8 1,90 2,05 9,80 3x + 2y = 9,80 Exercice n 18 page 79 Extrait du Brevet Perrine a 100. Elle souhaite acheter des disques et des livres. Si elle achète quatre disques et cinq livres, il lui manque 9,50. Si elle achète trois disques et quatre livres, il lui reste 16. Calculer le prix d'un disque et celui d'un livre. x y 100 9,50 4x + 5y = , y = 84 4y = 30 y = 7,5 4x + 5y = 109,50 3x + 4y = 84 (18 ; 7,5) x = x + 4y = x + 4y = y = ,50 16x + 20y = x 20y = 420