Statistiques COURS 5. Salle 125. L3 Géographie UE Méthodologie. Intervenants : Année

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1 L3 Géographie UE Méthodologie Statistiques COURS 5 Salle 125 Intervenants : Nadège Martiny & Julien Crétat Année UFR Sciences Humaines (Département de Géographie) UMR Centre de Recherches de Climatologie (CRC)

2 Plan du cours I. Introduction à l analyse multivariée II. III. IV. Analyses factorielles : présentation générale L analyse en composantes principales (ACP) L analyse factorielle des correspondances (AFC) V. La classification automatique

3 L Analyse Factorielle des Correspondances I. Quand utiliser l AFC? II. III. IV. Particularités de l AFC Principe et méthode Interprétation

4 IV. Analyses factorielles des correspondances I. Quand utiliser l AFC? Pour étudier des tableaux de contingence (Benzécri, 1973) Qui peut croiser des variables qualitatives Ex : 272 observations de la direction du vent aux stations météorologiques de Châtillon sur Seine et Dijon CHATILLON DIJON N-NE E-SE 12 8 S-SO O-NO = 116 = 156 = 80 = 20 = 116 = 56 = 272 = 272

5 IV. Analyses factorielles des correspondances I. Quand utiliser l AFC? Pour étudier des tableaux de contingence (Benzécri, 1973) Qui peut croiser des variables qualitatives et des variables quantitatives réparties en classes Ex : relevés pluviométriques en 80 stations d un pays A B Total marginal col. N E S O Total marginal lig

6 Rmq : choix des bornes des classes * Il faut éviter de créer des classes pour lesquelles les effectifs seraient nuls ou très proches de zéro * Préférer des limites de classes qui ont une signification concrète, quand c est possible ex1 : taille des communes : une borne à 2000 h pour séparer communes rurales / urbaines ; ex2 : précipitations journalières : faire deux classes ([0] et [0,1-1 mm]) plutôt qu une seule classe ([0-1 mm]) => une valeur de zéro pour des précipitations a un sens particulier. Il est essentiel de distinguer les jours où il a plu -même faiblement- de ceux où il n a pas plu

7 IV. Analyses factorielles des correspondances I. Quand utiliser l AFC? Pour étudier des tableaux de contingence (Benzécri, 1973) Qui peut croiser des variables qualitatives et/ou des variables quantitatives réparties en classes sous forme logique (0 ou 1) Ex : existence ou absence des tranches d âge par région (résultat d enquêtes) ans ans >110 ans ILE DE France NORD EST / NORD RHONE ALPES MIDIS CENTRE / NORD OUEST On peut en fait considérer l AFC sur tableau logique comme une généralisation de l AFC. En particulier, elle sera utile dans le cas de variables quantitatives réparties en classes, pour mettre en évidence des liaisons non linéaires (ce que ne permet pas la régression ou la corrélation).

9 II. Les particularités de l AFC Dans l AFC, les lignes et les colonnes, qui représentent 2 partitions d une même population jouent des rôles analogues La somme des valeurs de chaque colonne (=effectifs marginaux lignes), ainsi que la somme des valeurs de chaque ligne (=effectifs marginaux colonnes), ont un sens spécifique Ce n est pas forcément le cas dans l ACP

10 II. Les particularités de l AFC Dans l AFC, on utilise les effectifs marginaux lignes et les effectifs marginaux colonnes pour pondérer les valeurs du tableau Dans l ACP, l analyse portait sur des valeurs centrées ou centrées/réduites pour chaque variable (colonne).

11 II. Les particularités de l AFC Dans l AFC, le travail portant sur des profils-lignes et les profilscolonnes, on choisit la métrique du khi-deux (χ2) pour le calcul des distances entre colonnes ou entre lignes Dans l ACP, la métrique utilisée est la distance euclidienne Ex: répartition des actifs de 3 unités spatiales par secteur d activité économique I II III A B C Distance euclidienne entre A et B : d 2 (A,B)=(2-4) 2 + (4-8) 2 + (2-3) 2 =21 d(a,b) = 4,58

13 III. Principe Comme pour l ACP, on cherche l axe d allongement maximum du nuage de points On détermine donc la droite qui se trouve la plus proche de tous les points simultanément

14 III. Principe Dans l AFC, on utilise la métrique du χ 2 car elle permet de mieux mettre en évidence les différences ou les ressemblances des formes de répartition que la distance euclidienne

15 Exemple I II III A B C d(b,c) = 5,10 Distance euclidienne : d 2 (A,B)=(2-4) 2 + (4-8) 2 + (2-3) 2 =21 d(a,b) = 4,58 d(a,c) = 1,73 La distance euclidienne montre que A et C se ressemblent beaucoup Ceci n est pas satisfaisant! En regardant le tableau, ce sont plutôt A et B qui montrent des répartitions similaires, avec le secteur secondaire occupant la moitié des actifs

16 Exemple I II III A B d(a,b) = 0,11 C =9 =8 =15 Distance du χ2 : d 2 d(a,c) = 0,33 d(b,c) = 0, ( A, B) = La distance du χ2 montre que A et B se ressemblent beaucoup Ceci est satisfaisant!! A et B sont proches car ils sont similaires en termes de forme de répartition

17 III. Méthode (1) on calcule les effectifs marginaux lignes et colonnes (2) on calcule le tableau des profils-lignes, où chaque élément est divisé par l effectif marginal de la ligne correspondante, soit pour la ligne i : n ' = ij n ij Eff i (3) on calcule le tableau des profils-colonnes (4) on calcule les vecteurs propres (5) on calcule les valeurs propres

18 Rappel : tableau des profils-lignes Tableau initial Eff. Marg. Lig. A B C Eff. Marg. Col Tableau des profilslignes A 1/4 0 3/4 B C 4/6 0 2/6

19 Rappel : Tableau des profils-colonnes Tableau initial Eff. Marg. Lig. A B C Eff. Marg. Col Tableau des profilscolonnes A 1/5 0 3/5 B C 4/5 0 2/5

20 Vecteurs et valeurs propres Soit A le produit matriciel suivant : [ PROF _ LIG][ PROF COL] A = t _ 1/ 4 A = 0 3/ / 3 1/ / 3 4 / / / 5 1/ /15 = 0 3/ / / / / /15 35/ 60 A = 0 25/ / / 60 On calcule ensuite : DET(A-λI)=0 Vecteurs propres Valeurs propres

21 Les axes factoriels Comme en ACP, l intérêt de chaque axe dépend du % de variance qu il explique (= inertie) Cependant, pour une AFC, la valeur brute de la valeur propre a autant d importance que le % de variance qu elle engendre : car elle donne une information sur l importance de la dispersion des individus le long de l axe factoriel

22 L Analyse factorielle des Correspondances I. Quand utiliser l AFC? II. III. IV. Particularités de l AFC Principe et méthode Interprétation

23 IV. Interprétation A. Représentation graphique B. Test de significativité C. Contributions D. Eléments supplémentaires

24 A. Représentation graphique Contrairement à l ACP, la représentation graphique superposée des «points-lignes» et des «points-colonnes» est possible - En effet, rôle analogue des lignes et des colonnes (tableau de contingence) - Par contre, on utilise des symboles différents (Ex. o pour les points-lignes, x pour les points-colonnes) L origine des axes est le centre de gravité (G) des nuages de points correspondants à chacun des deux caractères Parfois, on représente la «masse» de chaque modalité - Les symboles (o et x) ont une taille proportionnelle aux effectifs marginaux - Cela permet d interpréter les résultats en fonction du nombre d individus correspondant à telle ou telle modalité

25 Proximité entre deux points-colonnes (=modes d hébergement) = similitude des profils socio-professionnels Proximité entre deux points-lignes (=catégories socio-professionnelles) = similitude des profils d hébergement? Dans l AFC, toutes les proximités ont un sens

26 Rmq : effet Guttman

28 B. Test d indépendance Pour déterminer si la décomposition du tableau de contingence initial en axes factoriels est significative, on peut utiliser le test du χ2 - Calcul : χ 2 = NB_TOT x Trace(T) NB_TOT : population totale Trace(T) : somme des valeurs propres Le nombre de degrés de liberté k = (nb_col-1) (nb_lig-1) - On teste l indépendance en comparant χ 2 _réel au χ 2 _théo Si χ 2 _réel > χ 2 _théo, il y a rejet de l hypothèse d indépendance et la décomposition du tableau de contingence initial en axes factoriels est significatif à un seuil de N%

30 C. Contributions Contributions absolues : L équivalent des contributions en ACP : on cherche via les contributions absolues les lignes et les colonnes du tableau de contingence qui donnent le plus de sens aux axes factoriels Contributions relatives : L équivalent des qualités de représentation en ACP : on cherche via les contributions relatives si une ligne ou une colonne du tableau de contingence est bien représentée par les axes factoriels choisis permet de confirmer le choix des axes factoriels

31 C. Contributions absolues Contribution absolue de la colonne i à la CP1 : Effectif marginal de la colonne i Somme des effectifs marginaux colonnes C = i1 ( Eff i / N) Coord λ 1 2 i1 Coordonnée de la colonne i sur la CP1 Valeur propre de la CP1

32 C. Contributions absolues Contribution absolue de la ligne j à la CP1 : Effectif marginal de la ligne j Somme des effectifs marginaux lignes C = j1 ( Eff j / N) Coord λ 1 2 j1 Valeur propre de la CP1 Coordonnée de la ligne j sur la CP1

33 C. Contributions relatives Contribution relative d une ligne ou d une colonne à un axe factoriel : Comme dans l ACP, on utilise le cosinus carré de l angle β entre un point (ligne ou colonne ) et l axe factoriel * Il s interprète comme le carré d un coefficient de corrélation (=coefficient de détermination) * La somme sur tous les axes factoriels des contributions relatives pour une modalité donnée est égale à 1

35 D. Eléments supplémentaires On peut ajouter au tableau de contingence initial, après la réalisation de l AFC, des modalités supplémentaires : - Elles peuvent permettre de préciser l interprétation des axes factoriels, sans influencer les calculs, cad sans participer à leur détermination - On peut aussi mettre en élément supplémentaire une modalité qu une 1 ère AFC aura montré comme ayant une contribution exceptionnellement forte, afin de mieux voir comment se structurent les autres éléments - On peut enfin utiliser cette technique pour mettre en évidence l évolution dans le temps d un phénomène (Ex. ajout d un élément supplémentaire antérieur ou postérieur dans le temps)

36 D. Eléments supplémentaires Ces points supplémentaires peuvent être alors directement reportés graphiquement (avec des symboles différenciés) sur les plans factoriels, aux coordonnées suivantes : Ex. coordonnée d une colonne supplémentaire sur la CP1 : C + = 1 λ 1 nb _ lig j= 1 ( n + j / Eff Valeur de la colonne supplémentaire pour la ligne j j ) Coord j1 Valeur propre de la CP1 Effectif marginal de la ligne j Coordonnées des lignes sur la CP1