03/04/2016. Transformée de Fourier 2D. Transformée de Fourier 2D inverse

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1 Rappel : Transformée de Fourier Transformée de Fourier 2D Rappel : Convolution continue/discrète Transformée de Fourier 2D inverse Multiplication dans le domaine de Fourier Grâce à la correspondance convolutionproduit dans la transformée de Fourier (TF), la convolution de l'image f par un filtre de réponse impusionnelle h peut se calculer comme la TF inverse du produit F H, où F (resp. H) est la TF de f (resp. h). Multiplication dans le domaine de Fourier

2 Multiplication dans le domaine de Fourier La complexité de l'implantation par multiplication dans le domaine fréquentiel est celle de 2 calculs de TF (1 direct + 1 inverse), plus 1 multiplication. Pour une image de taille N N, le coût de la multiplication est en O(N 2 ), En utilisant la transformée de Fourier rapide (FFT), le coût de la TF est en O(N.log 2 (N)). 41 Multiplication dans le domaine de Fourier Dans ce cas, la complexité est indépendante de la taille K K du noyau de convolution. Ce type d'implantation peut être intéressant pour des gros noyaux, (K 2 >> log 2 (N)). Il nécessite cependant une grande précision dans les valeurs de la TF (représentation en complexes flottants). 42 Multiplication dans le domaine de Fourier La recette : Multiplier f(x, y) par ( 1) x+y Calculer la transformée de Fourier de f F(u, v) Multiplier F(u, v) par un filtre Calculer la transformée de Fourier inverse du résultat Extraire la partie réelle Multiplier cette partie réelle par ( 1) x+y Admirer le résultat Filtre passe-bas idéal Coupe toutes les hautes fréquences après une distance D 0 du centre Avec :

3 Filtre passe-bas idéal Filtre passe-bas idéal Coupe toutes les hautes fréquences après une distance D 0 du centre Filtre passe-bas idéal 1 ou 1/2 Filtre passe-bas idéal 1 ou 1/2 Coupe 1/2 hautes fréquences après une distance D 0 du centre Avec

4 Effet de la fréquence de coupure D 0 Evalué en fonction de l énergie comprise dans le cercle de rayon D 0 : Effet de la fréquence de coupure D 0 Evalué en fonction de l énergie comprise dans le cercle de rayon D 0 : Effet de la fréquence de coupure D 0 Effet de la fréquence de coupure D 0 Phénomène de réverbération

5 Filtre Butterworth passe-bas Coupe graduellement les hautes fréquences selon D 0 et n Filtre Butterworth passe-bas Coupe graduellement les hautes fréquences selon D 0 et n Avec D 0 est choisie pour H(u, v) = Filtre Butterworth passe-bas Filtre Butterworth passe-bas Phénomène de réverbération

6 Filtre Gaussien passe-bas Filtre Gaussien passe-bas Coupe graduellement les hautes fréquences selon Filtre Gaussien passe-bas Filtre Gaussien passe-bas Pas de phénomène de réverbération Moins agressif que le filtre idéal ou le filtre Butterworth Moins de contrôle sur la sélection précise de D

7 Inconvénient des filtres linéaires La réduction de bruit s accompagne d un étalement des transitions entre régions. La détermination de leurs coefficients résulte d un compromis. Utilisation de filtres non linéaires. Filtrage non linéaire modifications irréversibles Les opérateurs les plus courants : filtres d ordre filtres homomorphiques filtres morphologiques Filtre d ordre On considère une fenêtre rectangulaire de taille (2M + 1) (2N + 1) pixels, centrée sur (x, y) de f. En numérotant de 1 à L = (2M + 1) (2N + 1) les pixels de cette fenêtre, l ensemble des données disponibles est : F = {f k, 1 k L} On trie les éléments par ordre croissant. On appelle j ème statistique d ordre f(j) la valeur de rang j dans F trié Filtre d ordre On considère une fenêtre rectangulaire de taille (2M + 1) (2N + 1) pixels, centrée sur (x, y) de f. En numérotant de 1 à L = (2M + 1) (2N + 1) les pixels de cette fenêtre, l ensemble des données disponibles est : F = {f k, 1 k L} La sortie est définie comme une fonction des statistiques d ordre. Les données sont prises en compte selon leur rang dans la fenêtre d analyse et non selon leur disposition spatiale. 63 Filtre d ordre (Plus simplement) Les filtres d'ordres procèdent en remplaçant les valeurs de chaque pixel par la valeur qui occupe un certain rang lorsqu'on trie les valeurs observées dans un certain voisinage du pixel. les valeurs dans le voisinage de (x,y) : V(x,y)= a 1,a 2,,a N Soit b 1,b 2,,b N permutation de a 1,a 2,,a N telle que b 1 b 2 b n Le filtre k est défini est par k [x,y]=b k 64 7

8 Questions! Quelles est la définitions des filtres des ordres suivants? k=n/2 k=1 k=n Filtre médian Pour nettoyer le bruit dans une image, il existe mieux que le filtre moyenneur ou le filtre gaussien : le filtre médian. C est un filtre non-linéaire, qui ne peut pas s implémenter comme une convolution On remplace la valeur d un pixel par la valeur médiane dans son voisinage 2n + 1 2n Filtre médian Filtre médian : Exemples

9 Filtre médian : Exemples A vous de jouer! Image originale Filtre médian Particularités Utilisé pour atténuer des pixels isolés, d'une valeur très différente de leur entourage. Exemples : Des pixels thermiques chauds ou froids qui ont une intensité très différente de leurs voisins, Elimination des impacts de rayons cosmiques qui en tombant sur le capteur CCD pendant une exposition y créent un point ou une petite trace rectiligne. Particulièrement important pour les images prises en haute altitude ou en orbite comme celles du télescope spatial Hubble Filtrage homomorphique L effet de flou peut être créé par des variations locales de l éclairement qui, se traduisant de manière multiplicative dans l image, modifient l aspect des frontières entre régions. Image observée : g(x, y) = f(x, y).b(x, y) f : image contenant des détails nets B image de l éclairement dont les fluctuations sont à échelle spatiale larges vis-à-vis des détails de l image g B : bruit multiplicatif basse fréquence

10 Filtrage homomorphique L effet de flou peut être créé par des variations locales de l éclairement qui, se traduisant de manière multiplicative dans l image, modifient l aspect des frontières entre régions. Filtrage homomorphique : séparation des contributions de f et de B. Le filtre linéaire à employer doit atténuer les basses fréquences et amplifier les hautes fréquences. 73 Filtrage homomorphique phi et Phi : opérateurs non linéaires réciproques. h : réponse impulsionnelle d un filtre linéaire généralement passe-bas. Moyennes non linéaires : a 0, p 0, (a)=a p, (a) = a 1/p, h filtre moyenneur p = 1 : filtre moyenneur p = 1 : moyenne harmonique. = ln, = exp : moyenne géométrique. 74 Filtrage homomorphique 75 Filtrage morphologique Lorsqu on dispose d informations à priori sur la taille et la dimension des structures à localiser Sur le "signe" du bruit (impulsions positives ou négatives) On peut renforcer cette caractéristique par un traitement dissymétrique (en terme de voisinage et d intensité) fondé sur les techniques de la morphologie mathématique : Ouverture morphologique : supprime les impulsions positives et préserve les impulsions négatives. Effet inverse : fermeture 76 10

11 Filtrage morphologique Filtre morphologique = transformation idempotente et croissante. L ouverture et la fermeture s obtiennent par combinaisons de filtres de rang : Erosion : filtre minimum Dilatation : filtre maximum L ouverture et la fermeture induisent donc une modification de la moyenne des intensités, d autant plus importante que la taille de l élément structurant est grande et que l amplitude du bruit est forte. 77 Filtrage morphologique Pour pallier cet inconvénient : filtrage alternés séquentiel : {O i } famille d ouvertures {F i } famille de fermetures Associées à des éléments structurants convexes {K i } de même forme et de taille croissante Filtre séquentiel : g = O i F i O i 1 F i 1 O 1 F 1 g = F i O i F i 1 O i 1 F 1 O 1 78 Filtrage adaptatif : alternative à l égalisation d histogramme Filtrage adaptatif : Speckle M = moyenne de l image A = k / (M (x,y)) G(x,y) = A(f(x,y) - m(x,y)) + m(x,y) m et dans la fenêtre glissante

12 Filtrage adaptatif : Speckle 81 12