FSAB1201 Physique 1, Electricité Questions posées à l examen

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1 FS0 Physique, Electricité Questions posées à l examen vertissement au lecteur est dans le dossier de travail des modules 5 et 6 qu on définit la matière de l examen concernant la partie électricité, pas ici. e recueil répond à la demande des étudiants qui désirent disposer d exercices résolus. l contient, à titre d information, les questions posées durant les années précédentes et une solution à ces questions. ttention : en examinant attentivement ce recueil, on remarque que les questions peuvent être significativement différentes de celles qui ont été posées lors des sessions précédentes. Les listes des objectifs des modules, les questions-guides et les exercices contenus dans le dossier de travail donnent également une bonne idée de questions qui pourraient être posées à l examen. ttention : apprendre de mémoire des solutions données ici ne prépare nullement à répondre correctement à une question qui pourrait être posée lors d un examen à venir. Donner de mémoire la solution à une question qui ressemble à la question posée mais en est différente ne permet pas d obtenir des points. Le dossier de travail propose des méthodes d apprentissage plus efficaces. Le bon mode d emploi de ce recueil est le suivant : choisir quelques questions (certainement pas toutes, cela prendrait trop de temps), les résoudre entièrement, sur une feuille blanche, en travaillant seul, pour se mettre en situation d examen. La solution complète de tout un examen doit prendre moins d une heure et demie. Ensuite comparer sa réponse à la solution. Voici ce qui donne de la valeur à la démarche : produire soi-même une solution dans les temps analyser la différence entre ce que l on a produit et la solution donnée quand y a des différences, en chercher le pourquoi. h. Trullemans décembre 007

2 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen / 60 janvier 005 question E Pour le circuit suivant : 3 kω V 500 Ω 6 kω kω 5 V 0 V R L V V Solution : alculez a. La tension V si R L = (circuit ouvert) b. La puissance fournie par les deux sources de tension (V et V ) si R L = c. L équivalent de Thévenin du dipôle vu par R L d. L équivalent de Norton du dipôle vu par R L e. La puissance dissipée par R L si R L = 500 Ω a Redessiner le schéma. Références : courants vers le bas ou vers la droite. V 500 Ω kω 3 kω kω V 5 V 0 V V M. KL en : 3 4 = 0. KL en : 4 = 0

3 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 3 / 60 b c 3. Equations constitutives des sources et des résistances V 5 V 0 V + + = 0 [ ] 3kΩ kω 6kΩ V = 0V Vérification = Pour calculer la puissance dans une source de tension, il faut connaître le courant. On le trouve ci-dessus. 0 5 P = V = 5 = 3mW 3kΩ 0 0 P = V = 0 = 0 kω Redessiner le schéma du dipôle dont on cherche l équivalent. V co = 0 V co M Si on met le dipôle M en circuit ouvert, la tension V co est la même que la tension aux bornes de l équivalent de Thévenin en circuit ouvert.. La tension en circuit ouvert V co est la tension qui a été calculée en, donc V eq = 0 V. Si on annule toutes les sources, la résistance entre les bornes et M est la même que la résistance R eq du dipôle équivalent de Thévenin. Redessiner le schéma en annulant les sources, remplacer les résistances en parallèle/en série par des dipôles équivalents : 500 Ω 500 Ω 6 kω 3 kω kω M + + [ kω] 6 3 =.k Ω M ( )[ k Ω ] =.7k Ω M d Le dipôle équivalent de Thévenin et le dipôle «équivalent de Norton sont équivalents entre eux. Le courant équivalent du dipôle de Norton est le courant de court-circuit :

4 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 4 / 60 V eq 0 V R eq.7 kω cf V eq = = 5.88m R eq eq G eq cf = eq M M eq Veq 0V = = = 5.88m R.7kΩ eq La résistance entre les bornes du dipôle de Norton à source nulle est la même que la résistance entre les bornes du dipôle de Thévenin à source nulle : R eq.7 kω R = R eq G eq R = / G eq M M G eq =.7kΩ e On peut déterminer la puissance dans R L à partir du courant dans R L. Pour calculer le courant dans R L facilement : remplacer le dipôle M par son équivalent de Thévenin. V eq 0 V R eq.7 kω R L 0.5 kω V eq 0 RL = = [ m ] = 4.55m R + R. eq L P = R = [ mw ] = 0.3mW RL L L M

5 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 5 / 60 janvier 005 question E Pour le circuit suivant : t = 0 S 75 m R 5 kω S 5 m R 0 kω R3 5 kω V L L L 50 mh L interrupteur est ouvert pour t<0 depuis assez longtemps pour que le circuit soit en équilibre. On ferme l interrupteur en t=0. alculez a. Pour t < 0 : la valeur de L et V L Justifiez b. Pour t = 0 + : la valeur de L et V L Justifiez c. Pour t = : la valeur de L et V L Justifiez d. Pour t 0 : la constante de temps d évolution de L (t) et V L (t) e. Pour t 0 : l expression analytique de L (t) et V L (t)

6 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 6 / 60 Solution : a Redessiner le schéma pour t < 0. Nommer les nœuds. hoisir le sens de référence des courants. t < 0 R = L 3 S R 75 m 5 kω S 5 m M R 0 kω R3 5 kω V L = 0 L L 50 mh R3 = L. KL en, équation constitutive de R 3 V R3 = L = R 3 L b. Système en équilibre, donc énergie dans la self constante L constant, V L = 0, V = V 3. KL en et en R R3 = = L L 4. KVL sur [,,, M, ], equations constitutives des résistances R et R 3 : ( V V ) = ( V V ) + ( V V ) + ( V V ) M M V = R + 0+ R L 3 L 5. KL en, équations constitutives des sources de courant et de R : Vérification : = + L S S R R = + L S S 3 L L S S L = = = R3+ R R R + 00m + R V = V = 5V V = 375V + 5 5m R = 75m + = = 0[ m] S R S L L énergie contenue dans la self ne peut varier instantanément, donc L non plus. L ( 0 + ) = 5 m

7 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 7 / 60 c Redessiner le schéma pour t = La solution du point a doit être corrigée car maintenant l interrupteur fermé impose V = V. Les dernières étapes deviennent : 4. KVL sur [,,, M, ], équations constitutives des résistances R et R 3 : ( V V ) = ( V V ) + ( V V ) + ( V V ) M M V = R 3 L 5. KL en, équations constitutives des sources de courant et de R : = + L S S R R L = S + S R 3 L + 00m S S L = = = R3 5 + R m d Hors équilibre, la solution du point c doit être corrigée car maintenant V L n est plus nul. La quatrième étape devient : 4. KVL sur [,,, M, ], équations constitutives des résistances R et R 3 : ( V VM) = ( V V) + ( V V) + ( V VM) V = 0+ VL + R3L 5. KL en, équations constitutives des sources de courant et de R : L = S + S R R3L + VL L = S + S R VL S + S + R VL L = = 50m+ R3 + R + R3 R Pour répondre à la question, il faut écrire l équation différentielle de L (t). On fait apparaître la dérivée temporelle de L (t) grâce à l équation constitutive de la self : VL () t L () t = 50m R + R3 L dl () t L () t = 50m R + R dt 3 La constante de temps est 3 L 50 0 τ= = [ s] = 5μs 3 R + R 0 0 3

8 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 8 / 60 On peut écrire L en fonction de V L et remplacer dans l équation différentielle pour obtenir une équation différentielle en V L (t) VL () t L () t = + 50m R + R 3 VL d L R + R V 3 L () t + 50m = 50m R + R3 dt R R + 3 L dvl () t VL () t = 0 R + R dt 3 La constante de temps est le même τ. e La solution de l équation différentielle a la forme : dl () t τ L () t = 50m dt () t e τ = + L t On trouve et en écrivant la valeur de L en t= 0 et en t = : ( ) = = 50m L ( 0) = + = 5m = 5m L 5 μs () t = 50 5e [ m] L en remplaçant L t) par son écriture en fonction de V L (t) on trouve : Vérification : VL () t R + R 3 t 5 μs + 50 = 50 5e [ m] 5 μs V () t = 50e [ V] L ( 0) = 5m L t V ( 0) = V ( 0) + V ( 0) = 5V+ 50V L R = 75m + = = 0[ m] S R S L t

9 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 9 / 60 janvier question E 3 Pour le spectromètre de masse Solution : a. Donnez le schéma du spectromètre de masse et expliquez brièvement son principe de fonctionnement b. Déduisez la relation qui donne le rayon R i en fonction du rapport mi/ q en expliquant clairement les différentes étapes du raisonnement L année où la question a été posée, la solution se trouvait dans les transparents du cours de la semaine 4. Pour retrouver rapidement la description du spectromètre de masse (Mass Spectrometer) dans Young & Freedman, utiliser l index.

10 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 0 / 60 juin question E On donne le circuit suivant: R = R R 4 = R R = R V R 3 = R M R = kω On demande : a. de calculer les tensions en chaque nœud pour V = 0 V, = 0 m. Utiliser le nœud M comme nœud de référence pour les tensions. b. de calculer les courants dans chaque branche pour V = 0 V, = 0 m. c. de déterminer le dipôle équivalent de Thévenin pour le dipôle vu depuis R = R R 4 = R V = 0 V R 3 = R = m R = kω d. de déterminer le dipôle équivalent de Norton pour le dipôle vu depuis R = R R 4 = R R 3 = R = m R = kω e. de déterminer la puissance dissipée par R et R 4 pour V = 0 V et = m

11 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen / 60 Solution : a Simplifier le schéma : Enoncé : = 0. Remplacer par un circuit ouvert. Les tensions sont indépendantes de R car R est en parallèle sur une source de tension ; on peut l omettre Référence des courants : vers le bas ou vers la droite. 3 V = 0V R = R R 4 5 V = 5V V = 5V V = 0 V R = R3 R 4 = R M R3 R 3 = R R4 = 0 R4. KL en. KL en 3. Eq. constitutive de V 4. KVL sur [,, M] VM = V + V M et eq. constiutive de R et R 3 V = VM = RR VM V = = 5V 5. Eq. constitutive de R 4

12 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen / 60 b Simplifier le schéma : Enoncé : V = 0 donc nœuds et M confondus en un seul Référence des courants : selon la source ou vers le bas R = 0m R R R4 = m R R 0.5m 3 = R R R = R R R3 0.5m m = M. Eq. constitutive de R. KL en et eq. constitutive de c 3. KL en et éq. constitutives de R et R 3 = + R4 R R3 R V = R3 = R R4 R = R3 = = 0.5m. Dessiner le dipôle et l équivalent de Thévenin souhaité en circuit ouvert pour calculer V eq V co = 0V R R 4 = V R eq co eq V = 0 V R 3 V eq V V = 0V eq dipôle équivalent Thévenin Tension en circuit ouvert aux bornes du dipôle : V co = V Tension en court-circuit aux bornes de l équivalent de Thévenin : V co = V eq Même V co dans les deux cas si les dipôles sont équivalents V eq = V = 0 V. Dessiner le dipôle et l équivalent de Thévenin souhaité en annulant les sources pour calculer R eq R R 4 R eq R co 0 Ω V = 0 V R 3 R co 0 Ω V eq Même R dans les deux cas si les dipôles sont équivalents R eq = 0 Ω

13 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 3 / 60 d ; Dessiner le dipôle et l équivalent de Norton souhaité en circuit fermé pour calculer eq R R 4 R cf = 5m R cf = R 3 R m eq = 0.5m eq G eq eq dipôle équivalent Northon ourant en circuit fermé à travers le dipôle : KL en + eq. con,stitutives de R et R 3 : + = R R3 R4 R V = R3 = R = = = R4 cf R 0.5m ourant de court-circuit à travers l équivalent de Norton : cf = eq Même V co dans les deux cas si les dipôles sont équivalents eq = 0.5 m. Dessiner le dipôle et l équivalent de Norton souhaité en annulant les sources pour calculer R eq R 0 4 kω R kω R 3 kω R 4 kω G eq Même R dans les deux cas si les dipôles sont équivalents G eq = 0.5 mω -- e. Puissance dans R R est connectée en parallèle avec V donc la tension aux bornes de R est connue V 00 = = = 00mW R 3 R 0 P R 4 est connectée en série avec donc le courant dans R 4 est connu P = R = = mw R4 4

14 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 4 / 60 juin question E On donne le circuit suivant : R = 00 Ω ouvert V = 0 V R = 00 Ω t < 0 : ouvert t 0 : fermé L = 0 mh fermé Solution On demande : a. de calculer les tensions en chaque nœud et les courants pour t = 0, juste avant la manœuvre de l interrupteur b. de calculer les tensions en chaque nœud et les courants pour t c. d écrire l équation différentielle décrivant l évolution du courant dans la self d. de dire quelle est la différence entre la valeur de L en t = 0 -, juste avant la manœuvre de l interrupteur, et en t = 0 +, juste après. e. de calculer la fonction L (t) pour t 0 a Référence des tensions, sens de référence du courant,. Redessiner le schéma simplifié. V L V = 0 V t < 0 : R n = 00 Ω t 0 : R p = 50 Ω L L = 0 mh

15 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 5 / 60 Pour t = 0 juste avant la fermeture de l interrupeteur : L interrupteur est ouvert depuis t =. Système à l équilibre. donc énergie dans la self constante V L = 0 V ( 0V L 0 ) = = = 00m Rn 00Ω Note : eaucoup d étudiants emploient des incantations, par exemple : «Le courant dans une self est nul pendant un transitoire». Stress aidant, la mémoire défaille et substitue un mot : «Le courant dans une self est nul à l équilibre». Tout est perdu! Solution : comprendre et non retenir. Qu arrive-t-il à l énergie? Donc au courant? Donc à la tension? b Pour t longtemps après la fermeture de l interrupteur : Le système à l équilibre. donc l énergie dans la self est constante V L = 0 V 0V L ( ) = = = 00m R 50Ω p c Par KVL : dl V = RL + L dt Note : une équation différentielle contient nécessairement une dérivée! d Pour t = 0 + juste après la fermeture de l interrupteur : Fermeture instantanée donc l énergie dans la self est inchangée + 0 = 0 = 00m e L ( ) L( ) + ( ) + ( ) V 0 = V - 0 R = 5 V. L L p L équation à résoudre est dl V τ + L = dt R où τ est la constante de temps 3 L 0 0 τ= = = 0.ms R 50 La solution a la forme () t = + e L t τ et sont obtenus par identification en t = 0 et t =. On trouve : t () t = 00 00e [ m ] L

16 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 6 / 60 juin question E 3 En 879, Edwin Hall qui était encore étudiant découvre l effet qui porte son nom.. maginons une bandelette de matériau conducteur (repérée par rapport à un d axe x dans le sens de la longueur L, un axe z dans le sens de la hauteur h et un axe y dans le sens de l épaisseur d). 3 h Les deux petites faces opposées dans le sens de la longueur sont connectées à un circuit extérieur qui impose le passage d un courant. Les autres faces sont isolées L Le courant (positif) parcourt la bandelette dans la direction de l axe x. e courant est dû au déplacement d électrons. l y a n électrons mobiles par unité de volume du matériau, leur charge (négative) est q coulombs. ls se déplacent à une vitesse de dérive v d dont seule la composante x, v dx, est non nulle. a. Quel est le signe de v dx? L effet Hall apparaît en présence d un champ magnétique. Soit un champ appliqué dans la direction de l axe y. Seule sa composante y est non nulle. b. Décrire l effet du champ magnétique sur le comportement d une charge qui se déplace dans la bandelette selon la direction x. La charge totale contenue dans la bandelette est constante. Si pour une raison quelconque les charges négatives s accumulent dans une région de la bandelette, il doit y avoir V accumulation de charges positives v H dans une autre région. maginons la répartition suivante : un film de charges négatives est accumulé près du bord supérieur de la languette, un film de charges positives près du bord inférieur. c. Donner la direction du champ électrique qui en résulte. Quel est son effet sur une charge qui se déplace dans la bandelette?

17 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 7 / 60 Solution d. Quel phénomène pourrait provoquer une accumulation de charges de ce type dans la bandelette? e. En supposant que le champ électrique est constant dans la bandelette et que l on connaît ses composantes E x, E y et E z, quelle est la différence de potentiel V v qui apparaît entre les faces supérieure et inférieure du barreau? omme les charges ne peuvent quitter le barreau que par les faces perpendiculaires à x, les composantes de la vitesse selon z sont nulles à l équilibre. f. Quelle est la relation entre l intensité de la composante y du champ magnétique et l intensité de la composante E z champ électrique dans la bandelette à l équilibre? ndication : les conditions qui assurent une composante de vitesse nulle à l équilibre sont définies comme en mécanique. (basée sur Physique. Les réponses utilisant des notions de Physique sont également valables) a Le courant positif va dans le sens de l axe. l résulte du mouvement de charges négatives qui se déplacent donc dans le sens opposé à l axe x. v dx est négatif. b Force exercée sur la charge par le champ magnétique : F = q v = q v = q v c d e f ( ) ( ) ( ) M d dx dx 3 Seules les composantes v dx et y sont non nulles. q et v dx sont négatifs. La force sera dirigée selon z. Le champ applique une force qui dévie la trajectoire des électrons vers le haut. Le champ électrique qui résulte d une accumulation de charges au voisinage des bords supérieur et inférieur de la bandelette est dirigé selon l axe z. l représente une force répulsive entre charges de même signe. Si on imagine qu un film de charges négatives est accumulé près du bord supérieur de la languette, les électrons seront déviés vers le bas par ce champ électrique. F = qe = qe E 3 Le champ magnétique (sous-question b) dévie les électrons vers le haut. Or ils ne peuvent quitter la bandelette. l y a donc bien accumulation de charges négatives près du bord supérieur. La différence de potentiel entre un point b de la face supérieure et un point a de la face inférieure se calcule le long de n importe quelle trajectoire entre a et b par :. b Vv = E i dl a Le cas le plus simple consiste à choisir deux points sur la même perpendiculaire aux deux faces. La trajectoire est un segment de droite de longueur h orienté selon z : V = E h v z La somme des forces appliquées à une charge doit être nulle, donc chaque composante de cette force. l s agit de la force de Lorentz : FM + FE =0 E = v dx

18 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 8 / 60 septembre question E On donne le circuit suivant: V 5 V R 0 kω V (t) R 00 kω (t) µf t < 0 : (t) = 0 t 0 : (t) = 500 µ On s intéresse d abord à une version simplifiée du schéma sur base de dipôles équivalents. l est utile de dessiner une version simplifiée du circuit pour chaque cas. a. Remplacer le dipôle connecté à par un dipôle équivalent de Thévenin dans le cas où ( t ) = 0 b. alculer le paramètre V eq du dipôle équivalent de Thévenin dans le cas où ( t ) = 500 µ. c. alculer le paramètre R eq dans le même cas. d. Représenter le schéma simplifié en utilisant les dipôles équivalents pour t < 0 et t 0 On s intéresse ensuite au comportement dynamique. Utiliser de préférence les dipôles équivalents pour simplifier le circuit original ou utiliser à défaut toute autre méthode de votre choix. e. alculer la tension V ( 0 ), juste avant le changement de valeur du courant f. alculer la tension V ( 0 + ), juste après le changement de valeur du courant g. alculer la tension V ( ) h. Écrire l équation différentielle de V ( t ) i. Résoudre cette équation pour t 0

19 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 9 / 60 Solution a Pour déterminer V eq : mettre le dipôle en circuit ouvert.. l s agit d un diviseur de tension. Pour déterminer R eq annuler la source. V 5 V R 0 kω R 00 kω R = = 4.55 V eq V V R + R R eq = + = 9.09 k Ω R R b Redessiner le schéma du dipôle : V 5 V R 0 kω = 0 R eq = 0 R 00 kω 500 µ V co V eq V co La tension aux bornes doit être la même en circuit ouvert pour le dipôle original et pour le dipôle de Thévenin.. KL au nœud : R = R +. Équations constitutives de R, R et : V V V = + R R 3. D où l on tire V eq = V co : R R Veq = ( V R ) = ( 5 5) = 0 R + R R + R Note : il n y a pas lieu de s affoler parce que la valeur est précisément 0!

20 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 0 / 60 c La résistance équivalente ne dépend pas de la valeur des sources. Redessiner le schéma des dipôles en annulant les sources. R 0 kω V = 0 R eq R 00 kω = 0 R 0 V eq = 0 R 0 = R eq d D où l on tire R eq : Req = + = 9.09kΩ R R t 0 t > 0 V eq 4.55 V R eq 9.09 kω µf V (t) V eq 0 V R eq 9.09 kω µf V (t) e f g En t = 0,on utilise le schéma de gauche. Le système est à l équilibre. L énergie E = V / contenue dans la capacité est constante donc la tension aux bornes de la capacité est constante et le courant est nul : ( ) dv 0 ( 0 ) = = 0 dt KL au nœud : 0 = 0 R eq ( ) La chute de tension sur R eq est nulle donc : V 0 = V = 4.55V ( ) eq En t = 0, le système est à l équilibre. On utilise le schéma de droite. Entre t = 0 et t = 0 +, l énergie dans la capacité ne peut pas varier instantanément, V / = constante danc V inchangé :. V ( 0 + ) = V ( 0 ) En t =,on utilise le schéma de droite. Le système est à l équilibre. L énergie contenue dans la capacité est constante donc la tension aux bornes de la capacité, donc le courant est nul et V ( ) = 0.

21 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen / 60 h On utilise le schéma de droite. KL & équations constitutives : eq () () V t dv t = R dt En introduisant τ = Req = 9.09 ms on obtient l équation différentielle sous la forme habituelle : dv () t () t 0 τ + V = dt i L écart à équilibre décroit proportionnellement à lui-même. La solution est donc de la forme : V() t V( ) = e V ( 0) V ( ) D où l équation de V ( t ) : t τ t τ V () t = V () 0 e = 4.55e t septembre question E Un implanteur d ions permet d injecter une dose très précise de dopant dans un substrat de silicium. l s agit de l une des étapes principales de la fabrication de circuits intégrés. La suite présente une vue simplifiée d une colonne d accélération des ions. Elle se trouve dans le vide. Dans un implanteur, un ion d arsenic est produit au point à l entrée d un canal entouré d électrodes circulaires très minces. On suppose que la vitesse de l ion est nulle au point. u point, il quitte l accélérateur à grande vitesse et est projeté sur la cible qui est un cristal de silicium dans lequel il pénètre. Les électrodes sont percées d un trou en leur centre pour ouvrir le canal qui permet le passage des ions. Les électrodes sont perpendiculaires au canal. Le diamètre des plaques est suffisant pour qu on puisse supposer que le champ est correctement approximé par un champ entre des plaques infinies. On suppose que le trou ne modifie pas sensiblement le champ électrique et donc que le potentiel au point ou au point est le même que celui de l électrode correspondante. Électrode Électrode Électrode 9 ible R E R E R E V = 00 kv V = 0 f d

22 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen / 60 Solution l y a 9 électrodes équidistantes. La distance entre les électrodes extrêmes est d [m]. Le potentiel des électrodes est fixé par une chaîne de résistances série. L électrode n entoure le point ; elle est au potentiel V = 00 kv. Les électrodes suivantes sont reliées à leurs voisines par des résistances R E. Toutes les résistances R E sont égales La dernière électrode entoure le point ; elle est au potentiel V = 0. L influence des ions sur le champ électrique est négligeable. La masse de l ion d arsenic est m s [kg]. Sa charge est q s [] ; q s > 0. On s intéresse d abord au champ et au potentiel électriques. a. Quel est le potentiel de l avant-dernière électrode (n 8)? Les réponses (b) et (c) doivent être justifiées d une manière similaire à celle qui a été utilisée lors du cours. On admettra que, si les plaques sont très grandes, le champ au voisinage du centre est le même que si elles étaient rectangulaires. La densité de charge sur une électrode est σ [ / m ]. b. Quels sont la valeur et l orientation du champ électrique qui serait dû à la première électrode considérée comme une plaque chargée si les autres n existaient pas? c. Quels sont la valeur et l orientation du champ électrique dû à l effet simultané des électrodes et 9 en supposant que les électrodes à 8 n existent pas? Une fois le champ connu, on peut vérifier que si toutes les approximations introduites sont valables, les électrodes à 8 ne servent en réalité à rien : elles se trouvent à un endroit où le potentiel électrique résultant du champ est exactement le même que celui qui résulte de la connexion aux résistances. d. alculer la valeur de la densité de charge σ et la valeur du champ électrique en fonction de la tension V et de la distance d. On s intéresse ensuite à l énergie de l ion. Sa vitesse quand il passe au point est v. e. Quelle est l énergie potentielle de l ion au point, au point? f. Quelle est l énergie cinétique de l ion au point? On s intéresse enfin au mouvement de l ion. On calculera sa vitesse en par deux méthodes différentes. g. Quelle est la vitesse de l ion quand il passe au point (méthode )? h. Quelle est la vitesse de l ion quand il passe au point (méthode )? a Les électrodes sont réunies par des résistances égales parcourues par des courants égaux. l y a la même chute de tension aux bornes de chaque résistance. V 8 = 00 kv / 8 =.5 kv

23 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 3 / 60 b c La situation est similaire à celle du condensateur plan.l tend à repousser une charge unitaire positive de l électrode. Si on néglige le champ de fuite, on peut raisonner comme pour le condensateur plan. Par symétrie, seule la composante du champ perpendiculaire à l électrode est non nulle. On considère l électrode comme une plaque chargée. Soit sa surface et σ la densité de charge par unité de surface. ppliquer la loi de Gauss comme pour l étude du condensateur. Surface de Gauss : parallélépipède qui entoure l électrode de surface.. Seules les faces parallèles à l électrode contribuent au flux du champ électrostatique. Le flux total au travers des faces du parallélépipède est donc Φ= Ed = E La Loi de Gauss done la valeur du flux en fonction de la charge totale contenue dans le parallélépidède : σ Φ= ε 0 σ L intensité du champ est donc E =. ε 0 Le champ entre les deux électrodes résulte de la somme vectorielle des champs dû à chacune d elles. Le champ est nul partout sauf entre les deux électrodes. Si est perpendiculaire aux électrodes et dirigé de vers ; σ E= ε 0 d Différence de potentiel entre et, calculée à partir du champ : σ = = = ε 0 V V Edx Ed d D où l on tire σ et E en fonction de V : ε0 σ= V d V E= d e Le potentiel électrique en un point exprime l énergie potentielle d une charge unitaire en ce point. Donc : 5 Epot, = qs V = qs 0 [ J] E = 0 pot, f En fonction de la vitesse l énergie cinétique est simplement : ms v E cin, = On calculera la vitesse v aux points g et h.

24 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 4 / 60 g h Méthode : dynamique.. inématique La vitesse est t v() t = adt 0 L ion passe au point au temps t après avoir parcouru la distance entre et. En, la vitesse est nulle. Donc ;.. Newton t = v() t dt 0 L accélération appliquée par le champ à l ion est constante : qs E a = m s 3. En utilisant () et () et la valeur du champ trouvée à la sous-question d L accélération est constante et dirigée de vers, la distance de à est d ; donc : d d= at t = a v = at = da La vitesse en est :. q V q = = s s v d V ms d ms Méthode : conservation de l énergie. E + E = E + E pot, cin, pot, cin, ms v qs V + 0= 0+ La vitesse en est :. q s v = V ms

25 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 5 / 60 janvier question E On donne le circuit statique suivant: T 0 m R 50 kω V S 0 V R kω R 3.5 kω a. alculer le paramètre eq du dipôle de Norton équivalent au dipôle M b. alculer le paramètre G eq du dipôle de Norton c. alculer la puissance P dissipée par ce circuit On s intéresse ensuite au comportement dynamique. En t = 0, une capacité de µf initialement déchargée est subitement connectée au circuit cidessus entre et M. V (t) est la tension aux bornes de la capacité. t = 0 V (t) M M μf d. alculer la tensions V ( 0 + ), juste après la connexion et la tension V ( ) très longtemps après la connexion e. Écrire l équation différentielle de V ( t ) pour t 0 f. Résoudre cette équation pour t 0 g. alculer la quantité d énergie fournie à de t = 0 à t = Question simplifiée, pour moins de points : si vous ne réussissez pas à répondre aux sousquestions d à g en utilisant le circuit donné, remplacez-le par une source de courant S de 5 m et une résistance R S de 0 kω connectés en parallèle entre et M.

26 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 6 / 60 Solution a Si l on met le dipôle M et circuit fermé, le courant à travers le dipôle est le même que le courant équivalent du dipôle de Norton. Redessiner le schéma, simplifier : R et R 3 en parallèle avec le court-circuit peuvent être omis. Références : masse M, courant dans T selon la source, dans R vers le bas. Stratégie guidée par le schéma : 0 V Eq. const. V S T 0 m R 50 kω R R 0 V = 50k Ω = 0.m cf Eq. const. R V S 0 V 3 = ( 0m + 0.m ) cf cf = 0.m V cf = 0 KL en M b Paramètre eq du dipôle de Norton équivalent à M : eq = 0. m Note : l est important de localiser les deux bornes du dipôle et le courant cf. Pour cela il est utile de redessiner le schéma simplifié du dipôle M indépendamment du reste du circuit. eaucoup d étudiants calculent un courant en regardant le schéma complet de l énoncé. cause de cela, ils se trompent de courant. Si on annule toutes les sources, la conductance entre les bornes et M est la même que la conductance G eq du dipôle équivalent de Norton. Redessiner le schéma en annulant les sources, Redessiner pour mettre de l ordre. T = 0 V S = 0 R 50 kω R kω R 3.5 kω M R 50 kω R kω R 3.5 kω M Toutes les résistances sont en parallèle entre et M : 3 Geq = G = eq ( ) G = 0.6mΩ eq Note : eaucoup d étudiants ne se donnent pas la peine de redessiner pour mettre de l ordre. Pour cette raison ils se trompent. ls voient R en série avec les deux autres.

27 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 7 / 60 c Réponse considérée comme suffisante lors de la correction : la puissance dissipée par le circuit est la somme des puissances dissipées par R,, R et R 3. Pour calculer les puissances, il faut connaître la tension au nœud. Redessiner le schéma. Sens de référence :masse en M, respecter la source, courants vers ole bas. ppliquer l équation constitutive à chaque résistance. T 0 m R 50 kω 0 V 50k Ω V S 0 V R kω V kω R 3.5 kω V.5kΩ M KL au nœud : Puissance dissipée : 0 V V V 0 + = + [ m] 50.5 V = 7V V ( 0 7) 7 7 P= = + + R 50.5 P= 69mW [ mw] Note : eaucoup d étudiants calculent une puissance à l intérieur du dipôle équivalent de Norton. Or celui-ci ne contient aucune information à propos de ce qui se passe à l intérieur du circuit. d Dessiner le schéma pour t 0 : En t = eq 0. m G eq Ω - μf Geq =0 M 0. V c = = V= 7 V G 0.6 KL en éq. const. eq et R eq équilibre En t =, le circuit est à l équilibre. L énergie dans est constante, donc la tension à ses bornes également. Le courant dans est nul. On calcule : V ( ) = 7V

28 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 8 / 60 e Même schéma pour t 0 V eq G eq Geq = eq = G V dv dt KL au nœud et équations constitutives des éléments : dv () t eq + Geq V () t + = 0 dt En introduisant la constante de temps : τ= G eq On obtient l équation différentielle de V ( t ) : τ dv () t V () t dt + = G eq eq f L écart à l équilibre décroît à une vitesse proportionnelle à sa propre valeur. La solution est donc de la forme : V() t V( ) = e V ( 0) V ( ) t τ L énoncé dit que le condensateur est déchargé en t = 0, donc V ( 0 ) = 0. V ( ) a été calculé en d. La solution est : t V () t = 7 e g Energie fournie à de t = 0 à t = : Δ E = E ( ) E ( 0) V ( ) Δ E = Δ E = = 45μJ

29 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 9 / 60 janvier question E a. alculez le champ électrique dû à une plaque chargée de grande dimension et ayant une densité de charge par unité de surface σ (expliquez votre raisonnement et donnez un schéma) b. alculez le champ électrique dû à deux plaques chargées parallèle de grande dimension et ayant une densité de charge par unité de surface +σ et de -σ (expliquez votre raisonnement et donnez un schéma) c. alculez la différence de tension entre deux plaques chargées parallèle de grande dimension en fonction du champ électrique E entre ces deux plaques (expliquez votre raisonnement et donnez un schéma) d. Si les deux plaques ont une surface, déduisez la relation qui relie la charge électrique d une plaque Q à la différence de tension entre ces plaques (expliquez votre raisonnement) e. Déduisez l expression analytique de, la capacité formée par deux plaques parallèles (expliquez votre raisonnement) Soit une capacité cylindrique formée par un conducteur cylindrique (ayant une longueur L (L grand), une densité linéaire de charge λ (oulomb/mètre) et un rayon r a ) et par un conducteur coaxial cylindrique (densité de charge -λ et de rayon r b ) telle que représentée à la figure cidessous : Solution f. alculez l expression analytique de la capacité (Farad) (expliquez votre raisonnement) a, b, c, d, e Voir transparents du cours

30 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 30 / 60 f La démarche est identique à la démarche suivie pour le condensateur plan.. Le champ électrique entre le conducteur central et le conducteur coaxial est perpendiculaire aux conducteurs ; la composante parallèle du champ s annule par symétrie (valable si L grand).. La loi de Gauss permet le calcul du champ. Dans ce cas-ci la surface de Gauss sera un cylindre concentrique de rayon r intermédiaire entre r a et r b et de longueur L Le flux à travers les bases du cylindre est nul car elles sont perpendiculaires au champ. Le flux à travers la surface latérale où le champ est parallèle au vecteur surface est : Φ= Ed = E d ra Φ= πrle La charge enfermée par la surface de Gauss vaut : Q=λ L Donc, par la loi de Gauss : λ Q E = = πε0 r πε0 L r 3. La tension entre les conducteurs peut être calculée en intégrant le champ électrique le long d un rayon. omme le champ est dirigé dans la même direction que le rayon : rb V = E dr λ Q r V = = ln πε r L r a 0 πε0 b 4. La capacité est le coefficient de proportionnalité entre tension et charge : πε0 L = ra ln r b

31 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 3 / 60 juin question E Pour le circuit suivant: 0 m V 0 V R kω a. alculer les puissances électriques pour les 3 éléments du circuit (P, P, P3) b. nterpréter la valeur obtenue en additionnant ces 3 puissances Pour le circuit suivant: 0 m 5 kω kω 0 V 6 kω 3 kω kω c. Déterminer le circuit équivalent le plus simple possible afin de pouvoir calculer le courant dans la résistance de 5k de manière immédiate Pour le circuit suivant (l interrupteur se ferme en t = 0) : 6 kω V L t = 0 30 V 0 kω L 0 kω 4 kω d. alculer le courant L, la tension V L et l énergie E L de l inductance pour les situations suivantes (justifier vos réponses) : t < 0 (le circuit est dans un état stable), t = 0+ (juste après la fermeture de l interrupteur), 0 < t et t =.

32 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 3 / 60 Solution a 0. hoisir référence de tension, signe des courants. Tension imposée par la source. Eq. constitutive de R 3. KL 0 V 0 m = 0 m V 0 V ( ) m = + 3 = 0 3 R = kω 3 0 V = = 0 m k Ω 0 b c 4. Puissances P = 0 V ( 0m) = 00mW P = 0V ( 0m) = 00mW ( 0 V) P3 = = 00mW kω Le bilan de puissance est nul. Dipôle Norton équivalent Thévenin 0 m kω 0 V kω. Résistances en parallèle 6 kω 3 kω kω

33 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 33 / Résistances en série + dipôle Thévenin équivalent Norton 0 V kω kω 5 m kω 4. Résistances en parallèle + dipôle Norton équivalent Thévenin kω 5 m kω kω 5 V 5. Sources de tension en série 0 V 5 V 5 kω 5 V kω Le calcul du courant dans la résistance de 5 kω est immédiat utre solution : hercher le dipôle de Thévenin équivalent à la partie de droite du circuit. On se trouve alors au point 4 ci-dessus.

34 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 34 / 60 d. En t = 0 6 kω V L Etat stable énergie constante dans la self L constant d L V L = L =0 pas de courant dans la résistance de 0 kω dt 30 V L 0 mh L KVL + eq. const. des résistances 30 V L = = 3 m 0 k Ω 4 kω E ( ) L = 0 mh 3 m = 45 nj ( Pour simplifier le circuit, la résistance de 0 kω où le courant est nul n a pas été dessinée ).. En t = 0 + Pas de variation instantanée de l énergie L = 3 m, V L = 0, E L = 45 nj omme la tension est nulle aux bornes des résistances de 0 kω, la fermeture de l interrupteur n a aucun effet < t < donc la solution initiale en t = 0 est identique à la solution pour l état stable en t =. La tension V L restera nulle en permanence, L et V L sont constants.

35 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 35 / 60 juin question E Solution Une particule de charge q et de masse m se déplace à une vitesse v dans un plan α. Un champ magnétique est appliqué perpendiculairement au plan α en l absence de tout champ électrique. a. Montrer que la particule parcourt une trajectoire fermée. b. alculer le temps nécessaire pour parcourir une fois la trajectoire. c. alculer le travail total fourni à la particule lorsqu elle parcourt une fois la trajectoire. a b Si la force appliquée à la particule est constante et perpendiculaire à sa vitesse, la particule décrit une trajectoire circulaire. La force exercée sur la particule est F= q v ( ) omme elle est perpendiculaire au champ, elle est contenue dans le plan α, donc l accélération également et la vitesse reste dans le plan. omme elle est perpendiculaire à la vitesse : puissance délivrée à la particule = 0 P= Fi v = 0 énergie cinétique constante norme de la vitesse constante Note : beaucoup d étudiants oublient qu il y a deux conditions à remplir pour que la trajectoire soit circulaire : () la force est perpendiculaire à la vitesse et () elle est constante.. Stratégie Tactique calcul de l accélération à partir de la force calcul de l accélération à partir des lois du mouvement circulaire uniforme valeur du rayon durée d un tour = longueur de la circonférence / vitesse F q v a = = m m v a = R mv R = q πr m T= = π v q c Stratégie Le travail le long d une trajectoire fermée est nul. Note : beaucoup d étudiants calculent énormément en pure perte..

36 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 36 / 60 septembre question E Une bobine de relais est reliée à une alimentation en tension par l intermédiaire d un circuit de commande. On représente le tout de manière simplifiée par trois dipôles connectés en série. L alimentation est représentée par une source de tension parfaite de V ; le circuit de commande est représenté par un dipôle constitué d un interrupteur et d une résistance de 0 kω en parallèle ; la bobine de relais est représentée par un dipôle constitué d une self de 50 mh en série avec une résistance de 00 Ω. On convient que la masse est le nœud commun entre la borne négative de l alimentation et le relais. En t = 0, on change la position de l interrupteur. On observe la tension aux bornes du relais V rel. On obtient le diagramme suivant, où la tension V rel est en ordonnée et le temps t en abscisse : V rel V rel ( 0 ) 0.4KV t V rel ( ) t 0V V rel ( 0 + ) -.0KV -.KV 0s 5us 0us 5us 0us 5us V(L:) Time a. Dessiner le schéma correspondant à l énoncé. b. Dessiner deux fois le dipôle équivalent au circuit de commande, avec la position correcte de l interrupteur pour t < 0 et t > 0. es dessins doivent être cohérents avec le diagramme et avec la réponse aux sous-questions suivantes. c. Expliquer ce que devrait être la valeur du courant dans la bobine du relais, rel en t < 0 et en t =. alculer cette valeur. d. Expliquer ce que devraient être les valeurs des tensions V rel ( 0 ) immédiatement avant la manœuvre de l interrupteur, V rel ( 0 + ) immédiatement après et V rel ( ) très longtemps après, telles qu elles apparaissent sur le diagramme. alculer ces valeurs. e. Expliquer ce que devrait être la valeur du temps t qui apparaît sur le diagramme. alculer sa valeur. f. Déterminer l équation différentielle de la tension aux bornes de la bobine. g. Donner l équation de la puissance dissipée par ce circuit en fonction du temps, pour t>0.

37 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 37 / 60 Solution Si vous ne réussissez pas du tout à répondre à cette question et uniquement dans ce cas, écrivez «question de rattrapage au verso» dans la case a du formulaire et répondez au verso de la feuille à la question suivante : Démontrer que dans un réseau de Kirchhoff la somme des différences de potentiel le long d un parcours fermé est nulle. a limentation ommande Relais V V R 0 kω V rel R R 00 Ω L 50 mh (b) b eux qui ignorent le sens des mots parallèle et série sont perdus. eux qui omettent de préciser où se trouve V rel seront perdus un peu plus tard. t < 0 t > 0 R Le courant dans la self ne varie pratiquement pas à l instant où on ouvre l interrupteur car l énergie stockée dans la self ne peut pas varier de façon instantanée. Pour expliquer le pic de tension que montre le diagramme, il faut que la résistance devienne beaucoup plus grande au moment de la manœuvre. V constant constant R V rel V rel c V l équilibre, l énergie dans la self est constante donc V L = 0 et = R + RR t < 0 : R = 0 = = 0m 00 t = : R = 0 kω 3 =.m 00 d Vrel = V R t = 0 : R est nul, V rel = V t = 0 + : R = 0 kω, courant inchangée entre t = 0 et t = 0 +, e Vrel.kV La réponse d un circuit de ce genre à une transitoire est une exponentielle. t est la constante de temps.

38 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 38 / 60 f l est facile d écrire l équation différentielle de. Ensuite, il faudra la transformer pour qu elle soit écrite en fonction de V rel. Le plus simple est de considérer le circuit comme une self connectée à un équvalent de Thévenin (voir questions guides). On obtient pour t > 0 : L Veq = V Req R τ= R d V τ + = dt RR En utilisant V = V R rel g dvrel τ + Vrel = V dt (La question demande simplement d écrire cette equation, pas de la résoudre) La puissance est dissipée uniquement par les résistances. L équation de la puissance dissipée en fonction du temps est P = R (t) + R R (t) Quelqu un qui calcule la puissance dissipée par une self doit revoir ses notes.

39 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 39 / 60 septembre question E Pour le montage suivant : b Φ V Φ ( t ) V eq a Γ R eq Solution : a. Donnez l expression mathématique du champ magnétique créé par le courant dans la spire (définissez les différents paramètres qui interviennent) b. Donnez l expression mathématique du flux magnétique Φ c ; Donner l expression mathématique de la Loi de Faraday et expliquer en ou 3 lignes son principe d. Expliquer en 4 ou 5 lignes la Loi de Lentz e. Démontrer l équation constitutive de la self Voir les transparents du cours.

40 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 40 / 60 janvier 007 question E On considère un cas particulier de la situation proposée par les questions-guides QG-5 et suivantes. Un système matériel est constitué de trois charges ponctuelles fixes égales et positives q, q et q de valeur q. Elles se trouvent aux points,,. Dans le plan qui contient ces points les coordonnées sont définies par rapport à un repère cartésien défini par une origine O et la base {, }. Les coordonnées des trois points sont respectivement ( 0,), (-,0) et (,0). On définit également le point Y en (0,y). x (0,) q (,0) q (,0) q O x Y(0,y) On sait que la force qui s exerce entre les deux charges q et q est donnée par la loi de oulomb : q q F = 4πε r 0 r a. Représenter les vecteurs r et F sur le dessin. En un point du plan considéré, le champ électrique peut s écrire : E = E + E. b. alculer la valeur des composantes E et E du champ électrique au point Y dans le cas où seule la charge q est présente. Dans quelle unité s expriment-elles? Donner l expression de r et de r en fonction des données contenues dans l énoncé. c. Montrer par un dessin comment calculer le champ électrique total Et au point Y dans le cas où les trois charges q, q et q sont présentes. Représenter ce champ sur le dessin par un vecteur. La direction du vecteur doit être correcte. d. alculer la valeur des composantes E et E du champ électrique total Et au point Y dans le cas où les trois charges q, q et q sont présentes. Une charge q 0 parcourt une trajectoire en ligne droite depuis l origine O jusqu au au point Y pour y =.

41 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 4 / 60 On sait que dans une telle situation, la différence de potentiel entre deux points et se calcule par l une des quatre expressions suivantes (selon les notations du cours) : Eq : V V = q0 E dl Eq : V V = E dl Eq 3 : V V = q0 E dl Eq 4 : V V = E dl e. Seule l une des quatre est correcte. Laquelle? Pourquoi? Le point O est choisi comme référence des potentiels. f. alculer le potentiel V y en Y ertaines des relations suivantes peuvent être utiles. Elles sont valables pour d>0. 0 ln dy = ( y ) ( ) 0 = ( y ) dy 0 y 3 ( y + ) Solution : a r= dirigé depuis la charge qui exerce la force vers la charge sur laquelle s exerce la force. r r = unitaire. r dy = vecteur unitaire dirigé de q vers q r q F q force de répulsion de q par q O b Le champ représente la force qui serait exercée par la charge q sur une charge unitaire placée en Y. Le champ et ses composantes peuvent être exprimés en N/ (ou en V/m). r= Y= y r= ( ) La composante E est nulle. La composante E vaut : E q = 4 πε 0 ( y ) On l exprime en N/ ( ou en V/m ) ttention : /3 des étudiants ratent cette sous-question et la suite parce qu ils ne prennent pas la peine d écrire r et r en fonction du repère. La moyenne des étudiants qui n écrivent pas correctement E Z est significativement plus basse que celle des autres, même pour les autres examens.

42 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 4 / 60 c Le champ total est la somme des champs dus à q, q et q. Par symétrie, la composante en est nulle. q q O E somme des champs dus à q, q et q 3 t composante en x nulle par symétrie d Le champ dû à q vaut : Y = ( 0+ ) ( ) + y 0 q y E q = E q+ 4πε 0 ( + y ) + y e f De même pour le champ dû à q : Y = ( 0 ) ( ) + y 0 q y E q = E q+ 4πε 0 ( + y ) + y Le champ total, dû à q, q et q est q qy Et = + 4πε ( y ) ( + y ) 3 0 L équation correcte est l équation Eq 4. Le potentiel est défini pour une charge unitaire. Le potentiel en est égal au potentiel en augmenté du travail à fournir pour amener la charge de en en s opposant au champ électrique. V = V + W = V + E dl V V = E dl Le champ est parallèle à la direction OY donc : Y q y VY = E dl = dy O 3 4πε + 0 y= 0 ( y ) ( + y ) est-à-dire, en utilisant les relations aimablement fournies : q 5 VY = 4πε 0

43 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 43 / 60 janvier 007 question E. Pour ce circuit : S 0 m S m R 5 kω R 5 kω R 3 0 kω On demande : a. de calculer et de représenter le dipôle équivalent de Norton au dipôle Pour ce faire, nous vous conseillons de transformer le circuit afin de faciliter le calcul. b. de calculer et de représenter le dipôle équivalent de Thévenin équivalent à.. Le circuit suivant est dans un état stable pour t < 0. En t = 0, on ferme l interrupteur : t = 0 R 3 8 kω V S V R 8 kω R 4 kω 0 μf La tension aux bornes du condensateur est V (t) On demande : c. de déterminer les conditions initiale et finale pour V (t) (la tension aux bornes de la capacité) d. de calculer l équation analytique de V (t) en t 0 e. de calculer l équation analytique de (t) en t 0

44 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 44 / 60 Solution : a Transformations successives :. ssocier S et R en un dipôle de Norton DN, S et R en DN. Transformer DN et DN série en un dipôle de Thévenin DT3 4 Transformer DT3 en R» parallèles en un dipôle équivalent de Norton DN4 DN S R S R R th3 R 3 R 3 V th3 DN4 N4 G N4 DT3 DN Paramètres de DN, DN mmédiat Paramètres de DT3 V th3 égale à la tension en circuit ouvert aux bornes de DT3 donc égale à la tension en circuit ouvert aux bornes de la mise en série de DN et DN donc égale à la somme des tensions à courant externe nul pour DN et DN : V = V + V = R + R V th3 th3 co,dn co,dn S S = 00V co3 = 0 S 8 m R 5 kω V co = -40 V DN V co3 = -00 V DT3 S DN m R 5 kω V co = -40 V T th3 égale à la résitance entre les bornes de DN et DN en série à sources nulles R = R + R th3 R = 0k Ω th3

45 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 45 / 60 Paramètres de DN4 N4 égal au courant en circuit ferme de DT3 et R 3 en parallèle V = th3 N4 R th3 cf4 = 0 m V th3 R th3 0 kω 00 V R 3 0 kω V cf4 = 0 V D4 D3 G N4 égale à la conductance entre les bornes de DT3 et R 3 en parallèle à source nulle G N4 = + = 0kΩ 0kΩ 5kΩ b Deux dipôles équivalents à un même troisième sont équivalents entre eux. On cherche l équivalent de Thévenin DT4 de DN4. N4 R th4 G N4 V th4 DN4 DT4 V th4 égal à la tension à sortie ouverte de DN4 : V th4 = G N4 N4 [ ] [ ] V = 0 m 5 kω = 50V th4 R th4 égal à la résistance entre les bornes de DN4 à sources nulles : R R th4 th4 = G N4 = 5kΩ

46 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 46 / 60 c onditions initiales et finales Redessiner le schéma e,n t<0 t < 0 V S V R 8 kω R 4 kω 0 μf V eq R es 4 V 0 μf. Simplifier le schéma : nterrupteur ouvert on peut omettre la résistance R3 du schéma partie gauche : dipôle connecté en parallèle sur le condensateur représenter par son équivalent de Thévenin. V th = tension aux bornes du dipôle en circuit ouvert VS 4 Vth = R = VS = 4 [ V] R + R. Valeur de V immédiatement avant la fermeture de l interrupteur, V ( 0 ) système stable énergie dans le condensateur constante ( 0 ) = 0. V ( 0 ) = V eq = 4 V 3. Valeur initiale de V immédiatement après la fermeture de l interrupteur, V ( 0 + ) Transition instantanée pas de variation d énergie V inchangé V ( 0 + ) = V ( 0 ) = 4 V Redessiner le schéma en,t 0, t 0 V S V R e 4 kω R 4 kω 0 μf R es kω V eq 6 V 0 μf. Simplifier le schéma nterrupteur fermé résistances R et R en parallèlle remplacer par une résistance équivalente de 4 kω. partie gauche : dipôle connecté en parallèle sur le condensateur représenter par son équivalent de Thévenin. V th = tension aux bornes du dipôle en circuit ouvert VS 4 Vth = R = VS = 6 [ V] R + R 8

47 FS 0 Physique, Électricité Questions posées à l examen 47 / 60 R th : résistance entre les bornes à source nulle R = + th = kω 4 4 [ ]. Valeur finale de V longtemps après la fermeture de l interrupteur, V ( ) système stable énergie dans le condensateur constante ( ) = 0. V ( ) = V eq = 6 V d En t 0, on peut écrire les équations du circuit : KL au nœud = Req Eq. constitutives de, V eq et R eq : dv V V = eq dt R Eq. différentielle de V ( t ) : où τ= eq dv V τ + V = eq dt R R est la constante de temps τ= k [ Ω ] 0μF [ ] = 0[ ms ] La solution de l équation différentielle est de la forme V () t = + e t τ On détermine et par identification V ( ) = = 6[ V] V ( 0) = 6+ = 4[ V] = [ V] L équation de V (t) est : t V () t = 4 e [ V] c e L équation constitutive du condensateur donne (t) : dvc () t c() t = dt t d4 e c t 0 0 dt 6 () = ( ) [ ] t () t = e [ m] c