1-1 - A quelle condition sur la nature de la variable X peut-on définir sa moyenne? X doit être numérique.

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1 Partiel novembre Exercice I A quelle condition sur la nature de la variable X peut-on définir sa moyenne? X doit être numérique Qu appelle-t-on premier décile d une distribution? La valeur x telle que F(x)=0,1 ou la plus grande valeur des 10% plus petits individus de l'échantillon étant une valeur de X et F sa fonction de répartition (fréquences cumulées), que désigne la notation F(12)? La proportion des individus de l'échantillon pour laquelle la valeur de X est Que représentent les notations nij et n.j? Donner une expression ou une formule qui les lie. nij est l'effectif de la modalité ij ; n.j est la somme de la jème colonne ; n.j = n1j+..+nkj = i=1,k nij Dans un tableau de contingence XxY, les sommes des effectifs des distributions marginales de X et de Y sont égales : quel est ce nombre? La taille de l'échantillon XxY étant une distribution conjointe, combien X a-t-elle de distributions conditonnelles? Autant que Y a de modalités. Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre Page 1

2 1-7 - Si les distributions conditionnelles en fréquences de X sont égales, les distributions conditionnelles en fréquences de Y sont identiques : vrai ou faux? Vrai car X et Y sont indépendantes Si m est une modalité de X, que représente E/m? L'ensemble des individus de l'échantillon pour lesquels la mesure de X est m m est une modalité de X, m une modalité de Y ; l effectif marginal de m est égal à 78 et la fréquence de la modalité m de X/m est 28,2% : quel est l effectif de la modalité conjointe (m, m )? 28,2 pour cent de 78 arrondis à la plus proche valeur entière : Qu'entend-on par «effectif d'une modalité conjointe (m, m') sous hypothèse d'indépendance»? Comment le calcule-t-on? L'effectif qu'on devrait observer pour cette modalité si X et Y étaient indépendantes, à distributions de X et Y constantes Comment calcule-t-on le Khi2 d'indépendance d'un tableau de contingence? Peut-il être négatif? On fait la somme des contributions au Khi2 des modalités conjointes. Non : c'est une somme de nombres positifs ou nuls. Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre Page 2

3 Quelle est la différence entre indépendance et indépendance statistique? X et Y sont indépendantes si le Khi2 est nul ; elles sont statistiquement indépendantes si le Khi2 est petit et peut être considéré comme un effet du choix de l'échantillon. Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre Page 3

4 Exercice II - X est le nombre d habitants d une commune. La mesure de X sur un échantillon de 1000 communes a donné les résultats suivants : [1-100[ [ [ [ [ [ [ [ ] Tableaux de résultats Modalités [1-100[ [ [ [ [ [ [[ ] Total Effectifs Amplitude Densité 1,28 2,17 1,14 0,40 0,11 Centre 50, ni*ci 6413, , Déterminer le mode de X Le tableau indique que la seconde modalité [ [ est la plus dense (effectif par unité d'amplitude) : c'est donc le mode Calculez sa moyenne On prend le centre comme représentation numérique d'une modalité ; la moyenne est la somme pondéré des centres ; on la calcule ici par la formule ( i=1,k ni.*ci)/n = ,5/1000 = 479,26 Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre Page 4

5 2-3 - Evaluer sa médiane La modalité [ [ contient la médiane puisque F(200)=34,4<0,5 et F(500)=68,7>0,5 ; on peut l'estimer par la formule : Me = *(50-34,4)/34,3 = 336, Construire proprement l'histogramme de de la distribution de X, en plaçant la médiane. On place les bornes des modalités ; au-dessus de chaque intervalle on trace un rectangle de hauteur égal à la densité (proportionnel à l'effectif). 2,33 2 1,66 1,33 1 0,66 0,33 0 Me Quelle est la surface de la portion de l histogramme située à droite de la médiane? 0,5 par définition de la médiane. Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre Page 5

6 Exercice III - Distribution des notes à une épreuve (X) selon l appartenance à un groupe (Y). X-Note / Y-Groupe G1 G2 G3 de 0 à 4 exclu de 4 à 8 exclu de 8 à 12 exclu de 12 à 16 exclu de 16 à Combien vaut n23 et n.1? n23 vaut 24 et n (somme de la première colonne). 3-2 Calculer, en pourcentages, la distribution de X conditionnée par la modalité G1 et la distribution marginale de X. Ces deux distributions suffisent-elles à établir l'indépendance de X et Y? Le pourcentage de la modalité i pour X/Y=j est par définition le nombre nij/n.j On trouve : Modalités [0-4[ [4-8[ [8-12[ [12-16[ [16-20] Total X/G1-eff X/G1-% 4% 14% 26% 36% 20% 100 X-eff X-% 6,2% 18,5% 21,3% 34,7% 19,3% 100 Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre Page 6

7 Non car elles sont différentes ; mais X et Y sont peut-être statistiqument indépendantes. 3-3 Calculer la distribution de Y conditionnée par la modalité 8 à 12, en pourcentages. De même duale on trouve : Modalités G1 G2 G3 Total Y/8-12-eff Y/8-12-% 40,6% 34,4% 25,0% Calculer puis tracer sur un même graphique les fonctions de répartition conditionnelles de X ; placer les médianes conditionnelles. Bornes X/G1-% X/G2-% X/G3-% Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre Page 7

8 X/G X/G3 X/G Pour la modalité conjointe (12à16, G3), calculer l'effectif sous hypothèse d'indépendance de X et Y, puis la contribution au Khi2. ñij est donné par la formule ni. * n.j / n On trouve : ñ43 = 150*156/450 = 52 La contribution au khi2 de la modalité ij est donné par la formule (nij-ñij) 2 /ñij On trouve pourla modalité 43 : (52-42)*(52-42)/52 = 1,92 Cours de statistiques II - Correction du premier partiel eol - 2 décembre Page 8