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1 Le principal objectif de ce cours est de permettre à l étudiant d acquérir des connaissances de base de l électronique numérique. Il permet à l étudiant de comprendre le fonctionnement de circuits logiques combinatoires et séquentiels qui sont à la base de l architecture des ordinateurs. 1

2 Descriptif et contenu Systèmes binaires et algèbre de Boole Portes: ET, OU inclusif/ exclusif, porte NON, NON ET etnon OU, Porte à Trois Etats Théorèmes de Morgan Résumé des identités booléennes de base Ecritures canoniques d'une fonction logique (Somme canonique de produits, Produit canonique de sommes) Simplification de l'écriture des fonctions logiques (Simplification algébrique, Tableaux de Karnaugh) Addition binaire (Demi additionneur, Additionneur, Addition en parallèle, Addition séquentielle) Soustraction (Demi soustracteur, Additionneur-soustracteur, Comparaison) Contrôle de parité Décodage (Décodeur DCB-décimal) Multiplexage (Démultiplexeur, Multiplexeur, Conversion parallèle-série) Encodage Unité arithmétique et logique Logique séquentielle asynchrone et synchrone Bascules: RST ou RS Clock, JK, D et T Registres: mémorisation, décalage Compteurs : asynchrones, synchrones 2

3 CHAPITRE I : Algèbre Booléenne et simplification logique 3

4 INTRODUCTION: L algèbre de Boole doit son nom au mathématicien Anglais Georges BOOLE ( ). Cette algèbre a été mise en place pour formaliser les règles de la logique des propositions. Elle a été publiée en L algèbre booléenne permet d'utiliser des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs de la logique des propositions. Aujourd'hui, l'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans la conception des circuits électroniques. L'algèbre de Boole des fonctions logiques permet de modéliser des raisonnements logiques, en exprimant un «état»enfonctiondeconditions. 4

5 INTRODUCTION: Exemple: Communication = Émetteur ET Récepteur Communication est «VRAI» Si Émetteur actif ET Récepteur actif (c'est une fonction logique dépendant des variables Émetteur et Récepteur) Décrocher = ( Décision de répondre ET Sonnerie ) OU décision d'appeler Décrocher est «VRAI» Si on entend la sonnerie ET que l'on décide de répondre OU si l'on décide d'appeler. 5

6 II. CONCEPTS DE BASE 1. Prédicat On appelle prédicat ou proposition logique une «phrase»,quipeutêtresoitvraie,soitfausse. Exemples: (P1) Il neige, (P2) Latempératuredufourestsupérieureà400 Parconventiononnoteravrai = 1etfaux= 0. 0 et 1 sont des notations facilitant la lisibilité mais ne désignantpaslesréels0et1! 6

7 II. CONCEPTS DE BASE 2. Définition On appelle algèbre de Boole, un quadruplet (B, NON, ET,OU ) composé d'un ensemble B = {0, 1}, d'un opérateur unaire NON B B appelé complémentation, de deux opérateurs binaires ET,OU BxB B appelés respectivement multiplication logique et addition logique. Nouspouvonsdéfinirlesopérateurs: NON,ET, OU 7

8 II. CONCEPTS DE BASE 2. Définition NONou complémentation logique ( NOT a, a ). Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a 0 1 NOT a ET ou multiplication logique ( a AND b, a.b). Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b a.b

9 II. CONCEPTS DE BASE 2. Définition OU ouaddition logique ( a OR b, a+b ). Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b a+b

10 II. CONCEPTS DE BASE 3. Propriétés de base Une algèbre de Boole vérifie les axiomes suivants: 10

11 II. CONCEPTS DE BASE 4. Théorèmes Une algèbre de Boole vérifie les théorèmes suivants : 11

12 II. CONCEPTS DE BASE 5. Opérateurs ou fonction complémentaires OU exclusif ( a XOR b, a b), il correspond à l'équation suivante : a b= a. b + a. b Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b a b

13 II. CONCEPTS DE BASE 5. Opérateurs ou fonction complémentaires L'opérateur OU exclusif vérifie les propriétés suivantes : 13

14 II. CONCEPTS DE BASE 5. Opérateurs ou fonction complémentaires NON ET ou NAND ( a NANDb), il correspond à l'équation suivante : a NANDb= a. b Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b a NANDb

15 II. CONCEPTS DE BASE 5. Opérateurs ou fonction complémentaires NON ET ou NAND Remarques : 15

16 II. CONCEPTS DE BASE 5. Opérateurs ou fonction complémentaires NON OU ounor ( a NORb), il correspond à l'équation suivante : a NORb= a + b Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b a NORb

17 II. CONCEPTS DE BASE 5. Opérateurs ou fonction complémentaires NON OU ounor Remarques : 17

18 II. CONCEPTS DE BASE 5. Opérateurs ou fonction complémentaires Implique (a b), il correspond à l'équation suivante : a b= a+ b Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b a b

19 II. CONCEPTS DE BASE 5. Opérateurs ou fonction complémentaires Equivalent ( a b), il correspond à l'équation suivante : a b= a. b+ a. b = a b = axorb Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b a b

20 II. CONCEPTS DE BASE 5. Opérateurs ou fonction complémentaires Inhibe ( a b), il correspond à l'équation suivante : a b= a + b Cet opérateur est défini par la table de vérité suivante : a b a b

21 III. FONCTIONS BOOLÉENNES 1. Définition Soit une algèbre de Boole constituée du quadruplet (B, NON,ET,OU ) où B est l'ensemble B = {0, 1}. Soit B n = {(a1,a2,...,an) a i B} avec B n = 2 n On appelle fonction booléenne de n variables, toute application de B n dans B. Exemple : f (x, y, z) = x. z+ x( y+ z) 21

22 III. FONCTIONS BOOLÉENNES 2. Table de vérité Une fonction booléenne de n variables est entièrement définie par la liste de ses valeurs. On donne donc la valeur de la fonction pour chaque combinaison des n variables booléennes. On obtient ainsi la table de vérité de la fonction. La table de vérité d'une fonction de n variables est composée de n + 1 colonnes et de 2 n lignes. 2 variables ==> 3 colonnes et 4 lignes 3 variables ==> colonnes et lignes 4 variables ==> colonnes et lignes 22

23 III. FONCTIONS BOOLÉENNES 2. Table de vérité Exemple : La fonction f (x, y, z) = peut-être définie par la table de vérité ci-dessous: X y z f (x, y, z) 23

24 III. FONCTIONS BOOLÉENNES 3. Formes canoniques d une fonction booléenne 3.1 Fonction booléenne Soit (B, NON,ET,OU ) une algèbre de Boole. Une fonction booléenne f de n variables booléennes B n dans B est une application qui a tout n-upletde B fait correspondre un élément B construit à l aide des opérations booléennes Exemple: f(a, b, c)= g(a, b, c, d)= a + a b + b c abc+ ab+ dc+ b 24

25 III. FONCTIONS BOOLÉENNES 3. Formes canoniques d une fonction booléenne 3.2 Mintermes et maxtermes Un «minterme» de n variables est un produit comportant n facteurs, chaque facteur correspondant à une variable donnée ou à son complémentaire. Un «maxterme» de n variables booléennes est une somme comportant n termes, chaque terme correspondant à une variable donnée ou à son complémentaire. Exemple: Soit a, b, c et d quatre variables booléennes. abcd, a bcd et abcd sont trois mintermesconstruit à partir des variables a, b, c et d. a + b+ c+ d, a + b+ c+ d et a + b+ c+ d sont trois maxtermesconstruit à partir des variables a, b, c et d. Remarque: A partir de n variables booléennes on peut élaborer 2 n mintermeset 2 n maxtermes 25

26 III. FONCTIONS BOOLÉENNES 3. Formes canoniques d une fonction booléenne 3.3 Forme canoniques disjonctive et conjonctive d une fonction booléenne Soit f une fonction booléenne de B n dans B. Il est possible d écrire f de façon unique sous la forme d une somme de mintermes. Cette somme est appelée «forme disjonctive: SDP» de f. De façon analogue, il est possible d écrire f sous la forme d un produit de maxtermes. Ce produit est appelé «forme conjonctive : PDS» de f. Exemple: Considérons la fonction booléenne: = On a: f ( a, b, c ) =ab.1 = ab.( c+ c) = abc + abc a b (1 est un élément neutre de la multiplication) (principe du tiers exclus) (distributivité) 26

27 IV. SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 1. Définition Une fonction étant, en générale, définie par sa table de vérité non partirons de la forme canonique disjonctive de la fonction booléenne pour en établir une forme simplifiée. On obtient ainsi un polynôme contenant un minimum de variable. 1. Simplification par calcul En utilisant les axiomes et les théorèmes de l'algèbre de Boole, nous pouvons obtenir la forme simplifiée d'une fonction booléenne. Cette méthode, utilisable dans des cas simples, est fastidieuse et hasardeuse. 27

28 IV. SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 2. Simplification par tableau de Karnaugh 2.1 Définition Un tableau de Karnaughest une table de vérité dans lequel chaque case représente un Minterme. Les cases du tableau sont ordonnées suivant un code binaire réfléchi (le code GRAY (ci-dessous)) de tel sorte que pour passer d'une case à une autre seule une variable change d'état. Exemple : Tableau de Karnaughà 4 variables 28

29 IV. SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 2. Simplification par tableau de Karnaugh Exemple : Tableau de Karnaughà 4 variables 29

30 IV. SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 2. Simplification par tableau de Karnaugh 2.2 Méthodologie a) Remplissage du tableau Ecrire 1 dans chaque case (Minterme) correspondant à une valeur vraie de la fonction booléenne. Ecrire 0 dans chaque case (Minterme) correspondant à une valeur fausse de la fonction booléenne. Ecrire X dans chaque case (Minterme) correspondant à une valeur non définie de la fonction booléenne. 30

31 IV. SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 2. Simplification par tableau de Karnaugh 2.2 Méthodologie b) Regroupement Regrouper les cases adjacentes contenant des 1ou des Xpar puissances de 2 en formant les plus grands groupes possibles. Vérifier que : Chaque case contenant un 1 appartient au moins à un regroupement, Chaque groupe est de taille maximale (1, 2, 4, 8, 16,... 2 n cases), Aucune case contenant un 0 n'est incluse dans un regroupement. Le terme correspondant à chaque groupe est le produit des variables qui restent inchangées sur l'ensemble des cases constituant le regroupement. On appelle ce terme un impliquant premier 31

32 IV. SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 2. Simplification par tableau de Karnaugh 2.2 Méthodologie c) Fonction booléenne simplifiée La fonction booléenne simplifiée est la somme de tous les impliquants premiers. Remarque: La méthode de simplification par tableau de Karnaughreste limitée aux fonctions booléennes ne comportant pas plus de 5 à 6 variables. 32

33 IV. SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 2. Simplification par tableau de Karnaugh Exemple 1:Diagramme de Karnaugh d une SDP non standard Soit la fonction f ( x, y, z) = x. y + x( y + z) dont la forme canonique disjonctive est égale à f ( x, y, z) = xyz + xyz + xyz + xyz ++ xyz Nous pouvons établir le tableau de Karnaugh suivant : D'où la forme simplifiée de la fonction f ( a, b, c) = xz + y 33

34 IV. SIMPLIFICATION DES FONCTIONS BOOLÉENNES 2. Simplification par tableau de Karnaugh Exemple 2:Diagramme de Karnaugh d une PDS non standard Soit la fonction PDS minimisé g suivante g( A, B, C, D) = ( C + D).( A+ B + D).( A+ B + C) La combinaison des valeurs binaires sont : (x+x+0+0)(0+0+x+0)(1+0+0+x) CD AB PDS standard? SDP standard? SDP minimisé?

35 Applications EXERCICE 1: Deux fonctions sont équivalentes si elles ont la même forme canonique; démontrer les équivalences suivantes: T1 ( a + b)( a + c) ac + ab T 2 = ( a + b)( a + c)( b + c) ( a + b)( a + c) EXERCICE 2: Ecrire les tables de vérités des fonctions suivantes : ab, ab + ab, ab Montrer qu elles permettent de comparer a et b 35

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37 V. SCHÉMATISATION DES OPÉRATEURS LOGIQUES 2. Notation Américaine 37

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