Chapitre 1 : Unités et dimensions

Transcription

1 Université de Cergy Pontoise Chapitre 1 : Unités et dimensions PCSTI L1-S1 Sites web : Bureau International des Poids et Mesures (B.I.P.M.) : Valeur des constantes fondamentales : Bibliographie : LEHOUCQ R. et UZAN J.P. Les constantes fondamentales. Paris : Belin, 2005 UZAN J.P. et LECLERCQ B. De l importance d être une constante. Paris : Dunod, 2005 I. Introduction Le physicien cherche à décrire et comprendre les phénomènes de la nature. La physique étudie, par l expérimentation et l élaboration de concepts et de théorie, la matière et le rayonnement en relation avec l espace et le temps. Le théoricien cherche un modèle permettant de comprendre les phénomènes pour les expliquer par un «tout se passe comme si» ; mais l expérimentateur lui demande sans cesse de remettre son ouvrage sur le métier pour intégrer les nouvelles données expérimentales. Dans la réalité, il n y a pas de théoriciens purs et d expérimentateurs purs ; le physicien fait constamment des allers et retours théorie expérience. Leur confrontation sera développée en travaux pratiques. Une expérience fait appel dans la plupart des cas à une mesure. Mais, qu est-ce qu une mesure? Mesurer une grandeur physique, c est compter combien de fois un étalon, appelé également unité, est contenu dans cette grandeur. Un organisme est chargé d'assurer l'uniformité mondiale des mesures et leur traçabilité au Système International d'unités : il s agit du Bureau International des Poids et Mesures (B.I.P.M.), créé par la Convention du Mètre signée à Paris le 20 mai 1875 par dix-sept États. Il a son siège près de Paris, dans le domaine du Pavillon de Breteuil (Parc de Saint-Cloud). Le Bureau international a pour mission d'assurer l'unification mondiale des mesures physiques. Il est chargé d'établir les étalons fondamentaux et les échelles pour la mesure des principales grandeurs physiques et de conserver les prototypes internationaux ; d'effectuer la comparaison des étalons nationaux et internationaux ; d'assurer la coordination des techniques de mesure correspondantes ; d'effectuer et de coordonner les mesures des constantes physiques fondamentales qui interviennent dans les activités ci-dessus. Une Conférence générale rassemble des délégués de tous les 48 États membres de la Convention du Mètre et se réunit actuellement tous les quatre ans dans le but : de discuter et de provoquer les mesures nécessaires pour assurer la propagation et le perfectionnement du Système international d'unités (SI), forme moderne du Système métrique ; de sanctionner les résultats des nouvelles déterminations métrologiques fondamentales et d'adopter les diverses résolutions scientifiques de portée internationale ; d'adopter les décisions importantes concernant l'organisation et le développement du Bureau international. II. Les unités : le système international (S.I.) On distingue deux classes d'unités SI : les unités de base et les unités dérivées. Du point de vue scientifique, la division des unités SI en ces deux classes est arbitraire car elle n'est pas imposée par la physique. Néanmoins, la Conférence générale a pris en considération les avantages que présente l'adoption d'un système mondial d'unités, unique et pratique, pour les relations internationales, l'enseignement et la recherche scientifique, et a décidé de fonder le Système international sur un choix de sept grandeurs de base et de leurs unités bien définies que l'on convient de considérer comme indépendantes du point de vue dimensionnel : 1- Les grandeurs physiques de base et leurs unités - Longueur : le mètre (m) est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/ de seconde. - Masse : le kilogramme (kg) est l'unité de masse ; il est égal à la masse du prototype international du kilogramme. - Temps : la seconde (s) est la durée de périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium Intensité électrique : l'ampère (A) est l'intensité d'un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance de 1 mètre l'un de l'autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs une force égale à newton par mètre de longueur. - Température thermodynamique : le kelvin (K) est l unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273,16 de la température thermodynamique du point triple de l'eau. - Quantité de matière : la mole (mol) est la quantité de matière d'un système contenant autant d'entités élémentaires qu'il y a d'atomes dans 0,012 kilogramme de carbone Intensité lumineuse : la candela (cd) est l'intensité lumineuse, dans une direction donnée, d'une source qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540 x hertz et dont l'intensité énergétique dans cette direction 1 est 1/683 watt par stéradian.

2 2-Les grandeurs et les unités dérivées Les unités dérivées sont les unités qui sont formées en combinant les unités de base d'après des relations algébriques qui lient les grandeurs correspondantes. Les noms et les symboles de ces unités sont exprimés à l'aide des noms et symboles des unités de base. Certains d'entre eux peuvent être remplacés par des noms et des symboles spéciaux qui peuvent être utilisés pour exprimer les noms et symboles d'autres unités dérivées. Grandeur dérivée Nom de l unité S.I. Symbole de l unité S.I. superficie mètre carré m² vitesse mètre par seconde m/s masse volumique kilogramme par mètre cube kg/m 3 Tableau 1 : exemples d'unités SI dérivées exprimées à partir des unités de base Par souci de commodité, certaines unités dérivées (tab. 2) ont reçu un nom spécial et un symbole particulier. Ces noms et symboles peuvent être utilisés pour exprimer d'autres unités dérivées (tab. 3). Les noms spéciaux et les symboles particuliers permettent d'exprimer, sous une forme condensée, des unités fréquemment utilisées. Grandeurs dérivées Nom de l unité S.I. Symbole de l unité S.I. Expression en S.I. angle plan radian rad m/m angle solide stéradian sr m²/m² fréquence hertz Hz s -1 Energie, E=. mv 2 joule J m 2 kg s -2 résistance électrique ohm m 2 kg s -3 A -2 Tableau 2 : exemples d unités S.I. dérivées ayant des noms spéciaux et des symboles particuliers Il est important de souligner que chaque grandeur physique n'a qu'une seule unité SI, même si cette unité peut être exprimée sous différentes formes. L'inverse, toutefois, n'est pas vrai : une même unité SI peut dans certains cas être employée pour exprimer les valeurs de grandeurs différentes (cf. tab. 3). Grandeurs dérivées Nom de l unité S.I. Symbole de l unité S.I. Expression en S.I. moment d une force newton mètre N m m 2 kg s -2 vitesse angulaire radian par seconde rad/s m m -1 s -1 capacité thermique joule par kelvin J/K m 2 kg s -2 K -1 entropie joule par kelvin J/K m 2 kg s -2 K -1 champ électrique volt par mètre V/m m kg s -3 A -1 Tableau 3 : exemples d unités S.I. dérivées dont le nom et le symbole comprennent des unités S.I. dérivées ayant des noms spéciaux et des symboles particuliers Nom Symbole Valeur en unité S.I. minute min 60 s heure h 60 min = 3600 s jour d 24 h = s degré ( /180) rad minute d arc 1/60 = ( /10800) rad seconde d arc 1/60 = ( /648000) rad litre L,l 1dm 3 = 10-3 m 3 tonne t 10 3 kg are a 100 m² hectare ha 10 4 m² bar bar 1000 hpa = 10 5 Pa ångström Å m Tableau 4 : exemples d unités en dehors du S.I. en usage avec le S.I. Nom Symbole Valeur en S.I. électronvolt ev 1, (49) J unité de masse atomique unifiée u 1, (10) kg unité astronomique ua 1, (30) m Tableau 5 : unités en dehors du S.I. dont la valeur en unité S.I. est obtenue expérimentalement. 2

3 Tableau 6 : multiples et sous-multiples décimaux des unités S.I. III. Les constantes fondamentales La physique actuelle est structurée autour de trois quantités supposées invariantes dont les valeurs ne sont connues que par la mesure expérimentale. Il s agit de : La vitesse de la lumière, notée c = m/s La constante de gravitation universelle, notée G = (6,6742 ± 0,0010) m 3 kg -1 s La constante de Planck, notée h = (6, ± 0, ) J s 3

4 IV. Les dimensions PCSTI (S1) 1. La dimension d une grandeur. Notation Des grandeurs telles que la distance Terre-Lune, la hauteur de la tour Eiffel, la longueur de la table, le rayon d un atome d hydrogène sont des grandeurs de même type : ce sont des longueurs. On dit que ce sont des grandeurs de même dimension, notée L. * Grandeur vectorielle et grandeur scalaire : - Chaque grandeur physique G est caractérisée par sa dimension, notée [G] et par sa nature scalaire ou vectorielle.- - Lorsqu'il s agit d une grandeur vectorielle, son symbole est surmonté d une flèche vers la droite et c est la norme du vecteur qui a une dimension et s exprime avec une unité. - Une grandeur est scalaire si elle est complètement définie par un nombre réel (par ex. la masse, le volume ). - Une grandeur est vectorielle si, en plus d un nombre (qui correspond à la norme du vecteur), il faut une direction et un sens pour définir complètement la grandeur (par ex. la vitesse). Une grandeur vectorielle n a pas de dimension. 2. Equation aux dimensions On attribue à chaque grandeur de base un symbole dimensionnel : [Longueur] = L ; [Temps] = T ; [Masse] = M ; [Intensité électrique] = I ; [Intensité lumineuse] = I Lum ; [Température] = ; [quantité de matière] = N. - La dimension de n importe quelle grandeur physique G s exprimera en fonction d une combinaison des symboles. dimensionnels (L, T, M, I,.) des grandeurs de base définissant la grandeur G. Par conséquent, la dimension permet d exprimer les unités de la grandeur physique dans le système S.I. - Les définitions et les lois de la physique (lois de gravitation, F=G.m 1 m 2 /d 2, vitesse v=d/t...) se traduisent sous forme de relations mathématiques scalaires ou vectorielles qui lient entre elles des grandeurs physiques. Si on connaît une relation qui lie la grandeur dont on cherche la dimension à des grandeurs dont on connaît les dimensions, il suffit alors d exprimer la dimension de la grandeur étudiée avec les symboles dimensionnels des grandeurs de base du S.I. On dit alors qu on écrit une équation aux dimensions. [G]= L a M b T c I d. est l équation aux dimensions de la grandeur G (a, b, c, d, des coefficients réels à déterminer). - Par exemple, dans un mouvement rectiligne uniforme, la norme v de la vitesse s exprime comme le rapport de la distance d parcourue sur le temps t de parcourt, soit v = d/t. On obtient donc : [ v ] = [ d/t ] = [ d ] / [ t ] = LT -1. [v] = LT -1 est l équation aux dimensions de la vitesse v. L unité S.I de la vitesse est donc m.s -1, puisque le mètre est l unité S.I de longueur et la seconde, l unité S.I du temps. - L équation aux dimensions d une grandeur est indépendante des unités choisies (pieds, kilomètre, heure, année ) mais dépend des grandeurs de base du système d unité (longueur et temps,.). 3. Règles de calcul - La dimension d un produit (au sens large) est égale au produit des dimensions. Ex : [A.B]=[A].[B] - Les coefficients numériques et les grandeurs sans dimension ont une dimension égale à 1. - Par exemple, [1/2 m v²] = [1/2][m][v]² = 1. M. (LT -1 ) 2 =M L² T -2 avec [1/2]=1 - Les arguments des fonctions trigonométriques (sin, cos, tan ), des fonctions exponentielles et logarithmiques et leurs valeurs sont sans dimension. [cos(θ)]=[sin (θ)]=1; [angle]=[θ]=1; [exp(x)]= 1; [ln(x)]=1 Par exemple [v 0 cos ( t+ )] = [v 0 ] [cos( t+ )] = [v 0 ] = LT -1 avec [cos( t+ )] =[ t] = [ ] = Homogénéité - Les lois de la physique se traduisent sous forme de relations mathématiques (égalité ou inégalité : =, >, <, addition, soustraction.). - Tous les termes d une relation doivent être de même nature (scalaire ou vectorielle) et de même dimension. * F mg relation homogène vectoriellement * F mg relation homogène scalairement * F mg relation est fausse car les deux termes de la relation sont de nature différentes (scalaire et vectorielle). [F]=MLT -2 [mg]=[m][g]=[masse][accélération]=mlt -2 donc [F]=[mg] Donc la relation F = mg est homogène dimensionnellement Remarque : - Deux termes de dimensions différentes ne peuvent être égaux : [masse] [longueur] car masse rayon - par contre deux termes de même dimension ne sont pas forcément égaux! si [F]=[mg], alors F=mg ou vectoriellement. F mg ou F mg est dimensionnellement correct, mais cette relation est fausse 4

5 - On ne peut pas comparer, additionner ou soustraire la masse de la Lune et son rayon. * l addition (masse + rayon) est impossible dimensionnellement car [masse]=m [rayon]=l L addition (distance Terre, Lune + rayon Lune ) est possible dimensionnellement car [distance]= [rayon]=l * Contrôler l homogénéité d une relation consiste : - à vérifier que tous les termes de la relation sont de même nature (tous scalaires ou tous vectoriels). - à écrire l équation aux dimensions de chaque terme de l équation et à vérifier que ces équations aux dimensions sont identiques. - Il faut que tous les termes d une relation (addition ou soustraction) soient de même dimension. Si G=A+B, alors [G]=[A]=[B]=[A+B] 5. Analyse dimensionnelle - L analyse dimensionnelle permet, dans certains cas, de prévoir (sans démonstration théorique ni expérience quantitative) la forme d une relation entre grandeurs physiques ou la forme d une loi physique. -Elle permet de déterminer l expression (ou la formule) d une grandeur physique G en fonction des autres grandeurs physiques (A, B, C,.) définissant la grandeur G. - Une analyse a priori et/ou des expériences qualitatives permet de supposer que la grandeur G (étudiée) est fonction des autres grandeurs A, B, C et on suppose une relation du type : G = k A a B b C c (k est une constante ou un coefficient numérique sans dimension, et a,b et c des coefficients réels (0, > ou <) à déterminer par les équations aux dimensions. Méthode : * En écrit l égalité des équations aux dimensions de G et du terme de droite ka a B b C c en fonction des symboles dimensionnels (L, M, T, I, θ, I lim,n) des grandeurs de base du système S.I. [G] = [k A a B b C c ] * En utilisant l unicité de l équation aux dimensions, et par identification des deux membre de la relation, on peut écrire 3 équations à 3 inconnues a, b et c. * La résolution du système d équations permet de trouver les valeurs de a, b et c. * Il reste à vérifier par des expériences que la relation trouvée est bien correcte et à déterminer la valeur de k. V. Chiffres significatifs Les zéros situés à gauche du nombre ne sont pas significatifs, ceux situés à droite le sont. Ainsi 003,20 a la même signification que 3,20 (les 0 de gauche ne sont pas significatifs) mais pas que 3,2 (le 0 de droite est significatif) : 3,20 est précis à 5 millièmes près (soit 0,01/2=0,005=5/1000), alors que 3,2 est à 5 centièmes près (car 0,1/2=0,05=5/100): le zéro de droite donne des informations sur l incertitude, il ne faut pas le supprimer. Règle 1 Lors d une addition ou d une soustraction, on arrondit le résultat de calcul au rang du dernier chiffre après la virgule de la donnée la moins précise (celle qui a le moins de chiffres décimales). Exemple : 1,25 kg + 0,025 kg = 1,27 kg. (1,27 à 3 chiffres significatifs 1, 2 et 7) Règle 2 Lors d une multiplication ou d une division, le résultat de calcul doit comporter autant de chiffres significatifs (et pas plus) que la donnée la moins précise (celle qui a le moins de chiffres significatifs): au besoin, il faut arrondir. Exemple : 6,20 / 50 = 0,124 d'après la calculette. Mais 50 n'a que deux chiffres significatifs alors que 5 6,20 en a 3. Donc le résultat doit en avoir deux chiffres significatifs. On arrondi à 0,12. On écrira 6,20 / 50 = 0,12 (0,12 a deux chiffres significatifs 1 et 2)