Graphes parfaits : structure et algorithmes
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- Jean-Christophe Coutu
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1 Graphes parfaits : structure et algorithmes Nicolas Trotignon Thèse réalisée dans l équipe Graphes et Optimisation Combinatoire, Laboratoire Leibniz, IMAG, Grenoble Sous la direction de Frédéric Maffray et Michel Burlet Graphes parfaits : structure et algorithmes p.1/32
2 Coloration Colorier un graphe, c est affecter une couleur à chaque sommet, de sorte que 2 sommets adjacents sont toujours de couleurs différentes. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.2/32
3 Coloration Colorier un graphe, c est affecter une couleur à chaque sommet, de sorte que 2 sommets adjacents sont toujours de couleurs différentes. On cherche à minimiser le nombre de couleurs utilisées. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.2/32
4 Coloration Colorier un graphe, c est affecter une couleur à chaque sommet, de sorte que 2 sommets adjacents sont toujours de couleurs différentes. On cherche à minimiser le nombre de couleurs utilisées. Problème pour lequel il semble qu il n existe aucune méthode générale efficace (NP-difficile, Karp 1972). Graphes parfaits : structure et algorithmes p.2/32
5 Les graphes parfaits On note χ(g) le nombre chromatique de G, c est-à-dire le nombre minimum de couleurs permettant de colorier G. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.3/32
6 Les graphes parfaits On note χ(g) le nombre chromatique de G, c est-à-dire le nombre minimum de couleurs permettant de colorier G. On appelle clique de G tout ensemble de sommets 2 à 2 adjacents. On note ω(g) la taille de la plus grande clique de G. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.3/32
7 Les graphes parfaits On note χ(g) le nombre chromatique de G, c est-à-dire le nombre minimum de couleurs permettant de colorier G. On appelle clique de G tout ensemble de sommets 2 à 2 adjacents. On note ω(g) la taille de la plus grande clique de G. Berge, 1960 : on appelle graphe parfait tout graphe G tel que pour tout sous-graphe induit G on a : χ(g ) = ω(g ) Graphes parfaits : structure et algorithmes p.3/32
8 Théorème fort des graphes parfaits Un trou est un cycle (taille 4) sans corde. Un antitrou est le complémentaire d un trou. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.4/32
9 Théorème fort des graphes parfaits Un trou est un cycle (taille 4) sans corde. Un antitrou est le complémentaire d un trou. Un graphe est dit de Berge s il ne contient aucun trou impair et aucun antitrou impair. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.4/32
10 Théorème fort des graphes parfaits Un trou est un cycle (taille 4) sans corde. Un antitrou est le complémentaire d un trou. Un graphe est dit de Berge s il ne contient aucun trou impair et aucun antitrou impair. Théorème fort des graphes parfaits : un graphe G est parfait si et seulement s il est de Berge. Conjecturé par Claude Berge en Démontré par Chudnovsky, Robertson, Seymour et Thomas en Graphes parfaits : structure et algorithmes p.4/32
11 Optimisation combinatoire Soit A une matrice en 0 1. Le polyèdre défini par : Ax 1, x 0 a ses sommets à coordonnées entières si et seulement si A est la matrice des cliques d un graphe parfait G. (Fulkerson 1972, Lovász 1972, Chvátal 1975) Graphes parfaits : structure et algorithmes p.5/32
12 Optimisation combinatoire Soit A une matrice en 0 1. Le polyèdre défini par : Ax 1, x 0 a ses sommets à coordonnées entières si et seulement si A est la matrice des cliques d un graphe parfait G. (Fulkerson 1972, Lovász 1972, Chvátal 1975) Il existe un algorithme en temps polynomial pour colorier tout graphe parfait et trouver une clique maximum (Grötschel, Lovász, Schrijver, 1984). Graphes parfaits : structure et algorithmes p.5/32
13 Paire d amis Une paire d amis d un graphe G est une paire de sommets {a, b} telle que tous les chemins sans corde entre a et b sont de longueur paire (Meyniel, 1987). a b Graphes parfaits : structure et algorithmes p.6/32
14 Paire d amis Une paire d amis d un graphe G est une paire de sommets {a, b} telle que tous les chemins sans corde entre a et b sont de longueur paire (Meyniel, 1987). a b Graphes parfaits : structure et algorithmes p.6/32
15 Paire d amis Une paire d amis d un graphe G est une paire de sommets {a, b} telle que tous les chemins sans corde entre a et b sont de longueur paire (Meyniel, 1987). a b Théorème (Fonlupt, Uhry, 1981) : Si {a, b} est une paire d amis d un graphe G, alors le graphe obtenu en contractant {a, b} a même nombre chromatique et même taille de clique maximum que G. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.6/32
16 Coloration par contraction Un graphe G est contractile si, à partir de G, on peut obtenir une clique en contractant des paires d amis. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.7/32
17 Coloration par contraction Un graphe G est contractile si, à partir de G, on peut obtenir une clique en contractant des paires d amis. Un graphe G est parfaitement contractile si tout sous-graphe induit de G est contractile (Bertschi, 1990). Les graphes parfaitement contractiles sont parfaits. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.7/32
18 Prismes Un prisme impair Un prisme pair Le plus petit prisme Graphes parfaits : structure et algorithmes p.8/32
19 3 classes de graphes Bipartisan : dans G, G, ni trou impair, ni prisme long, ni, ni. Artémis : ni trou impair, ni antitrou (taille 5), ni prisme. Artémis pair : ni trou impair, ni antitrou (taille 5), ni prisme impair. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.9/32
20 Graphes d Artémis Comment trouver des paires d amis? C(T ) T Graphes parfaits : structure et algorithmes p.10/32
21 Graphes d Artémis Comment trouver des paires d amis? C(T ) T Graphes parfaits : structure et algorithmes p.10/32
22 Graphes d Artémis Comment trouver des paires d amis? A C(T ) B T Graphes parfaits : structure et algorithmes p.10/32
23 Graphes d Artémis Comment trouver des paires d amis? A C(T ) B T Graphes parfaits : structure et algorithmes p.10/32
24 Graphes d Artémis Comment trouver des paires d amis? A C(T ) B T Graphes parfaits : structure et algorithmes p.10/32
25 Graphes d Artémis Comment trouver des paires d amis? A C(T ) B T Tout se passe comment dans le cas sans carré, étudié par Linhares et Maffray. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.10/32
26 Lemme de Roussel & Rubio (Artémis) Lemme : Soit G un graphe d Artémis (ni trou impair, ni antitrou (taille 5), ni prisme) et T un ensemble anticonnexe de sommets. On définit un nouveau graphe en remplaçant T par un sommet, et en reliant ce nouveau sommet à tous les sommets de G qui étaient complets à T. Alors ce nouveau graphe ne contient ni : Trou impair (Roussel et Rubio, 2000) Prisme (voir thèse, lemmes 4.9 et 4.10) Antitrou (exercice) Graphes parfaits : structure et algorithmes p.11/32
27 Lemme de Roussel & Rubio (Artémis) Lemme : Soit G un graphe d Artémis (ni trou impair, ni antitrou (taille 5), ni prisme) et T un ensemble anticonnexe de sommets. On définit un nouveau graphe en remplaçant T par un sommet, et en reliant ce nouveau sommet à tous les sommets de G qui étaient complets à T. Alors ce nouveau graphe est d Artémis. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.11/32
28 Graphes d Artémis Ni trou impair, ni antitrou (taille 5), ni prisme. Théorème : Soit T un ensemble anticonnexe de sommets. Soit C(T ) l ensemble des sommets complets à T. Alors C(T ) est une clique ou C(T ) contient une paire d amis. Chaque graphe d Artémis pair est parfaitement contractile. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.12/32
29 Graphes d Artémis Ni trou impair, ni antitrou (taille 5), ni prisme. Théorème : Soit T un ensemble anticonnexe de sommets. Soit C(T ) l ensemble des sommets complets à T. Alors C(T ) est une clique ou C(T ) contient une paire d amis. Chaque graphe d Artémis pair est parfaitement contractile. Algorithme de coloration & clique max : O(n 6 ) (B. Reed a ramené la complexité à O(n 2 m)) Graphes parfaits : structure et algorithmes p.12/32
30 Graphes d Artémis Ni trou impair, ni antitrou (taille 5), ni prisme. Théorème : Soit T un ensemble anticonnexe de sommets. Soit C(T ) l ensemble des sommets complets à T. Alors C(T ) est une clique ou C(T ) contient une paire d amis. Chaque graphe d Artémis pair est parfaitement contractile. Algorithme de coloration & clique max : O(n 6 ) (B. Reed a ramené la complexité à O(n 2 m)) Décomposition (prouvée par Chudnovsky, Robertson, Seymour et Thomas) : Basiques : bipartis, cliques. Opération : partition antisymétrique paire. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.12/32
31 Graphes d Artémis pairs Ni trou impair, ni antitrou (taille 5), ni prisme impair. Décomposition (prouvée par Chudnovsky, Robertson, Seymour et Thomas) : Basiques : bipartis, cliques, prismes pairs. Opération: partition antisymétrique paire, 2-joint. Conjecture (Everett et Reed) : les graphes d Artémis pairs sont exactement les graphes parfaitement contractiles et il existe des séquences de contractions maintenant les graphes dans la classe. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.13/32
32 Graphes bipartisans G, G : ni trou impair, ni prisme long, ni, ni. Décomposition (Chudnovsky, Robertson, Seymour et Thomas) : Basiques : bipartis et leurs complémentaires. Opération : partition antisymétrique paire. Conjecture (Maffray, Thomas) : pour chaque G bipartisan, l un de G, G possède une paire d amis. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.14/32
33 Problèmes de reconnaissance Graphes parfaits : structure et algorithmes p.15/32
34 Problèmes de reconnaissance Détecter les trous impairs : problème ouvert. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.15/32
35 Problèmes de reconnaissance Détecter les trous impairs : problème ouvert. Reconnaissance des graphes de Berge : Chudnovsky, Cornuéjols, Liu, Seymour, Vušković, O(n 9 ), Graphes parfaits : structure et algorithmes p.15/32
36 Problèmes de reconnaissance Détecter les trous impairs : problème ouvert. Reconnaissance des graphes de Berge : Chudnovsky, Cornuéjols, Liu, Seymour, Vušković, O(n 9 ), Détection des antitrous : facile en O(n 5 ). Graphes parfaits : structure et algorithmes p.15/32
37 Problèmes de reconnaissance Détecter les trous impairs : problème ouvert. Reconnaissance des graphes de Berge : Chudnovsky, Cornuéjols, Liu, Seymour, Vušković, O(n 9 ), Détection des antitrous : facile en O(n 5 ). Détection des prismes : NP-complet. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.15/32
38 Le problème Π Instance : Un graphe G sans triangle, deux sommets non-adjacents a et b de degré 2. Question : G contient-il un trou passant par a et b? Théorème : Le problème Π est NP-complet. La preuve utilise une construction imaginé par Bienstock pour prouver la CoNP-complétude de la détection des paires d amis. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.16/32
39 Détection des prismes a 2 a 4 a G b b 4 b 2 a 1 a b b 1 a 3 a 5 a b b 5 b 3 Théorème : la détection des prismes est un problème NP-complet. Preuve : si on sait comment détecter les prismes, alors on sait résoudre le problème Π. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.17/32
40 Problèmes NP-complets Théorème : Les problèmes suivants sont NP-complets. Détection des prismes. Détection des prismes pairs. Détection des prismes impairs. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.18/32
41 Prismes et pyramides Un prisme impair Un prisme pair Le plus petit prisme Une pyramide La plus petite pyramide Graphes parfaits : structure et algorithmes p.19/32
42 Prisme ou pyramide Lemme : Soit G un graphe, soit K un sous-graphe de G qui est un prisme ou une pyramide, de taille minimale avec ces propriétés, avec un triangle {a 1, a 2, a 3 } et un sommet b à l autre extrémité de K. Soit R un plus court chemin de a i à b dont les sommets intérieurs manquent a i+1, a i+2. Alors, si on remplace le chemin de K allant de a i à b par R, on obtient encore un prisme ou une pyramide de taille minimale de G. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.20/32
43 Prisme ou pyramide Lemme : Soit G un graphe, soit K un sous-graphe de G qui est un prisme ou une pyramide, de taille minimale avec ces propriétés, avec un triangle {a 1, a 2, a 3 } et un sommet b à l autre extrémité de K. Soit R un plus court chemin de a i à b dont les sommets intérieurs manquent a i+1, a i+2. Alors, si on remplace le chemin de K allant de a i à b par R, on obtient encore un prisme ou une pyramide de taille minimale de G. Algorithme : détection des prismes ou pyramides en O(n 6 ). Graphes parfaits : structure et algorithmes p.20/32
44 Détection des prismes impairs Pourquoi la technique des plus courts chemins ne fonctionne-t-elle pas? P 1 a 1 P m 1 P 1 b 1 a 2 P 2 b 2 a 3 P 3 b 3 Graphes parfaits : structure et algorithmes p.21/32
45 Détection des prismes impairs Pourquoi la technique des plus courts chemins ne fonctionne-t-elle pas? P 1 a 1 P m 1 P 1 b 1 a 2 P 2 b 2 a 3 P 3 b 3 Graphes parfaits : structure et algorithmes p.21/32
46 La trame d un LGSK 4 : v ad v ac m ad v ab m ac v da v ca v dc m dc v cd v db m ab v cb m bd v ba m cb v bd v bc Graphes parfaits : structure et algorithmes p.22/32
47 Détection des prismes impairs Lemme : soit G un graphe sans trou impair ni LGSBK 4 et soit K un prisme de G de triangles (a 1, a 2, a 3 ), (b 1, b 2, b 3 ). Soit R un chemin sans corde de G d extrémités a 1, b 1, dont l intérieur manque a 2, a 3, b 2, b 3. Alors, si on remplace le chemin de K reliant a 1 et b 1 par R, on obtient un prisme de G de même parité que K. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.23/32
48 Détection des prismes impairs Lemme : soit G un graphe sans trou impair ni LGSBK 4 et soit K un prisme de G de triangles (a 1, a 2, a 3 ), (b 1, b 2, b 3 ). Soit R un chemin sans corde de G d extrémités a 1, b 1, dont l intérieur manque a 2, a 3, b 2, b 3. Alors, si on remplace le chemin de K reliant a 1 et b 1 par R, on obtient un prisme de G de même parité que K. Algorithme : détection des prismes impairs en O(n 20 ). Graphes parfaits : structure et algorithmes p.23/32
49 Détection : Résumé des résultats Graphes Graphes sans Graphes sans quelconques pyramide sans trou impair Pyramide ou prisme n 5 n 5 n 5 Pyramide n 9 [1] 1 1 Prisme NPC n 5 n 5 LGSPK 4 NPC n 20 n 20 LGSBK 4 NPC? n 20 Prisme impair NPC? n 20 Prisme pair NPC? n 11 [1] M. Chudnovsky, P. D. Seymour, Recognizing Berge Graphs, Graphes parfaits : structure et algorithmes p.24/32
50 Résumé des résultats Artémis : Ces graphes sont parfaitement contractiles. Algorithme de coloration : O(n 2 m). Algorithme de reconnaissance : O(n 9 ). Artémis pair : Algorithme de coloration en O(n 23 ) dont l optimalité dépend de la conjecture de Everett et Reed. Algorithme de reconnaissance : O(n 20 ). Bipartisan : Algorithme de reconnaissance : O(n 9 ). Graphes parfaits : structure et algorithmes p.25/32
51 Résumé des résultats Artémis : Ces graphes sont parfaitement contractiles. Algorithme de coloration : O(n 2 m). Algorithme de reconnaissance : O(n 9 ). Artémis pair : Algorithme de coloration en O(n 23 ) dont l optimalité dépend de la conjecture de Everett et Reed. Algorithme de reconnaissance : O(n 20 ). Conjecture de Everett et Reed? Bipartisan : Algorithme de reconnaissance : O(n 9 ). Conjecture de Maffray et Thomas? Coloration des graphes parfaits par paire d amis et/ou décompostions? Graphes parfaits : structure et algorithmes p.25/32
52 Bienstock s reduction t i a i f i b i A variable x i t i a i b i f i v 1 j A clause y v j j 2 c j d j t i v 3 j Together a i f i b i t i a i b i c j v 1 j v 2 j d j f i v 3 j All together a b Graphes parfaits : structure et algorithmes p.26/32
53 Detecting prisms or pyramids Lemma: Let G be any graph and let K be a smallest prism or pyramid in G with frame (a 1, a 2, a 3, b 1 ). Let R be any path of G whose ends are a 1, b 1, whose interior vertices are not adjacent to a 2, a 3, and which is shortest with these properties. Then R 1, P 2, P 3 form a smallest prism or pyramid of G. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.27/32
54 Detecting prisms or pyramids a 1 a 2 a 3 Graphes parfaits : structure et algorithmes p.28/32
55 Detecting even prisms Lemma: Let G be a graph that contains no odd hole and let K be a smallest even prism in G with frame (a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3, m 1, m 2, m 3 ). Let R be any path of G whose ends are a 1, m 1, whose interior vertices are not adjacent to a 2, a 3, b 2 or b 3, and which is shortest with these properties. Then a 1 -R-m 1 -P 1 -b 1 is a chordless path R 1 and R 1, P 2, P 3 form a smallest even prism in G. Graphes parfaits : structure et algorithmes p.29/32
56 LGPSK 4 v ad v ac R ad v ab R ac v da R ab v ca v dc R dc v cd v db v cb R bd v ba R cb v bd v bc Graphes parfaits : structure et algorithmes p.30/32
57 LGPSK 4 : NP-complete v ab v ad v ac a a a v da b b G b v ca v db v dc v cd v cb v bd v bc v ba Graphes parfaits : structure et algorithmes p.31/32
58 Detecting LGPSK 4 v ad v ac v ab c 2 R ad c3 e 2 e 1 R ac v da c 1 v ca v dc R ab d 1 P v cd e 3 v db e4 v cb R cd m ab d 2 R bd R ab d 3 v ba R bc v bd v bc Graphes parfaits : structure et algorithmes p.32/32
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