ÉPREUVE DE MÉCANIQUE

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1 BANQUE D ÉPREUVES DUT-BTS SESSION 0 ÉPREUVE DE MÉCANIQUE CODE ÉPREUVE : BE-MÉCA CACUATRICE INTERDITE DURÉE : H30

2 Eercice (A) e laiton est un alliage de cuivre et de zinc. (B) acier désigné par 35NiCrMo6 (35NCD6) est fortement allié. (C) En réalisant une trempe suivie d un revenu, le module d Young d un acier est modifié. (D) e coefficient de frottement statique, à sec, entre deu surfaces en acier est compris entre 0,0 et 0,0. (E) En général, le coefficient de frottement dynamique est supérieur au coefficient de frottement statique. Eercice ors de la conception d un engrenage, notamment au niveau de l avant-projet, il est fréquent de faire appel à un modèle qui consiste à représenter la dent comme une poutre encastrée en O soumise à un chargement ponctuel en I. a Figure représente la modélisation d une des dents du pignon inférieur par une poutre de longueur (environ égale à la demi-hauteur de la dent) et de section constante S=s 0 b (où s 0 est l épaisseur curviligne de taille et b la largeur de la denture). Cette poutre est encastrée en O est soumise à un glisseur F en I dont la norme est notée F = F. Classiquement, dans le cadre de la théorie des poutres, on prendra comme convention que le torseur de cohésion à l abscisse représente les actions mécaniques intérieures eercées par la partie avale (> ) sur la partie amont (< ). s 0 α y S G b I z I F α G s 0 y z O Figure Modélisation d une dent d un pignon. (A) effort normal dans la poutre est : N()= F cosα ()

3 (B) e moment fléchissant selon z dans la poutre est : M()=Fcosα( ) () (C) e moment quadratique de la section S par rapport à l ae(g, z), est : I = s 0b 3 (D) a contrainte normale maimale dans la poutre est telle que : σ ma = F ( ) cosα+sinα s 0 b s 0 (E) e déplacement de l etrémité I sous l action du glisseur F est : U(I)= F ) S 3 ( sinα + E 3I cosα y Eercice 3 Dans cet eercice, on s intéresse au spécifications de la Figure. A 0,08 A-B B 5 5 0,0 A-B 0,0 A-B Figure Spécifications d une pièce. (A) e symbole dénote une spécification de cylindricité. (B) Pour chacune des spécifications, l élément tolérancé est une droite. (C) a spécification avec une tolérance 0, 08 est surabondante car automatiquement assurée si les spécifications avec une tolérance 0,0 sont vérifiées. (D) a référence commune A-B est une droite comprise dans deu cylindres de diamètres 0, 0. (E) a référence commune A-B aurait été différente si l on avait spécifié B-A.

4 Figure 3 Montage de roulements. Eercice 4 Dans cet eercice, on se propose d étudier le montage de roulements de la Figure 3. Celui-ci permet de guider en rotation un moyeu, supportant une des roues, par rapport à un essieu. (A) Ce type de montage est à réserver à des situations où les charges aiales à transmettre sont faibles. (B) e rotulage admissible par ce type de roulements est inférieur à 0 d angle. (C) écrou permet de régler la précharge dans le montage. (D) a durée de vie de tels roulements peut être calculée en utilisant la formule =(C/P) α où est la durée de vie nominale (en millions de tours), C la charge dynamique de base (en kn), P la charge dynamique équivalente (en kn), et α=3. (E) a durée de vie nominale d un roulement est associée à un niveau de fiabilité de 99 %. Eercice 5 a Figure 4 schématise le fonctionnement cinématique d un variateur de vitesse à bille. Il est composé d un bâti 0, d un arbre d entrée, d un arbre de sortie et d une bille 3. e repère R 0 = (O, 0, y 0, z 0 ), lié au bâti 0, est fie. es deu arbres présentent une surface conique (paramétré par l angle α) et sont en liaison pivot d aes (O, 0 ) et (O, 0 ) avec le bâti. On note ω et ω leurs vitesses de rotation par rapport au bâti. a bille 3, de rayon r, roule sans glisser sur les surfaces coniques (points de contact A et B) et un dispositif non représenté sur la figure permet à son centre I de rester immobile par rapport à R 0, sauf lors de la phase de réglage du variateur où l utilisateur influe sur la distance e. En dehors de cette phase de réglage, le torseur cinématique de 3 dans son mouvement par rapport à 0 est un glisseur d ae(i, u) et de résultante ω u. (A) e vecteur O A s eprime : O A= (r sinα+ e) u cosα (B) En eploitant le roulement sans glissement en A de 3 par rapport à, on peut montrer que : rω=( e+rsinα)ω 3

5 y 0 z 0 O α A u I 3 v B O e 0 0 Figure 4 Variateur à bille. (C) e vecteur O B s eprime : O B= (r sinα++e) u cosα (D) En eploitant le roulement sans glissement en B de 3 par rapport à, on peut montrer que : (E) e rapport de réduction entre ω et ω est : rω=(+e+rsinα)ω ω ω = e+rsinα +e+rsinα Eercice 6 On reprend le mécanisme de l eercice précédent (Figure 4), toujours sans prendre en compte le dispositif de réglage qui permet d influer sur la position du centre I de la bille. (A) On peut trouver des variateurs à bille(s) dans les mobylettes. (B) On aurait pu envisager de concevoir un variateur à galet, le galet étant placé de façon à ce que son ae soit(i, u). (C) a vitesse de rotation de la bille est la moyenne des vitesses de rotation des arbres d entrée et de sortie. (D) a liaison équivalente entre l arbre d entrée et l arbre de sortie est une sphère-cylindre d ae(i, u). (E) a liaison équivalente entre l arbre d entrée et l arbre de sortie est une cylindre-plan de ligne(i, u) et de normale v. 4

6 Eercice 7 On s intéresse au serre-joint schématisé sur la Figure 5, composé de deu pièces notées et. effort de serrage génère sur la mâchoire un effort P y eercé au point C. À cause du jeu interne entre les deu pièces et de cet effort, la mâchoire effectue une rotation d angle α, résultant en deu contacts ponctuels au points A et B. Pour les besoins de cet eercice, on supposera α 0. e point O est le milieu de AB. On note de plus d la largeur du manche de la pièce, D la largeur correspondante dans la pièce, la longueur du guidage entre et, H la distance horizontale entre C et O, et K la distance verticale entre C et O. On suppose qu en A (respectivement en B) les actions mécaniques eercées par sur sont représentées par un glisseur de résultante F A = X A + Y A y (respectivement F B = X B +Y B y). On précise de plus que ces efforts respectent les conditions d adhérence de Coulomb, le système étant en équilibre statique. On note ϕ l angle d adhérence. d A H C K O B y -P y α D Figure 5 Serre-joint. (A) e principe fondamental de la statique, écrit par eemple au point O, permet de déterminer complètement chacune des composantes X A, Y A, X B, Y B en fonction de certains des paramètres P, d, D, H, K, ϕ. (B) On peut montrer que pour pouvoir équilibrer l effort P, il faut : Y A > 0 et Y B > 0. (C) es composantes X A, Y A, X B, Y B sont toutes indépendantes de la distance K. (D) On peut montrer que la valeur absolue de Y A est strictement inférieure à la valeur absolue de Y B. (E) On peut établir que si la limite du glissement est atteinte, elle l est d abord au point A. 5

7 Eercice 8 On s intéresse à la torsion d un arbre supportant deu roues dentées de diamètres primitifs D et D représenté sur la Figure 6. arbre est guidé en liaison pivot parfaite par rapport au bâti et la longueur entre les roues dentées est notée. Du fait des efforts qui transitent dans les engrenages, il est soumis à deu moments de torsion de la part de l etérieur : en =0, le moment C ; en = le moment C = C. On note M() le moment de torsion dans l arbre à l abscisse et α() la rotation de la section correspondante. arbre a une section circulaire pleine de diamètre D. On note G le module de cisaillement de l arbre. On se place en statique pour effectuer cette étude. On choisit comme convention d origine des rotations l origine du repère : α(=0)=0. Classiquement, dans le cadre de la théorie des poutres, on prendra comme convention que le torseur de cohésion à l abscisse représente les actions mécaniques intérieures eercées par la partie avale (> ) sur la partie amont (< ). y D O D Figure 6 Arbre supportant deu roues dentées. (A) inertie géométrique (aussi appelé moment quadratique polaire) de la section autour de l ae (O, ) est égale à : I = πd4 64. (B) es diamètres primitifs des roues dentées étant différents, on peut en déduire que les forces de contact eercées par l etérieur sur chacun des pignons et sont d intensités différentes. (C) a rotation de la section α() est proportionnelle à. (D) e moment de torsion M() est proportionnel à. (E) Pour un couple d entrée C donné, la rotation différentielle θ θ = θ() θ(0) augmente si on augmente le module de cisaillement G. Eercice 9 e sujet de cet eercice est le freinage d un véhicule de masse M lancé à la vitesse v 0. e véhicule possède quatre roues de rayon R. On note C f le couple de freinage eercé sur chacune des quatre roues au niveau des disques de frein, avec C f < 0 ; on le supposera constant au cours du temps. effort tangentiel eercé par la chaussée sur le pneumatique est noté T. On fera l hypothèse de roulement sans glissement au contact entre la roue et le sol. Dans un premier temps, on néglige l inertie correspondant à la rotation des roues et des organes de la transmission. On suggère d utiliser une méthode énergétique pour accéder rapidement au résultat. 6

8 (A) a distance de freinage du véhicule, notée f, est égale à : f = M R v 0 8 C f (B) e temps de freinage nécessaire pour stopper le véhicule, noté t f, vaut : t f = M R v 0 π C f Pour un calcul plus précis, on décide maintenant de prendre en compte l inertie liée à la rotation des roues, ainsi que des organes de la transmission. Au total, cela revient à affecter à chacune des quatre roues une inertie équivalente autour de son ae notée J eq. (C) En prenant en compte l inertie de rotation, la distance de freinage du véhicule, notée f, est égale à : (D) e temps de freinage est alors égal à : f = ( M R + J eq ) v 0 4 C f R t f = ( M R + 4 J eq ) v0 4 C f R (E) ors du freinage, l essentiel de la puissance est dissipée par le contact entre la route et les pneumatiques. Eercice 0 Un système de préhension virtuelle est constituée d un «bras» dont le fonctionnement est schématisé sur la Figure 7. es liaisons sont toutes considérées comme des pivots parfaites. On note respectivement,, 3 les longueurs AB, BC, CD (les longueurs i sont toutes prises positives). e paramétrage angulaire choisi est le suivant : le corps est en rotation d angle α par rapport au bâti 0 autour de l ae (A, z 0 ) = (A, z ), la pièce effectue une rotation d angle β autour de l ae (B, z ) = (B, z ), la pièce 3 effectue la rotation d angle θ autour de l ae (C, y ) = (C, y 3 ). On prendra garde au fait que CD= 3 z 3, conformément à la figure. (A) e vecteur vitesse de rotation de la pièce 3 par rapport à 0 vaut : Ω(3/0)= θ y +( α β) z (B) e vecteur vitesse du solide par rapport à 0, eprimé au point C, vaut : V(C,/0)=( α+ ( α+ β)) y (C) e vecteur vitesse du solide 3 par rapport à 0, eprimé au point D, vaut : V(D,3/0)=[ α sinβ 3 θ cosθ] +[ α cosβ+ ( α+ β) 3 ( α+ β)sinθ] y +[ 3 θ sinθ] z 7

9 0 z = 0 z A y y 0 z = z 0 α y y z 3 z B y = y 3 β C θ 3 3 D Figure 7 Bras de préhension virtuelle. (D) e vecteur accélération du solide 3 par rapport à 0, eprimé au point C peut s écrire : Γ(C,3/0)= α + α y β( α+ β) + ( α+ β) y (E) a liaison équivalente à l association des liaisons pivots d ae(a, z 0 ) entre et 0 (paramétrée par l angle α) d une part et d ae(b, z ) entre et (paramétrée par l angle β) d autre part, est une liaison pivot(a, z ) et d angle(α+β). Eercice e système de levage représenté sur la Figure 8 est étudié en statique dans le plan (, y) et sous l hypothèse que le poids des pièces est négligeable devant l effort P y dû à la charge à soulever. es liaisons sont toutes des pivots parfaites, eceptées les liaisons entre et d une part, et entre 3 et 3 d autre part, qui représentent des vérins commandables modélisés dans le plan par des glissières non parfaites. e point C représente le centre de deu liaisons pivot concentriques d ae (C, z) entre 0 et 3 d une part, et entre 0 et d autre part. On notera F i j = X i j +Y i j y l effort eercé par la pièce i sur la pièce j. De plus, on étudie la configuration particulière dans laquelle les points D et E sont à la verticale l un de l autre. (A) On peut établir que X 3 4 = X 4. (B) On peut établir que Y 3 4 = Y 4. (C) À cause de la glissière entre 3 et 3, il est impossible de déterminer complètement F 3 4. (D) a liaison en B étant soumise à trois efforts dont aucun n est connu, il est impossible de déterminer la direction de chacun d eu. (E) On peut montrer cependant que F + F 0 = 0. 8

10 0 C 3 3 E G y D 4 B -P y A Figure 8 Système de levage. Eercice (A) utilisation de chicanes permet de réaliser une étanchéité statique uniquement. (B) ors de la réalisation d une étanchéité statique par contact direct (par eemple entre deu pièces d un carter), le nombre de vis et leur pression de serrage sont à choisir précautionneusement pour assurer la meilleure étanchéité possible. (C) Un système lubrifié par graissage est forcément lubrifié «à vie». (D) Dans une bonne conception, les deu roues dentées d un engrenage droit possèdent le même module. (E) Dans une bonne conception, lors de l assemblage de deu pièces par vis, les vis assurent à la fois la fonction «maintenir les deu pièces en position» et la fonction «mettre les deu pièces en position». 9