12/11/2015. Chapitre 4: Introduction à l ordonnancement. IV.1. Notions d ordonnancement (1) IV.1. Notions d ordonnancement (2)

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1 Chapitre 4: Introduction à l ordonnancement 4.1. Notions d ordonnancement 4.2. Définitions 4.3. Modélisation 4.4. Méthodes de résolution 4.5. Problèmes types IV.1. Notions d ordonnancement (1) Ordonnancer = Organiser dans le temps la réalisation d un ensemble d activités compte tenu : De contraintes temporelles (délais, échéances, enchainement) De contraintes de ressources (disponibilité, utilisation) Eléments d un problème d ordonnancement Un ensemble d activités (ou tâches) Un ensemble de ressources Des contraintes sur les activités et les ressources Un (des) critères d optimisation (le plus souvent) Par exemple : minimiser la durée de réalisation des tâches, minimiser les retards, etc. 2 IV.1. Notions d ordonnancement (2) Gestion de projets Gestion de services Gestion de ressources humaines Emplois du temps Gestion de production Organisation d ateliers IV.1. Notions d ordonnancement (3) Ordonnancement Obtention d un plan prévisionnel défini pour un horizon temporel Les données sont connues et fixes sur l horizon temporel Ordonnancement statique Exécution du plan prévisionnel (lancement) Nécessité d un contrôle de l exécution Ajustements éventuels du plan prévisionnel Pour absorber les aléas Utilisation des marges du plan prévisionnel Remise en cause du plan prévisionnel Ordonnancement dynamique 3 4 1

2 Exemple IV.2. Définitions (1) Une activité ou tâche : Entité élémentaire d un travail à réaliser Formalisation Tâches préemptive / Non préemptive Une tâche est dite préemptive si sa réalisation peut être morcelée dans le temps Plusieurs dates de début et de fin (par morceaux) 5 6 IV.2. Définitions (2) Chaque activité nécessite une (des) ressource(s) Résoudre un problème d ordonnancement : Fixer les dates de début de chaque tâche IV.2. Définitions (3) Une ressource : Un moyen technique ou humain permettant la réalisation d une tâche La quantité de chaque ressource est limitée Formalisation Remarque : les ressources nécessaires à chaque activités peuvent ne pas être fixée un ensemble de ressources possibles Résoudre un problème d ordonnancement Fixer les dates de début de chaque activité Fixer la(es) ressource(s) pour chaque activité La quantité disponible peut varier dans le temps : 7 8 2

3 IV.2. Définitions (3) Types de ressources Renouvelables : Après utilisation pour la réalisation d une tâche, les ressources sont à nouveau disponibles en même quantité Consommables : Chaque utilisation de ressource fait diminuer la quantité de ressource disponible Pour les ressources renouvelables : Ressources disjonctives Une ressource disjonctive est non partageable. Elle ne peut réaliser qu une seule tâche à la fois Ressources cumulatives Une ressource cumulative peut être utilisée simultanément par plusieurs tâches IV.2. Définitions (3) Différentes contraintes en ordonnancement Commerciales : certaines tâches doivent être réalisées pour une date donnée Technologiques : Certaines tâches ne peuvent débuter tant que d autres ne sont pas achevées Matérielles Effectif limité pour le personnel, nombre de ressources matérielles limité Financières : Le budget est limité 9 1 IV.2. Définitions (4) Contrainte : Exprimer des restrictions sur les valeurs possibles des variables du problème Ici les variables sont les dates de début des tâches Deux familles de contraintes en ordonnancement Contraintes temporelles Temps allouée pour la réalisation Succession entre tâches Contraintes de ressources Capacité et disponibilité des ressources Demande en ressources par tâche IV.2. Définitions (5) Contraintes temporelles Début au plus tôt (release date ) Fin au plus tard (due date ) Succession entre tâches Simple, avec attente, avec chevauchement, avec délai maximal, sans délai Contraintes de ressources (renouvelables) Ressource disjonctive : (machine) réalise 1 seule tâche à la fois Ressource cumulative : ressource ayant une capacité > 1 et pouvant accepter des demandes >

4 IV.2. Définitions (6) Représentation d un ordonnancement : Diagramme de Gantt Abscisse : le temps Ordonnée : les tâches en l absence de contraintes de ressources Exemple IV.2. Définitions (7) Représentation d un ordonnancement : Diagramme de Gantt Abscisse : le temps Ordonnée : les ressources Exemple : 13 F E D C B A m3 A3 B3 m2 B1 A2 m1 A1 B2 5 1 IV.3. Modélisation (1) Graphe X : ensemble de sommets Date de début ( Activités) 1 sommet par activité 1 sommet : Début du projet (S) + 1 sommet Fin du projet (F) A : ensembles d arcs Inégalités de potentiels Exemple : Problème avec 3 tâches telles que : IV.3. Modélisation (2) Contraintes : Graphe Succession simple : Graphe potentiels-tâches: 15 Donner les contraintes temporelles Donner le graphe associé 16 Nom des sommets Nom des activités: Pourquoi?: 4

5 IV.3. Modélisation (3) Hypothèse : Ressources renouvelables Contraintes de ressources disjonctives 2 tâches utilisant la même ressource disjonctive ne peuvent être réalisées simultanément ou: Expression sous la forme d inégalités de potentiels ou: Arcs «disjonctifs» dans le graphe potentiels-tâches IV.3. Modélisation (4) Illustration des contraintes disjonctives soit une ressource disponible en quantité soit 3 activités nécessitant cette ressource avec les quantités : Il y a 3 paires de tâches en conflit : Paires de disjonction D où les contraintes : IV.3. Modélisation (5) Contraintes de ressources cumulatives Généralisation des contraintes de ressources disjonctives IV.3. Modélisation (6) Illustration des contraintes cumulatives soit une ressource disponible en quantité soit 4 activités nécessitant cette ressource avec les quantités : Si alors les tâches de ne peuvent s exécuter simultanément Remarque : vérifier cette contrainte à chaque instant Ensembles minimaux de tâches en conflit pour la ressource Ensembles critiques Attention : non minimal

6 IV.3. Modélisation (7) Illustration des contraintes cumulatives (suite) Pour chaque ensemble critique Un ensemble de contraintes de succession Ces 2 ensembles critiques = paires de disjonction Exercice (1) Soit le problème d ordonnancement suivant : 8 tâches telles que : T1 < T2; T3 < T4 < T5; T6 < T7 < T8; T4 < T2 Durées respectives : (3, 4, 2, 2, 4, 6, 4, 1) Question 1. Donner le graphe potentiels tâches correspondant Question 2. Quelle est la durée minimale de l ordonnancement? Exercice (2) Ajouter des contraintes de ressources M1 : T4 et T8; ressource disjonctive M2 : T2, T5, T7; ressource disjonctive M3 : T1, T3 et T6; ressource cumulative de capacité 3, utilisation (2, 1, 1) Question 3. Donner le graphe disjonctif correspondant Exercice (3) Soit une solution pour le partage des ressources Sur M1 : T4 < T8 Sur M2 : T7 < T5 ; T2 < T5; T7 < T2 Sur M3 : T3 < T1 Question 4. Représenter cette solution sur le graphe Question 5. Donner la durée de l ordonnancement

7 Exercice (4) Question 6. Donner le diagramme de Gantt m3 m2 m Exercice (6) Soit une autre solution pour le partage des ressources Sur M1 : T8 < T4 Sur M2: T5 < T7; T7 < T2; T5 < T2 Sur M3 : T3 < T1 Représenter cette solution par un graphe Faire le diagramme de Gantt Quelle est la nouvelle durée de l ordonnancement? Exercice (7) IV.3. Modélisation le retour (1) Modèle de programmation linéaire Données Objectif m3 m2 m Contraintes temporelles

8 IV.3. Modélisation le retour (2) Modèle de Programmation Linéaire Données complémentaires : IV.3. Modélisation le retour (3) Fonctions objectifs classiques Makespan Contraintes de ressources disjonctives : Retards Retard algébrique Domaine des variables Retard vrai 29 3 IV.3. Modélisation le retour (4) Modèle de programmation linéaire Variables continues (PL) : méthode du Simplexe Problème «simple» en termes de complexité Ici : Variables discrètes Variables mixtes Problèmes difficiles en termes de complexité PL en Nombres Entiers (PLNE) PLNE en /1 PL variables mixtes IV.4. Méthodes de résolution (1) Cas des problèmes «faciles» Il existe un algorithme en temps polynomial pour le résoudre Exemple : Ordonnancement de projet / Plus court chemin,. Cas des problèmes «difficiles» Méthodes exactes obtention de la solution optimale Temps de calcul exponentiel dans le pire cas Méthodes approchées obtention d une solution (qualité?) Heuristiques Méta-Heuristiques

9 IV.4. Méthodes de résolution (2) Méthode exacte par séparation et évaluation Branch and Bound Principe (problème de minimisation) Partir de l ensemble de solutions Séparer cet ensemble en 2 sous-ensembles Evaluer chaque ensemble borne inférieure (meilleur cas) Pour chaque sous-ensemble : différents tests Test d admissibilité : contient-il des solutions? Test de résolution : contient une seule solution (admissible)? : a-t-elle un meilleure cout que celle déjà mémorisée? Test de dominance : cout supérieur au cout de la solution mémorisée? IV.4. Méthodes de résolution (3) Exemple de Branch and Bound (B&B) Evaluation : relâcher des contraintes (ie. entiers réels) et résoudre un PL Méthode arborescente IV.4. Méthodes de résolution (4) Méthodes approchées Heuristiques gloutonnes Parfois appelées méthodes de listes (en ordonnancement) Principe Instanciation progressive des variables Ne jamais remettre en cause les choix effectués Doit garantir l admissibilité de la solution obtenue Se donner un ordre de priorité sur les variables (et les valeurs) Les contraintes satisfaites lors d une étape de résolution ne peuvent être remises en cause lors d étapes suivantes Pas de garantie d optimalité 36 IV.4. Méthodes de résolution (5) Exemple d heuristique gloutonne en ordonnancement Objectif : minimisation du Makespan 1. Se placer à la date t (= minimum des dates de début au plus tôt) 2. Construire l ensemble E des tâches pouvant être réalisées à t 3. Sélectionner la tâche i de plus grande priorité 4. Placer la tâche i au plus tôt sur la ressource k qui la réalise (en respectant les contraintes de partage de ressources et de précédence) 5. Recommencer en 3 tant qu il reste des tâches dans E 6. Recommencer en 2 en mettant à jour t (prochain minimum des dates de début au plus tôt) 9

10 IV.4. Méthodes de résolution (6) Quelques règles de priorité en ordonnancement EDD (Earliest Due Date) : priorité à la tâche ayant la plus grande date de fin SPT (Shortest Processing Time) : priorité à la tâche ayant la plus petite durée LPT (Longest Processing Time) : priorité à la tâche ayant la plus grande durée Exercice (1) Soit le problème d ordonnancement suivant Différentes règles de priorité différentes solutions Priorités statiques / dynamiques Exercice (2) R2 R1 Question 1. Calculer la durée minimale de l ordonnancement (sans prendre en compte les contraintes de ressource) Question 2. Donner les dates de début au plus tôt et au plus tard Question 3. Appliquer une heuristique gloutonne en classant les tâches par dates de début au plus tard croissantes Question 4. Donner le diagramme de Gantt associé et donner la valeur du Cmax de la solution obtenue Question 5. A-t-on l optimum? Une borne supérieure? Une borne inférieure? IV.4. Méthodes de résolution (7) Performance d une méthode approchée (en minimisation) Qualité de la solution trouvée Une solution avec une valeur Borne supérieure de l optimum Comparaison avec Valeur optimale Borne inférieure Une méthode approchée ne peut pas trouver mieux qu une méthode exacte

11 IV.4. Méthodes de résolution (8) Performance d une méthode approchée Temps de calcul Une méthode approchée est plus rapide qu une méthode exacte Solutions réalisables Tester si les solutions retournées respectent les contraintes du problème! Evaluation a posteriori Evaluation statistique A effectuer sur plusieurs jeux de données de tailles différentes IV.5. Problèmes d ordonnancement types (1) Classification des problèmes d ordonnancement 3 paramètres : L organisation des ressources Les caractéristiques des tâches Les objectifs Organisation des ressources Machine unique Machines parallèles Type atelier (organisation du passage de produits sur les machines) Flow shop Job shop Open shop Général IV.5. Problèmes d ordonnancement types (2) Entrée Atelier M1 M2 Mk Sortie Atelier M1 M2 M1 M2 M3 M4 M4 M3 IV.5. Problèmes d ordonnancement types (3) Caractéristiques des tâches Préemptives ou non Forme des contraintes de précédence (chaine,.) Contraintes de dates de disponibilité Contraintes de dates dues.. Objectifs considérés Makespan Retard Avance etc

12 IV.5. Problèmes d ordonnancement types (4) Problème à 1 machine 1 machine (disjonctive) Ensemble de n tâches Exemple : étude d une machine goulet Un problème trivial Minimiser le makespan : tout ordre entre les tâche donne la même durée Exemple : IV.5. Problèmes d ordonnancement types (5) Problème à 1 machine avec dates dues Problème facile : Minimiser le retard (algébrique) Il existe une heuristique gloutonne permettant d obtenir la solution optimale : Trier les tâches par dates dues croissantes (EDD) - Jackson Exemple : Appliquer la règle EDD et donner la valeur de (2) M IV.5. Problèmes d ordonnancement types (6) Problème à 1 machine avec dates dues et minimisation de la somme pondérée des retards Objectif : avec et IV.5. Problèmes d ordonnancement types (7) Exemple : Illustration d une méthode exacte (Branch and Bound) Construire un ordonnancement par la fin (vis à vis de l objectif à atteindre) Etat initial : aucune décision d ordonnancement Séparation : o placer une opération en dernier ( n branches) Evaluation : o valeur de la fonction objectif pour les opérations déjà placées

13 IV.5. Problèmes d ordonnancement types (8) Problème de Flow Shop Ensemble de produits (travaux ou job) : n Ensemble de machines : m Chaque Job : m opérations L ordre de passage sur les ressources est identique pour tous les jobs M1 M2 M3 M4 Variante : Flow Shop Hybride : plusieurs machines / niveau M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 IV.5. Problèmes d ordonnancement types (9) Exemple d un problème de Flow Shop facile 2 machines Minimisation du makespan (durée totale) M1 M2 Heuristique conduisant à la solution optimale (Johnson) Pour M1 : Faire passer les opérations le plus vite possible pour limiter le temps d inactivité de M2 SPT sur M1 Pour M2, prendre l ordre LPT pour éviter que M2 attende trop que M1 transfère des opérations 49 5 IV.5. Problèmes d ordonnancement types (1) Heuristique de Johnson Faire deux ensembles d opérations Trier les opérations de avec SPT sur Trier les opérations de avec LPT sur Ordre total : Identique sur M1 et M2 flow shop de permutation Résoudre l exemple et donner le diagramme de Gantt IV.5. Problèmes d ordonnancement types (11) Problème de Job Shop Ensemble de produits (travaux ou job) : n Ensemble de machines : m Chaque Job : m opérations : ordre de passage quelconque Exemple J1 M1 M2 J2 M3 J

14 IV.5. Problèmes d ordonnancement types (12) Problème de Flox Shop ou Job Shop Quelques cas particuliers faciles Voir la littérature en ordonnancement Sinon problèmes difficiles Problème d Open Shop Ensemble de travaux : n Ensemble de machines : m Chaque job passe sur une ensemble de machines dans un ordre quelconque non spécifié IV.5. Problèmes d ordonnancement types (13) Exemple Soit un problème de job shop Appliquer l heuristique suivante : Classer les tâches par date de début croissante (en cas d égalité classer les tâches par durée croissante) Placer au plus tôt sur la ressource demandé Ordre des tâches : Diagramme de Gantt : m1 m2 m3 1 4 m m m3 m1 m2 3 9 m * M3 M M IV.5. Problèmes d ordonnancement types (14) Donner le séquencement obtenu sur les ressources Donner les dates de début au plus tôt / au plus tard et le chemin critique m1 m2 m m m2 25 * Exercice (1) Soit un atelier réalisant 3 types de papier peint différents. Chaque type de papier est fabriqué sous forme d un rouleau de papier continu qui passe sur plusieurs machines (chacune imprimant une couleur différente) L ordre de passage (et la durée) sur les machines dépend du type de papier. Type 1 : Machine 1 (bleu, 45) puis Machine 3 (jaune, 1) Type 2 : Machine 2 (vert, 1), Machine 1 (bleu, 2) puis Machine 3 (jaune, 34) Type 3 : Machine 2 (vert, 17) puis Machine 3 (jaune, 28) Une machine ne peut traiter qu un seul type de papier à la fois et qu un type de papier ne peut passer que sur une machine à la fois On souhaite réaliser ces 3 types de produits avec une durée minimale m m3 m1 m2 21 Quel est le problème d ordonnancement? Donner un modèle linéaire Donner un modèle de graphe Proposer une méthode de résolution

15 Exercice (2) Modèle de PLNE Exercice (3) Modèle de Graphe Exercice (4) Résolution Solution 99 - Type 1 : 44, 89 / Type 2 :, 1, 55 / Type 3 : 1,