FRACTIONS ET NOMBRES DECIMAUX. R. Charnay - G. Combier

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1 FRACTIONS ET NOMBRES DECIMAUX 1

2 LES LIMITES DE L APPRENTISSAGE A COUP DE REGLES Enseigner des règles ou aider à comprendre? 2 L exemple de la multiplication par 10, 100

3 MULTIPLIER PAR 100 Règle pour les nombres entiers : "écrire deux 0" à droite 24 x 100 = Règle pour les nombres décimaux : déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite 2,345 x 100 = 234,5 2,34 x 100 (disparition de la virgule) 4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule et apparition de 0!) 3

4 RÉSULTATS ET DIFFICULTÉS 2,3 x 10 (évaluation 6e 2001) % 20,3 ou 2,30 ou 20,30 20 % La virgule "frontière" et "écrire un 0" % La virgule "absente" et "écrire un 0" 35,2 x 100 (évaluation 6e 2001) % 3500,2 ou 35,200 ou 3 500, % La virgule "frontière" % Que faire quand la virgule "disparaît"? 4

5 COMMENT JUSTIFIER QUE 20,45 X 10 = 204,5? Comprendre l'écriture 20,45, par exemple comme : 2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes Savoir que multiplier 20,45 par 10 revient à multiplier chaque "terme de la décomposition" par 10, donc on obtient : 20 dizaines + 40 dixièmes + 50 centièmes Savoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines, c'est 1 centaine) Savoir que 40 dixièmes, c'est 4 unités (car 10 dixièmes, c'est 1 unité) Savoir que 50 centièmes, c'est 5 dixièmes (car 10 centièmes, c'est 1 dixième) 5

6 EN RÉSUMÉ (DANS LE TABLEAU DE NUMÉRATION) pour 20,45 x 10, milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

7 CONCLUSION Quand on multiplie un nombre par 10, chaque chiffre prend une valeur "10 fois plus grande" Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui "changent" de valeur donc de place (déplacement vers la gauche) C'est la même chose pour les entiers que pour les décimaux! 7

8 EN RÉSUMÉ (DANS LE TABLEAU DE NUMÉRATION) pour 20,45 x 10 et 37 x 10, milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

9 AVEC D AUTRES SYSTÈMES DE NUMÉRATION Romain Multiplier XXXVII par X (37 par 10) CCCLXX (370) Remplacer chaque symbole par un symbole de valeur cent fois supérieure. 9

10 TACHES, TECHNIQUES ET JUSTIFICATIONS Enseignement centré sur COMPREHENSION Multiplier par 10, 100 Tâche Technique Déplacement de la virgule ou des chiffres Chaque chiffre prend une valeur 10 fois, 100 fois supérieure Justification MECANISME 10

11 AVEC DU MATÉRIEL EXEMPLE DE 12 X fois 12?

12 AVEC DU MATÉRIEL EXEMPLE DE 0,12 X 10 0,12 10 fois 0,12? 1 1,2 12

13 DES DIFFICULTÉS QUI PERSISTENT! (EXTRAIT DE LA THÈSE DE JEANNE BOLON, 1996) Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 CM1 CM2 6 e 5 e 22 % 30 % 27 % 29 % Et pourtant, il suffit d'avoir compris que 8 centièmes c'est moins que 1 dixième! 13

14 QUELQUES DIFFICULTÉS POUR LES NOMBRES DÉCIMAUX Comparaison, intercalation 2,7 < 2,17 Entre 2,5 et 2,7, il n y a que 2,6 Signification des chiffres : pseudo-symétrie dizaine, dixième Dans 234,57 3 est le chiffre des dizaines et 7 celui des dixièmes Calcul 2,3 + 0,8 = 2,11 2,3 x 0,8 = 0,24 Sens de certaines opérations Prix de 0,85 m de fil à 4 le m division 14

15 Interprétation des erreurs et origine possible La virgule sépare 2 nombres entiers au lieu d indiquer l unité Signification "spatiale" et non "conceptuelle" 234,567 dizaine dixième Idée de "nombre" suivant persistante (cf. entiers) Lecture : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes Usage social : 3,25 pour 3 25c Confusion fractions / décimaux /100 = 96,200 pour 21 % des élèves (2005) 80,4 = 80/4 pour 17 % des élèves (2005) 15

16 DES ENTIERS AUX DÉCIMAUX Le système d écriture à virgule des nombres décimaux fonctionne comme le système d écriture des nombres entiers Le rang détermine la valeur. Les rapports de valeur entre rangs sont identiques (fondés sur des groupements par dix ou des partages en dix). Pour les nombres décimaux, la virgule sert à repérer l unité. Mais certaines propriétés sont différentes Idée de successeur non pertinente pour un nombre décimal. Intercalation toujours possible pour les nombres décimaux (avec une infinité de solutions). Conclusion Le système d écriture à virgule des nombres décimaux ne peut être compris que si celui des entiers l est en profondeur. 16

17 LA NUMERATION DES DECIMAUX 17 Quelques repères pour la mise en place Des fractions aux décimaux

18 CONNAISSANCES ESSENTIELLES Valeur de chaque chiffre, référée à l unité, en fonction du rang qu il occupe (à gauche ou à droite de la virgule) Centaine : 100 fois l unité Centième : unité partagée en ,436 3 fois «dix unités» 3 fois «l unité partagée en cent» 18

19 CONNAISSANCES ESSENTIELLES Relations entre valeurs, notamment proches 1 dixième = 10 centièmes = 100 millièmes 1 centième = 1 dixième partagé en dix 1 dizaine = 100 dixièmes car 1 dizaine = 10 unités et 1 unité = 10 dixièmes Etc. 19

20 CONNAISSANCES ESSENTIELLES Ces connaissances sont représentables par un triple code Verbal Symbolique : virgule, fraction Représentation matérielle (longueurs, aires ) Un et deux dixièmes et quatre centièmes 1,

21 FRACTIONS À L ÉCOLE PRIMAIRE Pour aider à comprendre les nombres décimaux 21

22 Fractions de l école au collège Expression de mesures, à partir du partage de l'unité 4/3, c'est 4 fois le tiers de l'unité Expression du partage d'une grandeur 4/3, c'est le tiers de 4 (lié à 4 partagé en trois) Solution de 4x = 3 (division toujours possible) Expression de rapports 4 pour 3, 20 pour 100 École primaire Collège 22

23 SENS ET UTILITÉ DES FRACTIONS D'APRÈS CAP MATHS CM1 A : 1u + ½ u B : 1u + 1/4 u C : ½ u D : 2 u E : ¼ u F : 3/4 u ½ u, c est une part de l unité partagée en 2 ¾ u, c est 3 parts de l unité partagée en 4 23

24 Comparer 2u + 1/2 u 1u + 3/2 u 5/2 u 7/4 u Raisonnement Appui sur «matériel» 1 unité, c est 2 demiunités 1u + 3/2 u, c est donc : 2 demi-unités plus 3 demi-unités, c est 5 demi-unités, donc 5/2 u 24

25 Placer 11/2 : - Impossible de compter 11 demis à partir de 0 - Soit partir de 3, c est 6/2 (6 demis) et compter encore 5 demis - Soit considérer que 10/2 c est 5 et compter 1 demi après 5 25

26 DÉCIMAUX À L ÉCOLE PRIMAIRE Quelques moments clés pour l apprentissage 26

27 LES FRACTIONS DÉCIMALES Des fractions comme les autres qui utilisent les "bonnes relations" entre 1 ; 10 ; 100 Appui sur les longueurs (unité assez grande pour avoir des centièmes matérialisés) et sur les aires (matérialisation plus facile des centièmes et même des millièmes) Deux points importants : Egalités, comme 7/10 = 70/100 Décomposition 234/10 = /10 (partie entière) 234/100 = 2 + 3/10 + 4/100 (signification des chiffres) 34/100 = 3/10 + 4/100 (idem) 27

28 LES ÉCRITURES À VIRGULE une autre écriture des fractions décimales s écrit aussi 1,45 une lecture : 1 et 4 dixièmes et 5 centièmes une signification : image mentale 28

29 RAISONNER POUR COMPARER Matériel disponible - des unités - des dixièmes - des centièmes 29

30 COMPARAISON DE 2,12 ET 2,7 Trois phases Réponse individuelle, avec explication Prise de position sur des réponses/explications choisies par l'enseignant Par groupes de 2 Confrontation de 2 groupes de 2 Débat collectif 30

31 2,12 > 2,7 parce que 12 > 7 Exemples d'arguments 2,7 > 2,12 parce que 2,7 = 2,70 (le 0 ne compte pas!) 2,7 > 2,12 parce que 2,70 > 2,12 (on a tout mis en centièmes) 2,7 > 2,12 parce que 7 dixièmes et plus grand que 1 dixième 2,7 > 2,12 parce que 2,7=27/10=270/100, 2,12=212/100 2,7 > 2,12 parce que le 7 de 2,7 c est 70 centièmes et le 12 de 2,12 c est seulement 12 centièmes 2,7 > 2,12 parce que dans 2,7 il y a 58 centièmes de plus que dans 2,12 31

32 FONDAMENTALEMENT, LA COMPARAISON DES NOMBRES DÉCIMAUX ET CELLE DES NOMBRES ENTIERS REPOSENT SUR LES MÊMES CONNAISSANCES Pourquoi > 987? Parce que 2 milliers c est plus que 987 unités En effet 2 milliers = unités Pourquoi 856 > 839? Parce que 5 dizaines c est plus que 39 unités En effet 5 dizaines = 50 unités Pourquoi 7,8 > 7,56? Parce que 8 dixièmes c est plus que 56 centièmes En effet 8 dixièmes = 80 centièmes 32

33 UNE IDÉE D'UNE INTERCALATION À L'INFINI 33

34 NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCUL A penser dans l articulation avec le collège Sixième (programmes 2008) 4 opérations reprises en Sixième Multiplier par 0,1 ; 0,01 hors socle Division décimale limitée à celle d un décimal par un entier (le dividende comportant au plus 2 chiffres après la virgule) En calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n est recherchée. Cinquième (programmes 2008) Division de deux nombres décimaux 34

35 NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCUL Points clés en calcul automatisé Multiplier et diviser par 10, 100 en relation avec la numération décimale Résultats mémorisés Sommes et différences de dixièmes (o,5 + 0,7 ) Compléments à 1 et à l unité supérieure (pour des nombres avec des dixièmes) Produits du type 0,4 x 3 ; 0,4 x 5 Relations entre 0,25 ; 0,5 ; 0,75 et 1 (en particulier savoir que 0,25 = ¼ ; 0,5 = ½ ; 0,75 = ¾) 35

36 NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCUL Points clés en calcul automatisé Calcul posé Addition, soustraction, en lien avec la numération décimale Multiplication d un décimal par un entier 5, centièmes ou 586 : 100 x centièmes ou : ,02 Division d un entier ou d un décimal par un entier, en lien avec la numération décimale Pour ces opérations, continuité de sens entre calcul sur les entiers et calcul sur les décimaux. 36

37 Le cas de la multiplication de deux décimaux Rupture de sens 45 x fois 45 (addition itérée) 45,35 x fois 45,34 (addition itérée) 45,35 x 2,7 sens à donner à 2,7 fois 45,35? 45,35 x 0,7 sens à donner à 0,7 fois 45,35? Nécessité d une référence Soit à la proportionnalité : pour 45,35 x 2,7 2 fois 45,35 plus 7/10 de 45,35 Soit à l aire d un rectangle : pour 45,35 x 0,7 rectangle de 45,35 m sur 0,7 m Continuité pour la technique 45, : 100 x 2,7 2,7 : à diviser par

38 NOMBRES DÉCIMAUX ET CALCUL Points clés en calcul réfléchi Doubles de nombres comme 4,5 17,5 0,75 Moitiés de nombres comme 7 0,7 1,2 Sommes ou différences comme 13,5 + 6,5 13 6,5 Produits comme 2,5 x 4 6,2 x 5 38

39 EN GUISE DE CONCLUSION Tout au long du cycle 3, la numération décimale reste au centre des préoccupations, que ce soit à propos des entiers ou des décimaux. L étude des nombres décimaux suppose une bonne connaissance des entiers mais en assure aussi la consolidation. - Le recours au matériel, d abord physiquement présent puis évoqué et l oralisation du raisonnement, proche de l action, aide l élève à construire du sens. 39

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