III.1 Généralité sur la Machine Asynchrone

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1 Chapitre III Modélisation et Simulation des Machines Asynchrones 21 III.1 Généralité sur la Machine Asynchrone III.1.1 Définition On appelle machine asynchrone (MAS), une machine électrique de vitesse variable, à courant alternatif, qui à deux enroulements dont un seul (statorique) est alimenté par un réseau électrique de pulsation ωs ; alors que le deuxième (rotorique) est fermé sur lui-même (ou à cage d ecureille), généralement ce type de machines est plus utilisée en moteur asynchrone (en triphasé). III.1.2 Constitution de la machine asynchrone Ce type de machine est comportant deux armatures coaxiales l une est fixée appelée stator et l autre est mobile appelée rotor; entre les 2 armatures il y a l entrefer. Le stator est porté un enroulement triphasé est alimenté en triphasé par l intermédiaire de la plaque à bornes de la machine, ce qui le permet de l alimenter en couplage Y ou en Δ (voir Fig.1). Fig. 1 Plaque à bornes de la machine Le rotor porte des barres en cuivre ou en aluminium logées dans des encoches et réunies à leurs extrémités par deux couronnes en Aluminium, ce dernier est appelé «Cage d ecureille». Le courant dans ses barres est induit uniquement par le champ statorique. Fig. 2 Machine Asynchrone à Cage: (1) Carcasse, (2) Roulement, (3) Flasque, (4) Ventilateur, (5) Couvert de ventilateur, (6) Boîte de connexion, (7) Stator, (8) Enroulement de stator (invisible), (9) Rotor, (1) Arbre de rotor.

2 Chapitre III Modélisation et Simulation des Machines Asynchrones 22 II.1. 3 Principe de fonctionnement L enroulement statorique reçoit de l énergie électrique du réseau de pulsation ωs, ce qui crée un champ tournant à la vitesse angulaire synchrone Ωs ωs /p ; ce champ, en balayant les barres rotoriques y induit des F.E.M et donc des courants. Ces courants induits produiront un champ qui sera de sens opposé au champ statorique. Cela va produire un couple moteur qui entrainera la mise en mouvement du rotor dans les sens du champ tournant statorique. Fig. 3 Champ tournant de la MAS III.1.4 Bilan énergétique d un moteur asynchrone Le moteur asynchrone absorbe du réseau une puissance est égale Pa3 V I cos(φ); à travers les bornes statoriques ; une partie de cette puissance (1 à 2 %) est perdue dans le stator sous forme de pertes fer (pertes magnétiques) PFs et de pertes dans le cuivre due à l effet joules PJs (PJs3RI 2 ). La puissance restante (Pe) est alors transmise au rotor par le champ tournant sous forme de puissance électromagnétique. P e P a P Js + P Fs P a (III. 1) Le rotor utilise cette puissance Pe pour deux utilisations : Une partie est gaspillée sous forme de pertes par effet joules rotoriques (PJr). L autre partie se retrouve sous forme de puissance mécanique, qu on appelle puissance utile (Pu) disponible à l arbre du moteur P e P u + P Jr (III. 2) III. 2 Modélisation de la machine asynchrone III.2.1 Description du modèle La machine asynchrone (MAS) triphasée comporte un stator fixe et un rotor mobile autour de l axe de symétrie de la machine. Dans des encoches régulièrement réparties sur la face interne du stator sont logés trois enroulements identiques, leurs axes sont distants entre eux d un angle électrique égale à (2π/3).

3 Chapitre III Modélisation et Simulation des Machines Asynchrones 23 III.2.2 Hypothèses simplificatrices A fin de simplifier la modélisation de la MAS, on va admettre les hypothèses simplificatrices suivantes : - Entrefer constant; - Effet des encoches négligé; - Distribution spatiale sinusoïdale des forces magnétomotrices d entrefer; - Circuit magnétique non saturé et à perméabilité constante; - Pertes ferromagnétiques négligeables. Le modèle de la MAS triphasé est illustré par le schéma de la Fig. 4 avec les armatures statoriques et rotoriques sont munies chacune d un enroulement triphasé, sont trois enroulements du stator : Sa, Sb et Sc,et pour les trois enroulements rotoriques : Ra, Rb et Rc, et θ : Angle entre l axe de la phase statorique et la phase rotorique. SB isb VSb Ra VRa ira Rb irb 2π/3 θ Sa VRb o isa VSa V Sc VRc irc isc Rc Sc Partie fixe : Stator. Partie mobile : Rotor. Entrefer constant. Fig 4 Représentation des enroulements de la MAS triphasée dans l'espace électrique. On déduit pour l ensemble des phases statoriques : V sa V sb V sc R S R S R S I sa I sb I sc + (d ) λ sa λ sb λ sc (III. 3),V sabc -,R S -,I sabc - + (d ),λ sabc - (III. 4)

4 Chapitre III Modélisation et Simulation des Machines Asynchrones 24 Et pour les phases rotoriques: V ra V rb V rc R r R r R r I ra I rb I rc + (d ) λ ra λ rb λ sc (III. 5),V rabc -,R r -,I rabc - + (d ),λ rabc - (III. 6) Une matrice des inductances [L(Ѳ)] établit la relation entre les flux et les courants; elle comporte 36 coefficients dont la moitié dépend du temps, par l intermédiaire de Ѳ (position du rotor). Soit: Où : λ sa λ sb λ sc λ ra λ rb λ rc l s M s M s M s l s M s M s M s l s M 1 M 2 M 3 M 3 M 1 M 2 M 2 M 3 M 1 M 1 M 3 M 2 M 2 M 1 M 3 M 3 M 2 M 1 l r M r M r M r l r M r M r M r l r M 1 M sr cos(θ) M 2 M sr cos(θ 2π/3) M 3 M sr cos(θ + 2π/3) I sa I sb I sc I ra I rb I rc (III. 8) (III. 7) La matrice des flux réels fait apparaître quatre sous matrices d inductances : Avec : λ sabc,l s-,m sr - λ sabc,m rs -,L r - I sabc I rabc (III. 9),L s - l s M s M s M s l s M s M s M s l s,m sr -,M rs - T M sr Finalement :,L r - l r M r M r M r l r M r M r M r l r cos(θ) cos(θ + 2π/3) cos(θ 2π/3) cos(θ 2π/3) cos(θ) cos(θ + 2π/3) cos(θ + 2π/3) cos(θ 2π/3) cos(θ) (III. 1),V sabc -,R s -,I sabc - + d *,L s-,i sabc - +,M sr -,I rabc - +,V rabc -,R r -,I rabc - + d *,M sr- T,I sabc - +,L r -,I rabc - + (III. 11) III.2.3 Transformation de Park appliquée à la MAS: La transformation de Park consiste à transformer un système triphasé (abc) en un système biphasé équivalent (d-q), comme le montre la Fig. 5.

5 Chapitre III Modélisation et Simulation des Machines Asynchrones 25 Sb d Rb Ra r q s Sa Sc Rc Fig.5 Repérage angulaire des systèmes d axes dans l espace électrique La transformation linéaire [p] est appliquée à l'équation (III.11) Avec :,p(θ)-,p- 1 V dqo,r-,p- 1 I dqo + d,p- 1 λ dqo (III. 12) 3 2 cos(θ) cos(θ + 2π/3) cos(θ 2π/3) sin(θ) sin(θ + 2π/3) sin(θ 2π/3) (III. 13) Cette matrice est orthogonale, c'est-à-dire,p(θ)- T,p(θ)- 1. La transformation de Park peut être appliquée sur les tensions, les courants et les flux. En multipliant l Eq (III.12) à gauche par,p(θ)- :,p-,p- 1 V dqo,p-,r-,p- 1 I dqo +,p- d,p- 1 λ dqo,p-,r-,p- 1 I dqo +,p-,p- 1 d λ dqo + d,p- 1 λ dqo Finalement,,p-,R-,p- 1 I dqo +,p-,p- 1 d λ dqo +,p- d,p- 1 λ dqo (III. 14) V dqo,r- I dqo + d λ dqo +,p- d,p- 1 λ dqo (III. 15)

6 Chapitre III Modélisation et Simulation des Machines Asynchrones 26 On démontre que :,p- d,p On obtient finalement le système des équations de Park qui constitue ainsi un modèle électrique dynamique pour l'enroulement diphasé équivalent : Au stator : dθ Au rotor : v sd R s i sd + dλ sd λ dθ s sq v sq R s i sq + dλ sq + λ sd v so R s i so + dλ so dθ s (III. 16) Remarque : R r i rd + dλ rd R r i rq + dλ rq R r i ro + dλ ro λ dθ r rq + λ dθ r rd (III. 17) Quand les sommes des composantes (a, b et c) sont nulles, la troisième équation, toujours vérifiée car identiquement nulle, devient inutile. III.2.4 Réduction de la matrice des inductances Deux transformation de Park sont définies à partir de la matrice (III. 13) dans laquelle l angle θ est remplacé par θ S pour le stator, par θ r pour le rotor ; on les note respectivement,p(θ S )- et,p(θ r )-. On design par : θ S : L angle électrique S a, O d, θ r : L angle électrique R a, O d. On remarque sur la Fig. 5 que θ S et θ r sont naturellement liés à θ par la relation rigide : θ S θ r θ (III. 18) Pour la réduction de la matrice des inductances les transformations proposées établissent les relations entre les flux d axe d,q,o et les flux d axes a,b,c : λ Sdqo,P(θ S )-,λ Sabc - et λ rdqo,p(θ r )-,λ rabc - (III. 19) En développant les expressions des flux, elles deviennent : - Au stator : λ sdqo,p(θ s )-,L s -,I sabc - +,M sr -,I rab c - (III. 2)

7 Chapitre III Modélisation et Simulation des Machines Asynchrones 27 Soit : Soit : λ sdqo,p(θ s )-,L s -,P(θ s )- 1 I sdqo +,P(θ s )-,M sr -,P(θ r )- 1 I rdqo (III. 21) - Au rotor : λ rdqo,p(θ r )-,M sr -,I sabc - +,L s -,I rabc - (III. 22) λ rdqo,p(θ r )-,M rs -,P(θ S )- 1 I sdqo +,P(θ S )-,L r -,P(θ r )- 1 I rdqo (III. 23) Après le calcul, on trouve : On constate : λ sd λ sq λ so λ rd λ rq λ ro l s M s 3M sr /2 l s M s l s + 2M s 3M sr /2 3M sr /2 l r M r 3M sr /2 l r M r l r + 2M r I sd I sq I so I rd I rq I ro (III. 24) - D une part, que la transformation de Park rend les coefficients de la matrice des inductances indépendants du temps ; - D autre part, que le nombre de paramètres électromagnétiques se réduit à cinq. Ce sont : Ls ls - Ms : Inductances cycliques statorique ; Lr lr - Mr : Inductances cycliques rotorique ; M 3Msr/2: Inductance mutuelle cyclique entre stator et rotor ; Losls+2Ms : l inductance homopolaire statorique ; Lorlr+2Mr : l inductance homopolaire rotorique. Nous pouvons exprimer certaines de ces inductances en fonction de nombre de spire : NS et Nr, et la reluctance d entrefer R g : l s N s 2 R g, M s N 2 s cos 2π R g 3, l r N 2 r, R g M r N 2 r cos 2π R g 3 et M sr N s N r R g Dans le cas où les sommes des courants statoriques des courants rotoriques sont nulles les composantes d indice (O) sont nulles. Dans ces conditions de fonctionnement en mode non dégradé, les flux d'axes d et q sont simplement définis par les trois paramètres constants Ls, Lr et M et reliés aux courants par la relation (III.25) : λ sd λ sq λ rd λ rq L s M L s M M L r M L r I sd I sq I rd I rq (III. 25)

8 Chapitre III Modélisation et Simulation des Machines Asynchrones 28 La substitution des enroulements fictifs S d, S q, R d, R q aux enroulements triphasés permet, par interprétation de leur représentation à la figure (II.4), une écriture rapide de l équation (II.25). Les équations de Panrk des tensions, statoriques et rotoriques s'écrivent : v sd R s i sd + dλ sd λ dθ s sq v sq R s i sq + dλ sq + λ dθ s sd R r i rd + dλ rd R r i rq + dλ rq + λ rd On désigne : λ dθ r rq dθ r (III. 26) - Par ω s dθ s la vitesse angulaire des axes d, q dans le repère statorique ; - Par ω r dθ r la vitesse angulaire des axes d, q dans le repère rotorique. A partir de l expression III. 18 il se déduit par dérivation : ω s ω r dθ - P : Nombre de pair de pole ω pω (III. 27) Cette relation cinétique interne montre que les vitesses angulaires des axes d, q respectivement dans les repères statorique et rotorique et liées rigidement à la vitesse angulaire du rotor Ω Avec : III.2.5 L expression du couple électromagnétique L'équation du couple : III.2.6 L équation de la mécanique L'équation du mouvement s écrit : J : moment d inertie du rotor ; f : coefficient de frottement visqueux ; Cr : couple résistant de la charge. p : Nombre de paires de pôles. Travail pratique N 3. C e 3 2 p λ sd i sq λ sq i sd (III. 28) J dω + fω C e C r (III. 29) Modélisation et Simulation de la Machine Asynchrone Fig. 6 Représentation des enroulements fictifs d axes d et q