Chapitre MQ1 Le modèle quantique de l atome

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1 Chapitre MQ1 Le modèle quantique de l atome 1. Description en mécanique quantique 1.1. Fonction d onde 1.2. Conditions sur la fonction d onde 2. Cas de l hydrogène et des atomes hydrogénoides 2.1. Définition des atomes hydrogénoides 2.2. Résolution de l équation de Schrodinger 2.3. Etude de la fonction d onde dans le cas de H Partie radiale Partie angulaire Allure des OA 3. Cas des atomes polyélectroniques 3.1. Hypothèses 3.2. Méthode de Slater 4. Energie orbitalaire 4.1. Atomes hydrogénoides 4.2. Atomes polyélectroniques 4.3. Energie d ionisation 5. Rayon atomique Evolution avec Z* et la polarisabilité Lycée Descartes PC Page 1 sur 10

2 Document 1 : étude documentaire Extrait du site : En 1927, Heisenberg formule une propriété fondamentale (parfois aussi nommée principe d'incertitude) de la mécanique quantique qui dit qu'il est impossible de mesurer à la fois la position d'une particule EN MÊME TEMPS que sa vitesse de façon exacte. Plus l'on détermine avec précision l'un, moins on saura de chose sur l'autre. C'est ce que l'on a appelé la relation d incertitude (ou d'indétermination) de Heisenberg. La notion de trajectoire exacte n'a pas de sens pour les particules. Ce paradoxe quantique (encore un!) est lié à la difficulté d'observer un électron... Comment l'observer? La relation mathématique est : Cela signifie que l'incertitude sur la position multipliée par l'incertitude sur l'impulsion est supérieure ou égale à une constante (h-bar divisé par deux). Ce principe peut également être écrit en termes d'énergie et de temps: Cela signifie que l'incertitude sur l'énergie d'une particule multipliée par l'incertitude sur le temps est supérieure ou égale à une constante (h-bar divisé par deux). Donc durant un très court moment, l'incertitude sur l'énergie peut être grande. Quelques questions : 1. Faire le lien entre les deux inégalités. 2. Commenter cette inégalité sur deux exemples : l exemple de l électron et l exemple macroscopique d une voiture. 3. Conclure Document 2 : Equation de Schrödinger La fonction d onde doit être solution de l équation de Schrödinger (1926). Cette équation s écrit H ˆΨ E.Ψ Ĥ est un opérateur appelé Hamiltonien qui appliqué à une fonction donne une autre fonction. Il dépend du système (atome, molécule ) et reflète les différentes interactions auxquelles est soumise la particule étudiée. E est l énergie associée à la fonction d onde. l'énergie d'une particule en mécanique quantique se calcule à l'aide de l'opérateur Hamiltonien H : Opérateur Hamiltonien Elle correspond à la relation fondamentale de la dynamique pour la mécanique quantique! Lycée Descartes PC Page 2 sur 10

3 Document 3 : Rappel coordonnées sphériques Du fait de la symétrie sphérique du système, on utilise les coordonnées sphériques : On cherche sous la forme (,, ) Document 4 : Equation de Schrödinger pour le cas de l hydrogène On utilise les coordonnées sphériques avec comme origine du repère le noyau (barycentre du système proton-électron confondu avec le proton car beaucoup plus lourd). L équation de Schrödinger s écrit : ² e² ΔΨ( r,θ,φ) Ψ( r,θ,φ) EΨ( r,θ,φ) 2m e 4πεr On cherche des solutions de la forme : Ψ( r,θ,φ) R( r). Y(θ,φ) Document 5 : Etude des fonctions d onde de l atome d hydrogène : Partie radiale R(r) R(r) dépend de n et l, les deux premiers nombres quantiques. Lycée Descartes PC Page 3 sur 10

4 Quelques exemples pour les premiers n et l : Document de cours PC Document 6 : Etude de la densité de probabilité de présence en fonction de r : Etude de R(r)².r² : Avec a 0 =52,9 pm dit «rayon de Bohr». Lycée Descartes PC Page 4 sur 10

5 Document 7 : Etude de la partie angulaire Y( ) dépend de l et de ml. Lycée Descartes PC Page 5 sur 10

6 Document 8 : Etude de la densité de probabilité de présence en fonction de θ Etude de Y²( ) ou courbe d isodensité (contour pour la courbe Y² représentant le volume où la probabilité de présence de trouver la particule est 0,99) : convention de dessin : Partie ombrée si le signe de Y est positif et partie claire négatif. Etude des orbitales 1s (Y²) : Etude des orbitales 2p (Y²): Etude des orbitales 3d (Y²) : Pour les voir en 3D : Lycée Descartes PC Page 6 sur 10

7 Pour information, voici les expressions des premières orbitales atomiques : Lycée Descartes PC Page 7 sur 10

8 Document 9 : Hypothèses simplificatrices pour l étude des atomes polyélectroniques Pour le cas de l hélium, comportant 2 électrons on aura : Approximation de Born-Oppenheimer : La fonction d onde est cherchée sous la forme : (,,,,, ) Notons r1 et r2 les vecteurs positions de chacun des électrons. On cherche ² ² e² e² e² HΨ( r1, r2) Δr1Ψ( r1, r2) Δr2Ψ( r1, r2) Ψ( r1, r2) Ψ( r1, r2) Ψ( r1, r2) EΨ( r1, r2) 2me 2me 4πε r 4πε r 4πε r r Approximation monoélectronique ou orbitalaire : La fonction d onde est cherchée sous la forme : (,, ). 2(,, ) Une orbitale monoélectronique est appelée «orbitale atomique» Approximation portant sur les répulsions électroniques : Deux pistes à envisager : o On néglige cette répulsion : Les électrons sont supposés indépendants entre eux. On utilise les fonctions d onde trouvées pour les atomes hydrogénoïdes pour chacun des électrons. On trouve des résultats pour les données expérimentales qui en découlent très éloignés de la réalité. o On moyenne cette répulsion : MODELE DE SLATER Effet d écran : Electron 1 Electron 2 noyau Le calcul se fait à l aide de règles semi-empiriques de Slater. D autres modèles existent : par exemple, le modèle du champ moyen ou modèle Hartree-Fock. Lycée Descartes PC Page 8 sur 10

9 Document 10 : Règles de Slater Document de cours PC Document 11 : Charge effective Charge effective Z* ressentie par les électrons de valence pour les atomes des cinq premières périodes H 1,0 Li 1,30 Na 2,20 K 2,20 Rb 2,20 Be 1,95 Mg 2,85 Ca 2,85 Sr 2,85 B 2,60 Al 3,50 Ga 5,00 In 5,00 C 3,25 Si 4,15 Ge 5,65 Sn 5,65 N 3,90 P 4,80 As 5,65 Sb 6,30 O 4,55 S 5,45 Se 6,95 Te 6,95 F 5,20 Cl 6,10 Br 7,60 I 7,60 He 1,70 Ne 5,85 Ar 6,75 Kr 8,25 Xe 8,25 Document 12 : Energie Orbitalaire Electronégativité (échelle de Pauling ) : F: 3,98 H: 2,20-1sF: -694 ev 2sF: -40,1 ev; 2pF: -18,6 ev - 1sH : -13,6 ev First_Ionization_Energy.svg.png Lycée Descartes PC Page 9 sur 10

10 Document 13 : rayon atomique Document de cours PC Par exemple, on a représenté ci-dessous l'orbitale 2p des atomes de bore, carbone, azote, oxygène, fluor et néon, en utilisant la surface d'isodensité correspondant à une densité de probabilité de présence de. ATOME B C N 0 F Ne 2,4214 3,1358 3,8340 4,4532 5,1000 5,7584 Lycée Descartes PC Page 10 sur 10