LES OSCILLATIONS. Un mouvement qui se répète à intervalles de temps consécutifs égaux est dit périodique.

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1 LES OSCILLATIONS Un mouvement qui se répète à intervalles de temps consécutifs égaux est dit périodique. Exemples d oscillations : la balancoire, cordes d une guitare... molécules d air qui transmettent la sensation de son, les atomes dans un solide qui donne la sensation de température, les électrons dans les antennes de radio et TV. Il existe 2 sortes de mouvements périodiques : Mouvements sur une trajectoire fermée, qui peuvent être repérés par la rotation périodique d un angle autour d un point à l intérieur de la trajectoire (mouvement de la Terre autour du soleil) et les mouvements de va-et-vient sur un même axe (chapitres 5 et 8). Mouvements vibratoires ou oscillatoires, mouvement périodique dont la forme la plus simple est le mouvement sinusoïdal ou mouvement harmonique simple (MHS). Université de Genève C. Leluc

2 Le mouvement harmonique simple (MHS) Un cycle est la plus petite séquence qui se répète. La fréquence, f : le nombre de cycles par seconde. Elle s exprime en seconde 1 ou Hertz(Hz), 1 Hz = 1 cycle/s. La période, T : le temps qu il faut pour que le système accomplisse un cycle : T = 1/f. x(t) = x m cos (ωt + φ) x m : l amplitude, élongation maximum. ωt + φ : la phase. φ : la phase initiale dépendant du déplacement et de la vitesse à t = 0. La valeur de φ n influence pas la forme de x(t). ω : la fréquence angulaire/pulsation x(t) = x(t + T ) x m cos (ωt + φ) = x m cos [ω(t + T ) + φ] ω(t + T ) + φ = (ωt + φ) + 2π ω = 2π = 2πf (en rad/s) T Université de Genève C. Leluc

3 Vitesse MHS : la vitesse v x (t) = dx(t) = x m ω sin (ωt + φ) dt La vitesse varie entre les limites : ±v m = ±ω x m. La vitesse est décalée vers la gauche de T /4 par rapport à x(t) Amplitude maximum du déplacement correspond à vitesse nulle. Amplitude minimum du déplacement correspond à vitesse maximum v m. Avec φ = 0, on a la représentation suivante Université de Genève C. Leluc

4 Accélération MHS : l accélération a x (t) = dv x(t) = x m ω 2 cos (ωt + φ) = ω 2 x(t) dt L accélération est proportionelle à son élongation et de signe opposé. Ceci est la caractéristique d un mouvement harmonique simple. L accélération varie entre les limites : ±a m = ±ω 2 x m. L accélération est décalée vers la gauche de T /4 par rapport à v(t) Amplitude maximum du déplacement correspond à une accélération négative maximale. Un déplacement nul correspond à une accélération nulle. Avec φ = 0, on a la représentation suivante Université de Genève C. Leluc

5 Force pour un mouvement harmonique simple Prenons un bloc de masse, m, attaché à un ressort. On tire sur le ressort et on amène la masse en position x m, puis on lache. On néglige les frottements. Le ressort exerce une force de rappel, F e = kx (Loi de Hooke). Le signe indique que cette force de rappel est dans le sens opposé. D après la 2eme loi de Newton, F = ma, on a : F e = kx = ma = m d2 x dt 2 m d2 x dt 2 + k x = 0 Equation différentielle du 2eme degré dont la solution générale est : x(t) = A cos (ωt + φ) Il faut déterminer A, ω et φ pour le mouvement du ressort. Université de Genève C. Leluc

6 Force pour un mouvement harmonique simple (suite) Vérifions que cette solution convient : dx dt = A ω sin (ωt + φ) d 2 x dt 2 = A ω 2 cos (ωt + φ) Reportons dans l equation générale : m d2 x dt 2 + k x = m A ω2 cos (ωt + φ) + k A cos (ωt + φ) = 0 m ω 2 = k Cette solution convient. On appelle fréquence angulaire naturelle, ω o et la période, T = 2π m k. Regardons les conditions aux limites : à t = 0 : x(t = 0) = x m = A cos φ, et v(t = 0) = A ω sin φ = 0. Donc φ = 0[2π] et A = x m. Finalement pour notre ressort, on trouve que l équation du mouvement est donnée par : x(t) = x m cos ( k m t) = k m Université de Genève C. Leluc

7 Energie dans un mouvement harmonique simple (MHS) EN RESUME Dès que l on sait que l accélération varie en fonction du temps, on peut utiliser la 2eme loi de Newton pour apprendre quelle force doit agir sur une masse pour lui donner cette accélération. On combine la 2eme loi de Newton avec a(t) = ω 2 x(t), soit F = ma = (mω 2 ) x On trouve que la force est proportionelle au déplacement, mais de signe opposé. Le mouvement harmonique simple (MHS) est le mouvement d une particule de masse m soumise à une force proportionelle à son déplacement, mais de signe opposé. x(t) = x m cos (ω t + φ) Université de Genève C. Leluc

8 Exemple : MHS Pour un MHS, au temps t = 0, on mesure x m = 8, 5cm, v(0) = 0, 92m/s, et a(0) = +47, 0m/s 2. (a) trouver ω et f?? x(0) = x m cos φ, v(0) = ω x m sin φ, a(0) = ω 2 x m cos φ On a 3 équations et 3 inconnues x m, φ et ω ω = a(0) x(0) (b) Valeur de la phase initiale?? = 23, 5 rad/s et f = ω 2π v(0) x(0) = ωx m sin φ x m cos φ = ω tan φ tan φ = v(0) ω x(0) = = 3, 74Hz Soit φ = 25 et φ = 155. (c) Valeur de x m?? Avec φ = 155, on trouve : x m = x(0) cosφ = 0.094m. Avec φ = 25, on trouve : x m = 9, 4cm. L amplitude doit toujours être positive, φ = 155. Université de Genève C. Leluc

9 Energie dans un mouvement harmonique simple (MHS) L énergie mécanique totale d un système en mouvement harmonique simple est constante. Il se produit un échange continuel entre l énergie cinétique et l énergie potentielle. L énergie potentielle d un oscillateur linéaire est associée entièrement au ressort et dépend si le ressort est étiré ou comprimé E p = 1 2 k x2 = 1 2 k x2 m cos2 (ωt + φ) L énergie cinétique est associée entièrement au bloc et dépend de sa vitesse E c = 1 2 mv2 = 1 2 mω2 x 2 m sin2 (ωt + φ) = 1 2 k x2 m sin2 (ωt + φ) Energie mécanique totale E m = E p + E c E m = 1 2 k x2 m [ cos 2 (ωt + φ) + sin 2 (ωt + φ) ] = 1 2 k x2 m L énergie mécanique totale est proportionelle au carré de l amplitude Université de Genève C. Leluc

10 Exemple : Force de rappel élastique Le chariot a une masse de 1,00 kg. On le déplace de 5,00 cm vers la droite avec une force horizontale de 10,0 N. (a) En supposant qu il n y a pas de frottement, quelle est la période d oscillation quand on a laché le chariot? (b) Où sera-t-il au bout de 0,20 s? (c) Que sera la constante d élasticité du système si l un des 2 ressorts identiques est supprimé? (d) Déterminer la nouvelle fréquence. SOLUTION : (a) Comme la force appliquée F produit un déplacement x, tel que F = k x, alors k = F 10, 00N = x 0, 05m = 200N/m C est la constante d élasticité du système, c-a-d celle du ressort qui produirait le même vibration si le chariot était fixé à son extrémité. Ainsi T = 2π m k = 2π 1, 0kg 200N/m = 0, 444s Université de Genève C. Leluc

11 Exemple : Force de rappel élastique (suite) (b) Pour trouver le déplacement au temps t = 0, 2s, il faut d abord déterminer les paramètres de l équation du mouvement : x = x m cos (ωt + φ). Au temps t = 0, v(t = 0) = 0 = ωx m sin φ. Donc φ = 0. Comme x m = 0, 050m et ω = 2π/T, on trouve : x(t = 0, 2s) = (0, 05m) cos (2π/0, 444s) (0, 2s) = 0, 0476m (c) Si on suprime l un des 2 ressorts, pour effectuer le même déplacement, il suffit de la moitié de la force précédente. Donc k = 0, 100 kn/m. (d) La nouvelle fréquence sera 1/ 2 ce qu elle était avant, soit 1,59 Hz. Pour déplacer horizontalement le chariot, on doit lui fournir de l énergie. Cette énergie est conservée et se transforme sans perte, d énergie potentielle en énergie cinétique et vice-versa, pendant que le chariot oscille sinusoïdalement avec amplitude constante. En réalité, l oscillation est amortie : son amplitude diminue progressivement jusqu à ce que toute l énergie soit transformée en énergie thermique par les frottements et les pertes internes dans les ressorts. Université de Genève C. Leluc

12 Le pendule physique Un pendule composé est un corps solide, libre d osciller dans un plan vertical autour d un axe. Le moment de force par rapport au point O : τ = (m g h) sinθ. Le signe indique que le moment de force tend toujours à reduire l angle θ à 0. La 2eme loi de Newton concernant le mouvement de rotation, τ = I α, où I est le moment d inertie, donne : m g h sin θ = Iα = I d2 θ dt 2 Pour de petits déplacements, sin θ θ d 2 θ dt + mgh θ = 0 2 I On retrouve l équation du MHS. Ici x est remplacé par θ et k/m par mgh/i. Le mouvement d un pendule physique avec petits déplacements angulaires est : θ(t) = θ m cos (ωt + φ) avec pour fréquence angulaire ω = mgh /I et pour période T = 2π I mgh. Université de Genève C. Leluc

13 Le pendule simple Un pendule simple est constitué d une corde inextensible de longueur L, de masse négligeable, à laquelle est fixée une masse ponctuelle, m. Les forces agissant sont la tension du fil, F T, et le poids, mg, de la masse que l on décompose en une force radiale mg cos θ et une force tangentielle mg sin θ. Cette dernière s oppose au déplacement et tend à ramener la masse à sa position d équilibre (θ = 0). F = mg sin θ mgθ = mg l L = (mg L )l On retrouve l eq. de Hooke avec k = mg L. ω = ( mg L )( 1 m ) = g/l T = 2π m mg/l = L/g 2π f = 1 T = 1 2π g/l La période ne dépend pas de la masse, mais uniquement de la longueur. Université de Genève C. Leluc

14 Pendule à torsion On tourne le disque d un angle θ m par rapport à sa position de repos, puis on le lache. Il oscille selon un MHS. La torsion d un fil crée un moment de force de rappel. τ = κ θ κ : constante de torsion qui dépend de la longueur, du diamètre et du matériau du fil. La 2eme loi de Newton donne : τ = I α = I d2 θ dt 2 I : moment d inertie, α : accélération angulaire. L équation du mouvement : d 2 θ dt 2 + κθ I avec ω = κ/i, f = 1 2π = 0 (MHS) κ/i, T = 2π I/κ. Université de Genève C. Leluc

15 MHS et mouvement circulaire uniforme Soit une particule P qui se déplace sur un cercle de centre O et de rayon A à vitesse constante v max dans le sens contraire des aiguilles d une montre. A tout instant la position de la particule est définie par l angle θ. Comme la vitesse linéaire est constante, la vitesse angulaire correspondante ω l est aussi puisque v = rω. La position angulaire à l instant t est θ = ω t (voir chapitre 8). La projection de P perpendiculairement à l axe des x est un point Q qui oscille entre +x max et x max pendant que P décrit le cercle à vitesse constante. Le déplacement de Q mesuré à partir de O pris comme origine est donné par : x(t) = x m cos (ωt + φ) = A cos (ωt + φ) La projection d un mouvement circulaire uniforme sur un diamètre du cercle représente un mouvement harmonique simple. Université de Genève C. Leluc

16 Mouvement oscillatoire amorti Considérons un système oscillatoire harmonique simple sous l action d une force de rappel F = kx. A cette force de rappel, s ajoute une force d amortissement qui provient en général de la résistance de l air et du frottement qui se produit à l intérieur du système oscillant. On observe que l amplitude des oscillations va diminuer jusqu à ce que les oscillations s arrêtent complètement. C est un mouvement oscillatoire amorti. La force d amortissement dépend de la vitesse de l objet oscillant et peut être considérée comme proportionnelle à sa vitesse : F amor = b dx dt. La 2eme loi de Newton donne : m d2 x dt = b dx 2 dt kx et l équation du mouvement est : m d2 x dt + b dx 2 dt + kx = 0 dont la solution est : x(t) = x m e b 2m t cos (ω t + φ) = x m cos (ω t + φ) Université de Genève C. Leluc

17 Mouvement oscillatoire amorti (suite) x(t) = x m e b 2m t cos (ω t + φ) = x m cos (ω t + φ) Le mouvement oscillatoire a une amplitude décroissant exponentiellement, une période plus longue que la période naturelle de l oscillateur et donc une fréquence ω moindre. C est un résultat logique puisque le frottement tend à ralentir le mouvement. Université de Genève C. Leluc

18 Mouvement oscillatoire amorti (suite) b = 0, ω = ω o = k/m Il n y a pas d amortissement. b = 2 km, amortissement critique (ω = 0). Il n y a pas d oscillations, le ω système revient à sa position d équilibre sans k = m b2 4m 2 la dépasser. b 2 km, amortissement sous-critique C est le cas d un pendule ordinaire dont l amplitude diminue lentement. Le mouvement est oscillatoire mais non périodique car son amplitude diminue. b 2 km, amortissement sur-critique Le système n oscille plus du tout, et met plus de temps pour revenir à sa position d équilibre. L énergie mécanique n est pas constante ici. Elle diminue en fonction du temps. Si l amortissement est petit, on peut trouver E m (t) en remplaçant x m par x m e bt/2m. L énergie mécanique diminue exponentiellement avec le temps, mais l énergie totale est conservée. Université de Genève C. Leluc

19 Exemple : Mouvement oscillatoire amorti Dans l oscillateur amorti précédent, on a : m = 250g, k = 85N/m et b = 70g/s. (a) Calculer la période?? (b) Combien de temps faut-il attendre pour que son amplitude d oscillation diminue de moitié?? (c) Combien de temps faut-il pour que l énergie mécanique diminue de moitié?? (a) Comme b km = 4, 6 kg/s, la période peut être approximée par celle d un oscillateur non amorti : T = 2π m k = 2π 0, 25kg 85N/m = 0.34s (b) A t = 0, son amplitude vaut x m. Il faut trouver la valeur de t telle que x m e bt/2m = 1 2 x m. En simplifiant, prenant le log : ln 1/2 = bt/2m t = 2m ln 1/2 b = (2)(0, 25 kg)(ln 1/2) 0, 070 kg/s = 5.0 s (c) Au temps t = 0, E m vaut 1/2kx 2 m. On doit trouver le temps t tel que : 1/2kx 2 m e bt/m = 1/2(1/2kx 2 m ) m ln 1/2 (0, 25 kg)(ln 1/2) t = = b 0, 07 kg/s = 2.5 s Université de Genève C. Leluc

20 Oscillations forcées, résonances Pour maintenir les oscillations malgré l amortissement, il faut apporter continuellement de l énergie au système. Une force effectue un travail moteur sur le système, pour compenser la perte d énergie produite par les frottements. Si on pousse un enfant sur une balançoire, il peut continuer à osciller malgré les frottements ; pour être efficace, il faut pousser la balançoire quand elle atteint le maximum de hauteur et commence à descendre, la force que vous exercez est alors parrallèle au déplacement et le travail est moteur. Soit un ressort ou une masse suspendue à un long élastique : donnez au système une courte impulsion et observez sa fréquence propre,f o. Arrêtez les vibrations et faites monter et descendre votre main avec une amplitude de 2cm et une basse fréquence f e 0, 3Hz( f o ). Le système suit votre mouvement, il se déplace en phase avec votre mouvement mais avec une amplitude plus faible. On a un comportement semblable quand f e est beaucoup plus grande que f o. Mais quand f e approche f o, l amplitude des oscillations résultantes est très grande : il y a résonance. Université de Genève C. Leluc

21 Oscillations forcées, résonances L application d une force externe périodique, F ext = F e cos ω e t, à un système qui peut osciller, produit des oscillations forcées. Le mouvement résultant est une oscillation forcée ou entretenue dont l équation est : m d2 x dt + b dx 2 dt + kx = F e cos ω e t et la solution x(t) = X m cos (ω e t + φ ) On a une oscillation à la fréquence angulaire de la force extérieure. Ici φ n est pas une constante, mais une fonction de ω e et ω o la fréquence naturelle. L amplitude X m est aussi une fonction compliquée de ω e et ω o. Elle est maximale pour ω e = ω o : C est le phénomène de résonance. Si l amortissement est faible, l amplitude peut devenir considérable et entrainer la rupture du système mécanique. Toute structure mécanique a une ou plusieurs fréquences propres, et si la structure est soumise à une force extérieure dont la fréquence correspond à l une de ces fréquences propres, il peut y avoir des oscillations tellement violentes que la structure se casse. Université de Genève C. Leluc

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