Table des matières 1/15

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1 Table des matières Introduction : histoire et modernité...2 I- Généralités Définitions Interprétations d'un système linéaire....3 a- Application linéaire u de Kp dans Kn...3 b- Vecteurs de Kn...4 c- Formes linéaires Structure affine des solutions Système de Cramer...5 a- Définition...5 b- Cas particuliers importants : système triangulaire supérieure...6 c- Systèmes équivalents...7 II- Opérations élémentaires sur les matrices Opérations élémentaires sur les lignes...8 a- Multiplication d'une ligne d'une matrice par un scalaire non nul...8 b- Addition du multiple d'une ligne à une autre...8 c- Échange de deux lignes Traduction matricielle...8 a- Multiplication d'une ligne d'une matrice par un scalaire non nul...8 b- Addition du multiple d'une ligne à une autre...9 c- Échange de deux lignes Les colonnes Théorème fondamental... III- Méthode du Pivot de Gauss Préliminaires Méthode du pivot de Gauss Applications...3 a- Calcul du rang d'une matrice...3 b- Calcul de l'inverse d'une matrice carrée...3 c- Résolution de systèmes linéaires...4 /5

2 Introduction : histoire et modernité. Des tablettes d'argile aux ordinateurs. Voir «Toute l'algèbre de la Licence» de Jean-Pierre Escofier. Babylone : 800 avant Jésus-Christ. Tablettes d'argile deux équations à deux inconnues Liu Hui «Neuf chapitres de la science du calcul». On y trouve la méthode du pivot de Gauss. Viète ( ): introduction des lettres pour décrire des situations générales. Leibniz (646-76): introduction d'indice. Gabriel Cramer ( ): mathématicien suisse. Formule de Cramer en 750/ Gauss ( ) : résolution de systèmes linéaires liée aux observations astronomiques et géodésiques. : problème de modélisation : conception d'une aile d'avion, prévision météorologiques, systèmes mécaniques, problèmes industriels. (000 équations à 000 inconnues). La méthode de Gauss est beaucoup plus efficace que les formules de Cramer. Système linéaire le plus simple. ax=b. a=0 et b=0 une infinité de solutions. a=0 et b 0. Pas de solutions. a 0, une solution unique. Sur cet exemples simple on distingue déjà 3 cas : pas de solution, une infinités de solutions, une unique solutions. Deux équations : deux inconnues : interprétation géométrique dans le plan. Intersection de deux droites : vide, une droite et un point. Trois inconnues : interprétation dans l'espace. 2/5

3 I- Généralités. - Définitions. Définitions : on appelle système linéaire de n équations à p inconnues, tout système (S) de la forme : a, x + a,2 x a, pxp = b ai,x + ai,2x ai, pxp = bi a x + a x a x = b n, n,2 2 n, p p n Second membre : Le vecteur de K n, B=(b, b 2,.,b n ) Système homogène : lorsque le second membre est nul. Solutions du système (S) tout vecteur de K p p-listes. (x,.,x p ) qui vérifie les n équations de (S). Compatibilité : un système est compatible s'il admet au moins une solution. Tout système homogène est compatible car il admet au moins le vecteur nul comme solution. Matrice du système : A=(a i, j) i n j p Rang du système : rang de la matrice du système. Théorème du rang : p=dim(ker(u))+dim(im(u)). 2- Interprétations d'un système linéaire. a- Application linéaire u de K p dans K n. Traduction matricielle : AX=B. X =( x... x p) analogie avec ax=b. Si la matrice A est inversible (n=p=r), alors le système admet une solution unique : X=A Y Traduction à l'aide d'une application linéaire. Soit u l'application linéaire de K p dans K n de telle que : A=Mat(u, B p, B n ) 3/5

4 u(x)=b. Le système est compatible si et seulement si : b Im(u) Système homogène : u(x)=0. S H =Ker(u) dim(s H )= pr b- Vecteurs de K n Soit (C,.,C p ) les vecteurs colonnes de la matrice A. Le système (S) se traduit par : p x j C j =B. j= Le système est compatible si et seulement si : B Vect(C,,C p ). Si A est de rang p, la solution si elle existe est unique. Si A est une matrice carrée (n=p) de rang n, alors le système admet une solutions unique. c- Formes linéaires. Soit φ i (x, x 2,,x p )=a i, x +...+a i, p x p. Les solutions du système (S) sont : Ker(φ i ) i n Les solutions du système homogènes sont l'intersection de n hyperplans. Remarque (*): si les formes linéaires sont indépendantes : dim(s h )=pr r est le rang des formes linéaires. 3- Structure affine des solutions. Propriété Les solutions du système linéaire (S), si elles existent, sont la somme d'une solution particulière et des solutions du système homogène (S H ) associé. S= X 0 +Ker(u) 4/5

5 4- Système de Cramer. a- Définition. Définition Un système linéaire est dit «De Cramer» si on a n équations et n inconnues et que le rang du système est n. (n= p=r) X =A B Dans ce cas la résolution revient au calcul de l'inverse d'une matrice, et on a unicité des solutions. Propriété : On suppose que n= p.on a l'équivalence. système de Cramer. Matrice inversible. Solution unique. S H ={0} Remarque : pour résoudre les systèmes de Cramer on aura 2 possibilités : les formules de Cramer basées sur le déterminant : (n+2)! n 3 la méthode du pivot de Gauss 3 5/5

6 b- Cas particuliers importants : système triangulaire supérieure. Théorème Le rang d'une matrice carrée triangulaire supérieure de dimension n est n si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Démonstration Si les coefficients diagonaux sont non nuls alors le rang est n. Les n vecteurs colonnes sont libres, donc le rang est n. Si l'un des coefficients est nul alors ils sont liés. On considère le plus petit indice j pour lequel le coefficient s'annule. Et on montre que : C j Vect(C,., C j ). Propriété : le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure et les diagonales se multiplie terme à terme. Remarque : pour une matrice triangulaire supérieures, les coefficients diagonaux de l'inverse sont les inverses des coefficients diagonaux de la matrice. Exemples. On commence par inverser la matrice en partant de la dernière relation, puis on remonte jusqu'à la première. A=( ) A=( ) B= ( 2 5 3) ) 2 X=( On trouve une solution unique 2 2 La même méthode donne : A =( 3 ) Problématique : peut-on toujours se ramener à un système triangulaire supérieure.? 6/5

7 c- Systèmes équivalents. Définition : deux systèmes sont équivalents si et seulement si ils ont les mêmes solutions. Propriété : Si U GL n (K),alors : AX=B UAX=UB. Remarque : dans la pratique, on obtient un système équivalent : En ajoutant à une ligne le multiple d'une autre. (ou plus généralement à une ligne une combinaison linéaire des autres.) En permutant deux lignes. En multipliant une ligne par un scalaire. On verra que ces opérations élémentaires se ramène à des multiplications de A à gauche par des matrices inversibles. Méthode : l'idée générale est de se ramener à un système équivalent le plus simple possible, dans le cas général un système triangulaire supérieure. 7/5

8 II- Opérations élémentaires sur les matrices. - Opérations élémentaires sur les lignes Soit M M n,p (K). a- Multiplication d'une ligne d'une matrice par un scalaire non nul. Codage : L i λ L i Exemples : matrice 2 2 b- Addition du multiple d'une ligne à une autre. L i L i +λ L j Exemple : matrice 2 2 c- Échange de deux lignes L i L j 2- Traduction matricielle. Propriété Ces trois opérations élémentaires sur les lignes correspondent à la multiplication de la matrice A par une matrice inversible (GL n (K)) à gauche. Remarque : pour trouver la matrice correspondante, il suffit de remarquer que U=U I n. Et la matrice qui correspond à l'opération souhaitée est la matrice qui résulte de l'opération effectuée sur la matrice identité. a- Multiplication d'une ligne d'une matrice par un scalaire non nul. D i λ ( λ) = 8/5

9 L'opération inverse, revient à multiplier la ième ligne par λ soit multiplier à gauche par D i( λ) : C'est une affinité (ou une dilatation). On a déjà rencontré les affinités lors de l'étude des coniques, pour transformer le grand cercle de rayon a en l'ellipse. b- Addition du multiple d'une ligne à une autre. Ajout de λ fois la j ième ligne à la i ème ligne. Soit U ij =I n +λ E ij une matrice de transvection. U ij (λ) GL n (K)et U ij (λ)=u ij (λ) L'opération inverse de l'addition de λ fois la j ième ligne à la i ième ligne est la soustraction de λ fois la j ième ligne à la i ième ligne. Une transvection est une application linéaire telle qu'il existe une forme linéaire h sur E et un vecteur u de Ker(h) tels que pour tout x de E : f(x)=x+h(x)u. 9/5 ( ) i i D D λ λ λ = =... ( )... U ij λ λ =

10 c- Échange de deux lignes. L ij.. 0. =. 0.. On a : L 2 ij =I n donc : L ij =L ij. (transformation involutive). L ij =I n E ii E jj +E ij +E ji Remarque Soit B=(e, e 2,...,e n ) si on considère la base B ' qui est obtenue à partir de la base B en échangeant les vecteurs e i et e j. L ij =P(B, B ')=P(B',B). L ij est une matrice de permutation qui correspond à une transposition. 3- Les colonnes. On a exactement les mêmes opérations en changeant L en C. Elles correspondent à la multiplication à droite par les matrices carrée de dimension p. Seule change la matrice de transvection qui devient I p +λ E j,i. Les seules opérations sur les colonnes qu'on utilise pour la résolution de système linéaires sont les échanges de deux colonnes, ce qui revient à changer l'ordre des inconnues. 0/5

11 4- Théorème fondamental. Théorème Le rang d'une matrice ne change pas si on effectue un nombre fini d'opérations élémentaires (à droite et à gauche). Démonstration : En effet, la multiplication d'une matrice à droite ou à gauche par une matrice inversible ne change pas son rang. Remarque : on obtient des matrices équivalentes. Conclusion : les opérations élémentaires servent au calcul du rang d'une matrice et à la résolution de systèmes linéaires. /5

12 III- Méthode du Pivot de Gauss. - Préliminaires. Lemme : Soit α K, un scalaire non nul ; alors rang(( α =+rang( A') A')) Démonstration : Le rang d'une matrice est le rang de ces vecteurs lignes. Le rang de A est le rang de ces vecteurs lignes. Or L Vect(L 2,,L n ) Vect(L ) Vect(L 2,,L n )={0} et donc : Vect( L,..., L ) = Vect( L ) Vect( L,..., L ) n 2 n Et donc : rang(a)=dim(vect(l ))+dim(vect(l 2,,L n ))=+dim(vect(l 2,,L n ))=+rang(a ') On a un vecteur colonne nul et le rang d'une matrice est le rang des ses vecteurs lignes ou colonnes. 2- Méthode du pivot de Gauss. Si la matrice A est non nulle. Si la première colonne est non nulle. : - Si le le terme a 0 c'est le pivot. - Sinon, on se ramène au terme a, non nul en échangeant 2 lignes. Si la première colonne est nulle, on l'échange avec une colonne non nulle. On réitère le procédé en remplaçant A par A'. On s'arrête au bout de k étapes avec : Soit k=p ou k=n. Soit la matrice A' est nulle. Théorème On peut transformer une matrice inversible en une matrice triangulaire supérieure par une suite d'opérations élémentaires sur les lignes. Démonstration : comme la matrice est non nulle, on a toujours une première colonne non nulle et on peut se restreindre à des opérations sur les lignes. 2/5

13 3- Applications. a- Calcul du rang d'une matrice. Exemples A=( Et la méthode précédente montre que A est de rang 4. ) b- Calcul de l'inverse d'une matrice carrée. Par des opérations élémentaires on commence à obtenir une matrice triangulaire supérieure avec tous ses coefficients non nuls. Puis on opérant à nouveau sur les lignes on obtient une matrice diagonale avec des coefficients non nuls et on divises chaque ligne et on obtient l'identité. Soit : U k U k... U A=I n Donc : A =U k U k...u =U k U k... U I n Méthode On applique l'algorithme de Gauss en effectuant les même opérations sur les lignes sur la matrice identité. Exemples A=( ) On trouve par la méthode précédente : A = A 4, résultat qu'on peut retrouver directement. A=( On trouve : A ) =( ) /5

14 c- Résolution de systèmes linéaires. Méthode : on met le système sous la forme triangulaire. Deux cas possibles : C'est un système de Cramer : n= p=r. Le système n'est pas de Cramer. On a des conditions de compatibilité. Inconnues principales. 2x+3y-z+t=2 2x+3y+z=4 2x+3y+2z=3 2x+3y=5 Système de Cramer. Théorème On peut transformer une matrice inversible en une matrice triangulaire supérieure par une suite d'opérations élémentaires sur les lignes. Exemple : 2x+ yz= x y+z=2 4x+3y+z=3 Solution unique : (, 2, 2) Cas général. 2x+3yz +t =2 2x+3y+z =4 Solution : 2x+3y+2z =3 { λ,λ,4 } 2x+3y =5 Espace affine de dimension. Si on prend comme seconde membre (2,3,4,4) on a pas de solutions. Dans ce cas, on peut avoir tous les cas de figure. Pas de solution, une solution unique si l'application est injective et le système est compatible, une infinité de solutions. 4/5

15 Si rang(a)=n alors le système a au moins une solution. Et si p>n alors elle n'est pas unique. Si r<n, alors on peut ne pas avoir de solutions. Si r=p, si la solution existe elle est unique. Si r<p si on a des solutions alors il n'y pas d'unicité. Si r=p=n système de Cramer, solution unique. 5/5