1/ NON LINEAIRE. 1,1/ Principe.

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1 1,1/ Principe. 1/ NON LINEAIRE Dans abaqus il est possible de créer des step dans lesquels on définira le chargement et la méthode de résolution. Il sera possible de créer plusieurs step sachant que la fin du step précédent constitue les conditions initiale pour le step en cours. En utilisant plusieurs steps il donc facile de modifier les conditions aux limites les chargements et les méthodes de résolution. Il faudra parallèlement définir les sorties pour chaque step puisque vu le volume énorme des sorties possible il n est pas envisageable dans un logiciel de stocker systématiquement tous les résultats possibles. Abaqus impose un initial test dans lequel on indique toutes les conditions imposées au début de l étude. Par exemple si on veut étudier une poutre encastrée soumise à une force F1 appliqué en A puis une force F2 appliqué en B et enfin on cherche les fréquences propres de la poutre chargée. On créera Initial step: dans lequel on indiquera le blocage de la zone encastrée Step1: dans lequel on spécifiera l application de la force F1 et la procédure de calcul: statique non linéaire Step2: dans le quel on spécifiera l application de la force F2 et la procédure de calcul: statique non linéaire et le fait que la force F1 est toujours appliquée Step 3: dans le quel on indiquera que l on souhaite calculer les modes les forces F1 et F2 restant appliquées Au niveau du step on définira un temps qui est simplement un paramètre (sauf si on considère des matériaux pour lequel les caractéristiques sont dépendantes de la vitesse ou si on étudie des problèmes de dynamique bien évidemment. Alors généralement le chargement sera nul au début du step et prendra progressivement la valeur demandée à la fin du step.

2 2/ EXEMPLE 1 METHODE NEWTON RAPHSON 2,1/ Données Considérons le cas du réglet encastré à une extrémité soumis d abord à son poids propre puis ensuite à un effort à l autre extrémité. Les données sont indiquées sur la figure ci-dessous ainsi que les résumés des essais. section 0.78 y x masse 78.2g E= MPa F

3 : Tableau 1: Résultats expérimentaux Fen g U mm V mm Ce cas, de non linéarité est typique d une non linéarité géométrique assez douce, sans instabilité locale qui doit pouvoir être traitée par une méthode de newton raphson standard

4 2,2/ Modélisation Réalisons cette modélisation dans abaqus La structure peut-être maillée par des éléments de plaque et il suffit de mettre un élément dans l épaisseur et 10 dans la longueur pour espérer avoir une bonne solution. Dans une première étape il faut don dessiner la géométrie, mailler la structure, et mettre les conditions aux limites en déplacement, ici l encastrement. Ceci est équivalent au travail qu il faudrait faire pour un cas linéaire. Supposons cette partie réalisée. Il reste à indiquer le chargement, la méthode de résolution et spécifier les sorties sachant que l on souhaite récupérer les résultats pour les chargements effectués en essai

5 2,3/ Création des steps Création du premier step nommé gravité A insérer après le step initial Calcul non linéaire méthode classique newton raphson Valider

6 étiquette basic décrire le chargement choisir l option non linéaire géométrique pas de stabilisation nécessaire car il n y a pas d'instabilité probable

7 Pour la partie incrémentation on peut garder les valeurs par défaut étiquette other le chargement varie proportionnellement au temps. Il vaudra 0 au début de l incrément et atteindra sa valeur finale à la fin de l incrément Valider

8 Créer un nouveau step ce step sera positionné après le step gravité calcul non linéaire méthode de résolution standard Valider

9 définir le step choix d une période de 495 pour pouvoir facilement obtenir les résultats intermédiaires. Puisque le chargement. maximal est de 495 g et que le chargement varie proportionnellement au temps pour obtenir les résultats pour un chargement de 245g par exemple il suffira de demander le résultat pour un temps de 245.

10 Les deux steps ont bien été créés. Il suffit maintenant de leur affecter leur chargement respectif

11 2,4/ Créations du chargement gravité et affectation au step Définir le chargement Choisir le step Définir le type Indiquer l accélération en m/s si la masse du matériau a été définie en kg Valider valider

12 2,5/ Créations du chargement force et affectation au step 1) Choisir le step d application 3)valider 2) Choisir le type 5) valider 4) Définir les points d application

13 Définir la force maximale en N: 0.495*9.81/2 (on divise par deux puisque la force est appliquée sur les deux points extrêmes Visualisation Gravité Forces ponctuelles Valider

14 2,6/ Analyse des efforts: Choisir Load manager On voit que: 1) la gravité est définie dans le step gravité puis est propagée dans le step force extrémité en restant constante 2) que les forces ponctuelles apparaissent uniquement dans le step force extrémité Efforts de gravité forces_pounctuelles 0 step gravité Step force_extrémité temps

15 2,7/ Définition des sorties pour le step gravité Field Output requests (create) 3)demander pour ce step les sorties à la fin de l incrément 2)valider 1) choisir le step 4)choisir les sorties ici les déplacements 5)valider

16 2,8/ sorties pour le step force_extrémité 4)Choisir les sorties à des temps précis 5) valider 6) Définir les temps pour lesquels on souhaite les sorties 1) Choisir le step 2) Valider 3) Choisir les sorties 7)valider

17 2,9/ Créer un job, vérifier les données, lancer le calcul, demander les résultats

18 2,10/ Analyse des résultats, déplacements pour un chargement à l'extrémité de 195 g 1)Choisir le frame 4 qui correspond au temps 195 donc au chargement 195 2) Dans result field output choisir la sortie déplacement U3 3) demander la visualisation

19 2,11/ Tracé du déplacement à l extrémité en fonction du temps, donc de la force extérieure 3 Choisir la variable 1) créer les données 2) ces données sont obtenus à partir du fichier de sortie 4) Indiquer la variable choisie

20 1) Indiquer le noeud choisi 2) le sélectionner à l écran 3) Créer l a courbe

21 3/ EXEMPLE 2 utilisation méthode de Risk 3,1/ Données Soit le modèle barre ressort suivant: Z F B W A Lo Longueur initiale L Position initiale ks Z X Matériau E Section de la barre S E=70000MPa L=2500mm Z=25mm S=700.mm 2 Pour K=1.3 et K=1 et K=0 W F/K=0 F/K=1 F/K=1.3 W F/K=0 F/K=1 F/K=1.3-1,00-1,84-2,84-3,14-30,00 4,70-25,30-34,30-2,00-3,46-5,46-6,06-31,00 5,54-25,46-34,76

22 W F/K=0 F/K=1 F/K=1.3 W F/K=0 F/K=1 F/K=1.3-3,00-4,86-7,86-8,76-32,00 6,32-25,68-35,28-4,00-6,06-10,06-11,26-33,00 7,04-25,96-35,86-5,00-7,06-12,06-13,56-34,00 7,68-26,32-36,52-6,00-7,87-13,87-15,67-35,00 8,23-26,77-37,27-7,00-8,50-15,50-17,60-36,00 8,69-27,31-38,11-8,00-8,96-16,96-19,36-37,00 9,05-27,95-39,05-9,00-9,26-18,26-20,96-38,00 9,30-28,70-40,10-10,00-9,41-19,41-22,41-39,00 9,42-29,58-41,28-11,00-9,42-20,42-23,72-40,00 9,41-30,59-42,59-12,00-9,30-21,30-24,90-41,00 9,26-31,74-44,04-13,00-9,05-22,05-25,95-42,00 8,96-33,04-45,64-14,00-8,69-22,69-26,89-43,00 8,50-34,50-47,40-15,00-8,23-23,23-27,73-44,00 7,87-36,13-49,33-16,00-7,68-23,68-28,48-45,00 7,06-37,94-51,44-17,00-7,04-24,04-29,14-46,00 6,06-39,94-53,74-18,00-6,32-24,32-29,72-47,00 4,86-42,14-56,24-19,00-5,54-24,54-30,24-48,00 3,46-44,54-58,94-20,00-4,70-24,70-30,70-49,00 1,84-47,16-61,86-21,00-3,82-24,82-31,12-50,00 0,00-50,00-65,00

23 W F/K=0 F/K=1 F/K=1.3 W F/K=0 F/K=1 F/K=1.3-22,00-2,90-24,90-31,50-51,00-2,08-53,08-68,38-23,00-1,95-24,95-31,85-52,00-4,40-56,40-72,00-24,00-0,98-24,98-32,18-53,00-6,98-59,98-75,88-25,00 0,00-25,00-32,50-54,00-9,82-63,82-80,02-26,00 0,98-25,02-32,82-55,00-12,94-67,94-84,44-27,00 1,95-25,05-33,15-56,00-16,33-72,33-89,13-28,00 2,90-25,10-33,50-57,00-20,02-77,02-94,12-29,00 3,82-25,18-33,88-58,00-24,01-82,01-99,41-30,00 4,70-25,30-34,30-59,00-28,31-87,31-105,01-31,00 5,54-25,46-34,76-60,00-32,93-92,93-110,93

24 K=0 K=1 K=1, F en N W en mm

25 Sur les courbes réponses il apparaît clairement que pour un ressort à rigidité nulle il existe une zone pour un déplacement compris entre -10 et -30 où la structure perd sa rigidité. Cette zone sera donc difficile à passer par une résolution standard mais vu que c est une perte globale de rigidité cette zone doit pouvoir être modélisée par une méthode de risk. Dans un premier temps l étude portera sur des rigidités du ressort de 1 et 1.3. Dans la dernière partie on considérera le cas K=0 3,2/ Modélisation La barre sera modélisée par un élément de barre avec deux nœuds et le ressort sera modélisé avec un élément ressort relié au sol. les conditions aux limites sont classiques puisqu il suffit de bloquer les déplacements au point A, de bloquer les composantes X et Y au point B et d imposer une force ponctuelle en B. : Modélisation du ressort

26 3,3/ Film de la modélisation complète

27 3,4/ Calcul avec un ressort K=0 Méthode de Newton Raphson Relancer le calcul avec un ressort de raideur nulle sans modifier la méthode de résolution. Dans ce cas le calcul n arrive pas à se réaliser comme on peut le voir sur les informations ci-dessous.

28 Pour avoir des informations complémentaires, pour comprendre les raisons de cette erreur on peut regarder le Job monitor. indique que les résultats des frames 1 et 2 ont été écrits dans ce tab il est indiqué: dans la base et sont donc analysables The system matrix has 1 negative eigenvalues. ce qui peut supposer une perte de rigidité et justifier la non convergence Permet d obtenir les temps de début et fin

29 Signification de la partie supérieure de la fenêtre monitor L analyse du tableau permet d avoir une première idée déroulement du job. La première ligne permet de voir que: Dans le step 1, le premier incrément à nécessité 2 itérations (Total Iter), l incrément de temps était de 10 (Time Inc) et le temps à la fin de l incrément est de 10 (Total Time) ce qui est normal puisque c est le premier incrément et que le temps de départ est 0 Pour l incrément 2, l incrément de temps est toujours de 10 et temps d arrivée est donc de 20 Pour l incrément 3 pour le première tentative de résolution (Att=1) avec un incrément de10 le temps d arrivée est toujours à 20 ce qui signifie qu avec 5 itérations il n y a pas eu de convergence. Une deuxième tentative (Att=2) est réalisée avec un pas de 2.5 et cette fois il y a eu convergence en 2 itérations.

30 Il est possible d obtenir plus d informations soit en regardant le fichier. sta et surtout à partir du module de visualisation dans le menu:tolls=>job- Diagnostics Ce tableau permet d avoir des informations précises pour chaque incrément et chaque itération. Par exemple dans ce cas on voit que l étude pour l incrément 3 a divergé au niveau du premier essai (Attempt 1) pour le quel il y a un! et que pour l essai 2 (Attempt 2 il y a eu convergence au bout de 2 itérations

31 3,5/ Résolution Ressort K=0 méthode de Risk Puisque dans ce cas la non convergence provient d une perte de rigidité globale de la structure, phénomène de snap through une possibilité de résolution est d utiliser la méthode de Risk. Il suffit donc de spécifier au niveau du step que la méthode est changée. 1) Il faut remplacer le step Static, General par Static Risk 2) Cliquer sur continue 4) Régler l arrêt de la méthode soit par le chargement soit par le coefficient F=F0+ (Fmax-F0). 3) Valider l option Non linéaire Géométrique qui est nécessaire pour cette étude

32 Avec cette option la résolution s effectue parfaitement et on retrouve les résultats théoriques

33 4/ essai de traction éprouvette en cuivre (plasticité). Lors d un essai de traction sur une éprouvette en cuivre de section rectangulaire (20mm*4 mm) et de longueur 100 mm on a obtenu les résultats suivants: DL/L F/SO Mpa 0 0 0, , , , , , ,49 340

34 On cherche à modéliser cette éprouvette de la façon suivante. z y Par symétrie on modélisera un huitième de l éprouvette x On créera un point de référence sur lequel la force extérieure sera exercée. En ce point on bloquera tous les ddl sauf Tx On imposera que tous les points de la face extrême est le même déplacement en x que le point de référence On analysera les résultats, contraintes déformation, déplacement et on déterminera quels sont les déformations et contraintes visualisées par le logiciel. Pour rentrer un matériau ayant un comportement plastique il faut:

35 rentrer le module deyoung et coefficient de poisson

36 choisir la loi d écrouissage Rentrer la courbe d écrouissage. Contrainte de cauchy, déformations logarithmiques

37 Film montrant la modélisation et la visualisation

38 5/ Contact Le contact peut-être réalisé soit entre des surfaces déformables soit entre une surface déformable et une surface rigide.les surfaces rigides peuvent être définies à partir d un maillage ou de façon analytique. L interaction dans le cas général sera associé à une contrainte normale à la surface et à une contrainte de cisaillement si on fait l'hypothèse d un glissement avec frottement. La distance entre deux surfaces sera appelé le jeu. Lorsque le jeu devient nul une pression apparaît au niveau de l interface. Il n y a aucune limite sur la valeur de cette pression.la variation brutale de la pression de contact suivant que le contact soit en position ouverte (jeu) ou fermé (jeu nul) peut créer des problèmes important au niveau de la convergence. Cette option correspond à la méthode «hard contact» Il est possible de considérer que la pression de contact est fonction de la distance séparant les deux surfaces. Plusieurs possibilités sont proposées pour décrire cette pression de contact. Dans abaqus par défaut le contact est créé entre une «master surface» et une «slave surface» associée à des noeuds. Si le maillage de la surface nommée slave n est pas assez serré on risque de pas voir des pénétrations comme celle représentée sur la figure ci-dessous. master surface slave surface Pénétration La surface nommée «slave» doit être la surface maillée le plus finement Si les surfaces ont des densités de maillage équivalentes, la surface slave doit-être la surface la moins rigide Si une surface est considérée comme rigide on doit toujours la prendre comme «master surface»

39 L objet de l exercice est d étudier le pliage d une tôle en cuivre (même matériau que dans l exercice précédent). Les données sont les suivantes: largeur de tôle 10 mm 2 y Rouleau acier supposé indéformable diamètre 20 mm. On imposera un déplacement suivant y de -60mm puis une remontée 100 mm rouleaux acier fixe supposé indéformable diamètre 15 mm 200 mm

40 Film montrant la modélisation

41 6/ Matériau hyperélastique Le but est de rentrer les données pour un matériau hyper élastqiue de faire un essai de traction et d analyser les résultats: contraintes déformations. On supposera que l éprouvette est exactement la même que pour le cas 4. Des essais sur un caoutchouc ont donné les résultats suivants: Tableau 2: RESULTATS ESSAIS TEST UNIAXIAL TEST BIAXIAL TEST CISAILLEMENT F/S0 MPa DL/Lo F/S0 MPa DL/Lo F/S0 MPa DL/Lo On prendra une loi polynomiale pour représenter ce matériau.

42 Film entrée des données

43 7/ Flambage post flambage Pour le calcul du post flambage il est souvent intéressant de créer une perturbation initiale voisine de certains modes. Dans ce cas dans abaqus il faut 1. Faire un premier calcul en flambage et sauvegarder les résultats sur un fichier. Pour cela il faut ajouter la carte*node file dans le fichier de données car le module CAE ne propose pas cette possibilité cliquer sur Model-1(bouton droit) choisir Edit Keywords Ajouter ces deux lignes qui indiquent: que l on souhaite écrire sur le fichier n.fil (n est le nom que vous donnerez au job lors de la résolution) les déplacements (variable u) pour tous les noeuds (global=yes)

44 2. Faire un nouveau calcul en non linéaire dans lequel on va générer des imperfections ou une déformée initiale. Dans ce cas il faut dans le fichier d entrée ajouter la carte imperfection qui ne peut pas être introduite par un menu du logiciel cliquer sur Model-1(bouton droit) choisir Edit Keywords Ajouter ces deux lignes. La premiere ligne indique que les données sont dans le fichier flab.fil et step 1 indique que cette perturbation doit être prise dans le premier step La ou les lignes suivantes indiquent les modes à prendre en considération et le coefficient associé. Ainsi ici le mode 1 est pris avec un coeff 1. Si in voulait ajouter le mode 2 avec un coefficient 0.5 il faudrait ajouter la ligne suivante: 2,0.5

45 3. Etudier une plaque rectangulaire en compression réalisée en alliage léger On déterminera la force critique de flambage, puis on cherchera la réponse par un calcul non linéaire pour un effort égal à 1.3 fois la force critique E=70000 MPa nu=0.3 épaisseur 3 mm plaque appuyée sur ses quatre côtés dans la direction z y 100 mm x 200 mm