En avril 2006, les dirigeants d Alcatel ont proposé aux actionnaires une fusion de l entreprise

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1 Chapitre 3 Arbitrage et décisions financières En avril 2006, les dirigeants d Alcatel ont proposé aux actionnaires une fusion de l entreprise avec Lucent, un concurrent américain : l objectif était de donner naissance au leader mondial des équipements de télécommunications. En septembre 2007, Carlos Ghosn, PDG de Renault-Nissan, a annoncé la décision de construire une nouvelle usine d assemblage de voitures au Maroc. En décembre 2007, Louis Gallois, président d EADS, annonçait la délocalisation d une partie de la production d Airbus dans les pays de la zone dollar, afin de réduire les coûts de production de l entreprise. Chaque décision prise par le dirigeant d une entreprise peut avoir de multiples conséquences. Comment savoir si ces conséquences seront globalement favorables à l entreprise? L analyse est parfois complexe : La fusion entre Alcatel et Lucent a abouti en décembre L objectif pour les deux sociétés était d augmenter leurs parts de marché et de réaliser des synergies : 1,4 milliard de dollars d économies sur trois ans étaient d ailleurs programmées. Pour ce faire, le licenciement de 10 % des effectifs était envisagé. Mais les fusions imposent aux entreprises des coûts de restructuration et de réorganisation qui viennent s ajouter aux frais de fusion proprement dits (plus de 60 millions d euros). En février 2007, le groupe a ainsi annoncé que les suppressions de postes seraient plus nombreuses que prévu, du fait des difficultés financières rencontrées au dernier trimestre Le montant des investissements prévus pour la nouvelle usine du groupe Renault-Nissan est compris entre 800 et millions d euros. Une fois l usine achevée, il faudra également payer les salariés qui y travailleront. Carlos Ghosn espère que la vente des voitures produites par l usine sera suffisante pour compenser toutes ces dépenses. La décision de délocaliser une partie de la production d Airbus en zone dollar est motivée par la dépréciation du dollar, en particulier vis-à-vis de l euro, depuis En effet, l essentiel des coûts d Airbus sont libellés en euros, alors que la majorité de ses ventes se fait en dollars ; un dollar faible (ou un euro fort) a donc un impact négatif sur le bénéfice de l entreprise. Si le taux de change euro/dollar demeure élevé, produire en zone dollar permettra une réduction des coûts d Airbus. Mais, en même temps, il faut prévoir la construction de nouvelles usines à l étranger, le recrutement et la formation du personnel, etc. Ces décisions ont toutes été prises parce que les dirigeants estimaient, compte tenu des informations dont ils disposaient à ce moment, que les bénéfices l emporteraient sur les coûts. En pratique, il est toujours particulièrement ardu de comparer les coûts et les bénéfices d un projet industriel ou d une décision financière, surtout lorsqu ils sont étalés dans le temps et sont fluctuants. Pour décider de réaliser tel projet plutôt que tel autre, il faut pouvoir

2 72 Partie I Introduction exprimer les coûts et les bénéfices en termes comparables et tenir compte des risques associés. L objectif de la finance est précisément de proposer des outils permettant une comparaison fiable entre coûts et bénéfices lorsqu ils se produisent à des instants différents ou qu ils sont exposés à des risques différents. Ce chapitre est centré sur le concept de valeur actuelle nette, qui permet d apprécier l intérêt économique d un projet. Nous introduisons également le concept d arbitrage. En économie, l arbitrage consiste à choisir rationnellement entre plusieurs alternatives (arbitrium agere, faire un choix), indépendamment de tout jugement de valeur. Une possibilité d arbitrage apparaît, par exemple, lorsqu un même bien s échange à des prix différents. Les agents ont alors toujours intérêt à acheter le bien là où il est le moins cher et à le revendre là où il est le plus cher. Sur un marché concurrentiel, une telle situation ne peut être que temporaire : par leur action, les agents contribuent en effet à rééquilibrer les prix et à faire disparaître les opportunités d arbitrage. En généralisant ce raisonnement, on parvient à l idée que, sur un marché concurrentiel, deux projets équivalents doivent avoir le même prix : c est ce qu on appelle la Loi du prix unique. Cette loi est centrale dans la théorie de l évaluation des actifs (financiers ou non) et occupe donc une place majeure dans cet ouvrage Exprimer les coûts et les bénéfices dans la même unité La première étape lors de l évaluation d un projet consiste à en identifier les coûts et les bénéfices. Prenons l exemple d une entreprise d import-export qui a la possibilité d acheter des crevettes surgelées pour et qui peut les revendre immédiatement à l un de ses clients pour Les coûts et les bénéfices sont dans ce cas certains, et la décision est immédiate : l entreprise doit saisir cette opportunité. Mais, en pratique, les choses sont rarement aussi simples et les opportunités d investissement sont complexes à analyser. Identifier et prévoir les coûts et les bénéfices fait appel à des connaissances multiples en marketing, en économie, en stratégie, etc. et n est pas du ressort exclusif d un financier. En revanche, il incombe à ce dernier de comparer les coûts et bénéfices pour savoir s il convient de lancer un projet ou non. Dans cette section, nous étudions la situation dans laquelle les coûts et bénéfices sont connus à l avance mais exprimés dans des unités différentes. Prix de marché et valeur d un projet Considérons un deuxième exemple. On propose à un bijoutier l échange suivant : recevoir 20 onces d or contre 10 onces de platine. Sa décision va bien entendu dépendre de la valeur relative des deux métaux. Supposons que l once d or s échange sur le marché au prix de 250, tandis que l once de platine se négocie à Compte tenu des prix de marché, le bijoutier doit décliner l échange : accepter «rapporterait» au bijoutier 20 onces d or 250 / l once = 5 000, mais lui «coûterait» 10 onces de platine 550 / l once = La valeur nette de cet échange est donc de = On ignore pour le moment l existence de commissions ou d autres coûts de transaction lors des achats et des ventes. Cf. la section 3.7 à ce sujet.

3 Chapitre 3 Arbitrage et décisions financières 73 La réponse du bijoutier doit dépendre exclusivement de la valeur de marché de l or et du platine, et non des valeurs subjectives qu il accorde aux deux métaux. Même si le bijoutier préfère travailler l or ou bien qu il pense que le prix du platine est trop élevé, il n a pas intérêt à accepter l échange (voir exemple 3.1). Si le bijoutier est en mesure d acheter et de vendre or et platine à leur prix de marché, ses préférences personnelles et son opinion sur le «juste prix» des métaux n interviennent pas dans sa décision. Prix de marché et valeur d un projet Problème Le marché est supposé concurrentiel. Le bijoutier peut produire de bijoux avec 20 onces d or ou de bijoux avec 10 onces de platine. A-t-il intérêt à échanger les 10 onces de platine qu il détient contre 20 onces d or? Solution La valeur des bijoux produits avec 20 onces d or est plus élevée que celle produite avec 10 onces de platine. On pourrait alors imaginer que le bijoutier a intérêt à échanger le platine qu il détient contre l or. Pourtant, il n en est rien : le bijoutier peut toujours vendre ses 10 onces de platine sur le marché contre Avec cette somme, il peut acheter / 250 = 22 onces d or, soit deux onces d or de plus que s il acceptait l échange proposé. Exemple 3.1 De manière générale, si les biens sont échangés sur un marché concurrentiel c est-à-dire s ils peuvent être achetés et vendus au même prix, il est alors possible de calculer la valeur nette d un projet sans se soucier des goûts ou des opinions du décisionnaire. Cette idée simple, mais très puissante, est un des fondements de la théorie financière. Une analyse coût-bénéfice à partir des prix de marché Problème On propose à un investisseur français l opportunité suivante : en échange de comptant, il reçoit 200 actions Gaz de France et $. Le prix de marché d une action GDF est de 40 et le taux de change euro/dollar est de 1,25 $ pour 1. L investisseur doit-il accepter ce placement? Que doit-il faire s il anticipe une dépréciation du dollar au cours des prochains mois? Exemple 3.2 Solution Pour savoir si le placement est intéressant, il faut convertir les coûts et les bénéfices dans une même unité. Puisque l investisseur est français, le plus simple est de convertir tous les flux en euros. Le coût du placement est de Le bénéfice est de 200 actions $ 1,25 = La valeur nette de ce placement est donc de L investisseur a tout intérêt à saisir l opportunité qui lui est offerte. La décision dépend exclusivement du taux de change comptant et du prix de l action GDF aujourd hui. Quelle que soit l anticipation de l investisseur quant au taux de change futur euro/dollar, cela ne modifie en rien la valeur nette du projet et ne doit donc pas influencer sa décision.

4 74 Partie I Introduction Que faire en l absence de prix de marché? Les prix de marché permettent de calculer la valeur nette d un projet ou d une décision financière sans se préoccuper des préférences ou des anticipations personnelles des agents qui doivent prendre la décision. Comment apprécier la valeur d un projet lorsque les prix de marché ne sont pas disponibles ou que le marché n est pas concurrentiel autrement dit, quand le prix auquel on peut acheter un bien est nettement supérieur au prix auquel on peut vendre ce même bien? Exemple 3.3 Valeur d un projet en l absence de prix de marché Problème Un concessionnaire Renault engage un nouveau salarié et lui offre, en guise de prime d embauche, la possibilité d acheter une Laguna neuve au prix de ; pour un client normal, le prix serait de Sur le marché de l occasion, une Laguna peut être revendue à Quelle valeur le salarié attache-t-il à cette proposition? Solution Si le salarié prévoit, de toute façon, d acheter une Laguna neuve, la valeur de la proposition du revendeur est de = Si le salarié ne désire pas de voiture neuve, il a tout de même intérêt à accepter l offre et à revendre la voiture sur le marché de l occasion, ce qui lui rapporte = Dans ce cas, l offre est toutefois moins intéressante. Dans cet exemple, le marché n est pas concurrentiel (au sens où il n est pas possible d acheter et de vendre au même prix). La valeur de l offre faite par le concessionnaire dépend donc des préférences de l intéressé Taux d intérêt et valeur temps de l argent Dans les exemples précédents, les coûts et les bénéfices sont immédiats. En pratique, les coûts et bénéfices apparaissent à des moments différents. Il faut, le plus souvent, avancer des frais pour espérer, plus tard, réaliser un bénéfice. Comment évaluer la valeur des projets dans ce cas? La valeur temps de l argent Un projet industriel nécessite un investissement de aujourd hui pour un bénéfice de dans un an. Les flux sont certains. Il n est pas possible de comparer tels quels ces deux montants. La valeur nette du projet n est pas de = En effet, ce raisonnement oublie le fait que les flux ne se produisent pas au même moment. Et un euro aujourd hui n est pas équivalent à un euro demain. Il est toujours préférable, en effet, de recevoir un euro aujourd hui plutôt que dans un an et par conséquent un euro aujourd hui «vaut» davantage qu un euro dans un an : c est ce

5 Chapitre 3 Arbitrage et décisions financières 75 qu on appelle le principe de préférence pour le présent 2. Pour s en convaincre, il suffit de se rappeler qu il est toujours possible de déposer de l argent dont on n a pas besoin immédiatement sur un compte épargne qui porte intérêt : un placement de 100 sur un livret A au taux de 3 % permet ainsi d obtenir 103 dans un an. La valeur temps de l argent se définit comme la différence entre la valeur de un euro dans le futur et sa valeur aujourd hui. Et il faut toujours tenir compte de la valeur temps de l argent pour comparer des flux se produisant à des dates différentes. Le taux d intérêt : un taux de change intertemporel Le taux d intérêt sans risque, noté r f, est le taux d intérêt auquel on peut prêter ou emprunter contre la promesse certaine d un remboursement futur. Par convention, le taux sans risque est exprimé en base annuelle. Ce taux permet de convertir une somme d argent «actuelle» en une somme d argent «future» : un euro aujourd hui vaudra (1 + r f ) euros dans un an ; de manière symétrique, un euro dans un an vaut 1 / (1 + r f ) euros aujourd hui. Le taux d intérêt est, en fait, comparable à un taux de change intertemporel. Le taux de change euro/dollar, par exemple, permet de convertir des euros en dollars et inversement : si le taux de change est égal à un euro pour 1,25 $, cela signifie qu aujourd hui un euro peut être échangé contre 1,25 $ ; de manière symétrique, un dollar vaut 1 / 1,25 = 0,8. Avec un taux d intérêt de 7 %, cela signifie par analogie qu il est possible d échanger un euro aujourd hui contre 1,07 dans un an ou, symétriquement, un euro dans un an contre 1 / (1 + 0,07) = 0,93 aujourd hui. La connaissance du taux d intérêt, qui est un prix de marché, permet donc d évaluer les coûts et bénéfices d un projet lorsqu ils ne se produisent pas au même moment, de la même manière qu un taux de change permet de comparer les coûts et bénéfices d un projet exprimés dans des monnaies différentes. Pour apprécier le projet proposé plus haut, il faut donc prendre en compte la valeur temps de l argent. Le projet requiert un investissement immédiat de Supposons que l on doive emprunter ces Au taux sans risque de 3 %, il en coûte, dans un an, ( au titre du remboursement du capital et au titre du paiement des intérêts), alors que le projet ne rapporte que , soit une perte nette de dans un an. Le projet n est donc pas économiquement intéressant. Le projet serait-il intéressant si nous n avions pas à emprunter les ? S il est possible de prêter au même taux que le taux auquel on emprunte 3 autrement dit, si le marché est concurrentiel, la réponse est non : de nouveau, l évaluation du projet ne dépend pas de la situation de l agent, ni de ses préférences. Placer au taux sans risque de 3 % permet d obtenir (1 + 3 %) = dans un an. Investir dans le projet revient donc à renoncer à dans un an, alors que le projet ne rapporte à cette date que : la perte nette s élève, là encore, à dans un an. 2. Ce principe est bien sûr valable que l on raisonne en euros, en dollars ou dans n importe quelle autre monnaie. 3. La situation dans laquelle ces deux taux sont différents est l objet de la section 3.7.

6 76 Partie I Introduction Valeur actuelle et valeur future Dans le calcul précédent, la date retenue pour comparer les coûts et les bénéfices est la date de fin de projet (dans un an). Il est bien entendu possible d effectuer cette comparaison à la date d aujourd hui. Que vaut aujourd hui la promesse certaine de recevoir dans un an? Pour le dire autrement, combien faut-il placer aujourd hui au taux sans risque pour obtenir dans un an? Avec un taux d intérêt égal à 3 %, il faut placer / (1 + 3 %) = ,13. Or, le projet requiert un investissement aujourd hui de pour obtenir dans un an , soit 970,87 de plus qu en prêtant au taux sans risque. La décision est par conséquent la même, que les coûts et les bénéfices soient exprimés en euros aujourd hui ou en euros dans un an : il faut refuser ce projet. La perte nette peut être exprimée en euros aujourd hui ou en euros dans un an, mais elle est équivalente dans les deux cas. En effet, 970,87 (1 + 3 %) = Les calculs précédents sont récapitulés dans le tableau 3.1. Tableau Valeur actuelle et valeur future du projet Valeur actuelle ( ) Valeur future ( ) Coût : aujourd hui (1 + 3 %) = Bénéfices : dans un an / (1 + 3 %) = , Gain net (perte nette si négatif) 970, Avec un taux d intérêt de 3 %, un projet qui nécessite un investissement de aujourd hui et qui rapporte dans un an n est pas intéressant. La perte nette est de 970,87 en valeur actuelle, ce qui équivaut à une perte de dans un an. Figure Taux de change et taux d intérêt Valeur d un euro aujourd hui 3 /$ /$ Valeur d un dollar aujourd hui Valeur d un euro aujourd hui 3 (1 + r f ) (1 + r f ) Valeur d un euro dans un an Pour évaluer un projet, il est nécessaire que ses coûts et ses bénéfices soient exprimés dans la même unité. Cela signifie qu ils doivent être exprimés dans la même monnaie et à la même date. Pour passer d une monnaie à l autre, il faut utiliser le taux de change. Pour passer d une date à une autre, il faut utiliser le taux d intérêt. Calculer la valeur future d un projet (qualifiée parfois de valeur acquise ou de valeur à terme) revient à exprimer les coûts et les bénéfices en euros à la date finale du projet ici dans un an. Pour rendre les flux d aujourd hui comparables aux flux dans un an, il faut multiplier les premiers par (1 + r f ).

7 Chapitre 3 Arbitrage et décisions financières 77 À l inverse, calculer la valeur actuelle (ou valeur présente) d un projet revient à «convertir» les coûts et les bénéfices en euros aujourd hui. Pour rendre un flux dans un an comparable à un flux aujourd hui, il faut le multiplier par 1 / (1 + r f ). Il est souvent plus pratique d utiliser la valeur actuelle plutôt que la valeur future pour évaluer les projets d investissement. Le terme 1 / (1 + r f ) est le facteur d actualisation à un an pour un investissement sans risque. Dans la mesure où le taux sans risque est positif, le facteur d actualisation est supérieur à l unité et le montant des bénéfices actualisés est inférieur au montant des bénéfices effectifs. Le coût de report d un projet Problème Les colonnes de Buren, installées en 1986 dans la cour du Palais-Royal à Paris, se dégradent lentement. Depuis plusieurs années, leur rénovation est prévue, mais reportée régulièrement par manque d argent. Aux dernières nouvelles, la rénovation devrait avoir lieu en 2008 ou Si le chantier est lancé en 2008, il coûtera 3,2 millions d euros. Un report d un an des travaux provoquera un alourdissement de la facture de 5 %. Quel est le coût du report des travaux jusqu en 2009 si l on retient un taux d intérêt de 3 %? Exemple 3.4 Solution Si les travaux ne commencent qu en 2009, ils coûteront 3,2 millions (1 + 0,05) = 3,36 millions d euros. Pour comparer ce montant au coût des travaux en 2008, il faut convertir les flux futurs en flux actuels. Le taux d intérêt est de 3 %, donc : 3,36 millions d euros en 2009 / (1 + 0,03) = 3,26 millions d euros en Le coût du report des travaux d un an est donc de 3,26 millions 3,20 millions = La valeur actuelle nette La valeur actuelle nette (VAN) (Net Present Value, NPV) d un projet se calcule comme la différence entre la valeur actuelle de ses bénéfices et la valeur actuelle de ses coûts : Acceptation ou rejet d un projet VAN = VA(Bénéfices) VA(Coûts) (3.1) La VAN d un projet s interprète comme la valeur aujourd hui de la richesse créée par le projet. À ce titre, la VAN peut servir de critère de décision : un projet ne doit être retenu que si sa VAN est positive. Dans ce cas, en effet, le projet enrichit celui qui l entreprend. Au contraire, des projets à VAN négative détruisent de la valeur, ils appauvrissent ceux qui les entre prennent. Considérons le projet suivant : investir 500 aujourd hui rapporte avec certitude 550 dans un an. Le taux d intérêt sans risque est de 5 %. Quelle est la VAN de ce projet? Ce projet doitil être mis en œuvre? La VAN du projet est égale à / (1 + 5 %) = 23,81. La VAN étant positive, le projet est économiquement intéressant.

8 78 Partie I Introduction Le fait de devoir emprunter les 500 nécessaires au projet ne change en rien la décision précédente. Pour s en convaincre, supposons que l on emprunte aujourd hui 523,81 au taux annuel de 5 %, ce qui laisse 23,81 disponibles, puisque le projet ne coûte que 500. Dans un an, l emprunteur devra rembourser 523,81 et payer des intérêts de 523,81 5 % = 26,19, pour un total de 550 soit par construction, le montant exact des bénéfices du projet. Ainsi, accepter un projet à VAN positive revient au même que recevoir immédiatement la VAN du projet en espèces, sans aucune obligation future en contrepartie : ici, en lançant le projet, l investisseur s enrichit de 23,81 immédiatement sans engagement (puisque les bénéfices futurs du projet compensent exactement les coûts futurs). Tableau VAN d un projet financé par endettement Flux aujourd hui ( ) Flux dans un an ( ) Emprunt + 523,81 523,81 (1 + 5 %) = 550 Projet Flux nets + 23,81 0 Comparaison de projets Lorsqu on doit choisir entre plusieurs projets, il faut retenir celui dont la VAN est la plus élevée. Un entrepreneur a le choix entre trois projets sans risque, dont les flux sont décrits au tableau 3.3. Pour un taux d intérêt sans risque de 20 %, quel projet faut-il retenir? Qu en est-il si l on souhaite absolument recevoir aujourd hui 42? Qu en est-il si l on souhaite absolument investir aujourd hui 100? Tableau Trois projets alternatifs Projets Flux aujourd hui ( ) Flux dans un an ( ) A B C La VAN de chaque projet, est la suivante : projet A : / ( %) = 77 ; projet B : / ( %) = 100 ; projet C : / ( %) = 87,5. Les trois projets ont une VAN positive et sont donc tous trois créateurs de richesse. Si cela était possible, il conviendrait de les accepter tous. S il n est possible d en accepter qu un seul, il faut retenir le projet B qui a la VAN la plus élevée : 118,46. Si le marché est concurrentiel, cette décision vaut quelles que soient les préférences des agents.

9 Chapitre 3 Arbitrage et décisions financières 79 En effet, même si l on souhaite absolument recevoir 42 aujourd hui, il faut tout de même choisir le projet B, que l on complète par un emprunt de 62. Si au contraire on souhaite investir 100 aujourd hui, on peut combiner le projet B avec un prêt de 80. Les flux présents et futurs figurent dans le tableau 3.4. Le choix du projet B, accompagné le cas échéant d un prêt ou d un emprunt, donne toujours à l investisseur une richesse supérieure au choix d un autre projet, car la VAN du projet B est supérieure à celle des VAN des deux autres projets. Choisir B revient à recevoir 100 aujourd hui sans obligation future. Tableau Projet B combiné à un prêt ou un emprunt Flux aujourd hui ( ) Flux dans un an ( ) Projet B Emprunt de ,00 ( %) = 74,4 Projet B + Emprunt de ,6 Projet B Prêt de ,00 ( %) = 96 Projet B + prêt de Le critère de maximisation de la VAN est indépendant des préférences des agents. En empruntant ou en plaçant au taux sans risque, on peut modifier à sa guise la façon dont les flux se répartissent dans le temps. Les trois projets A, B et C sont représentés à la figure 3.2, qui comprend en abscisse les flux présents et en ordonnée les flux futurs (dans un an). Calculer la VAN d un projet revient à convertir les flux futurs en flux présents à l aide du taux d intérêt approprié, ici le taux d intérêt sans risque égal à 20 %. Graphiquement, la VAN du projet A se situe donc à l intersection de l axe des abscisses (les flux futurs sont alors nuls) et de la droite passant par le point A. La pente de cette droite est de 1,2 : le taux d intérêt sans risque est de 20 %, le taux de conversion est donc de un euro aujourd hui contre 1,2 dans un an. De même, la VAN des projets B et C se situe à l intersection de l axe des abscisses et de la droite de pente 1,2 passant par les points B et C, respectivement. Chacune de ces droites représente l ensemble des combinaisons possibles en associant chaque projet à un emprunt ou un prêt au taux d intérêt sans risque de 20 %. Le projet B, dont la VAN est la plus élevée, est situé sur la droite la plus éloignée de l origine du graphique : il offre donc le meilleur choix, quelles que soient par ailleurs les préférences de l investisseur Arbitrage et Loi du prix unique Jusqu à présent, il a été supposé que les marchés étaient concurrentiels, au sens où un même bien s échangeait partout au même prix. Cette hypothèse est-elle réaliste? Que faire si un même bien s échange au même moment à des prix différents sur plusieurs marchés? Prenons l exemple de l or qui se négocie sur plusieurs marchés, les plus importants étant ceux

10 80 Partie I Introduction Figure Comparaison des projets A, B, C B + prêt de C 225 Flux dans un an ( ) B ,6 B + emprunt de A Pente = 1, ,5 100 Flux actuels ( ) VAN du projet : A C B Chaque droite représente l ensemble des combinaisons possibles en associant chaque projet à un emprunt ou un prêt au taux d intérêt sans risque de 20 %. La VAN d un projet correspond à la situation où tous les flux sont exprimés en euros actuels. Un emprunt augmente les flux présents et réduit les flux futurs (et inversement pour un prêt). Les combinaisons possibles de flux présents et futurs grâce au projet ayant la plus forte VAN sont plus attractives que celles offertes par les autres projets. de New York et Londres. Est-il possible que les prix sur ces deux marchés diffèrent durablement? La réponse est non, et ce pour une raison très simple : sur ces marchés, il est possible d acheter et de vendre de l or. Supposons que l once d or se négocie 250 $ à New York et 300 $ à Londres. Dans cette situation, il est possible de réaliser un gain en achetant de l or à New York et en le revendant immédiatement à Londres 4. Pour une once d or achetée et revendue, le gain est de 50 $ ; pour un million d onces d or, le gain s élève à 50 millions de dollars! Ce gain est certain, immédiat 4. Pour cela, il n y a pas besoin de transporter physiquement l or de New York à Londres : les investisseurs échangent seulement des droits de propriété sur des quantités d or qui ne bougent pas.

11 Chapitre 3 Arbitrage et décisions financières 81 et il ne nécessite aucune mise de départ : autant dire que n importe quel investisseur qui repère une telle différence de prix va chercher à acheter et vendre la plus grande quantité d or possible pour faire un profit maximal. Ainsi, en quelques secondes, le marché de l or à New York va crouler sous les ordres d achat, tandis que le marché de l or à Londres sera inondé d ordres de vente. Les investisseurs qui, les premiers, auront acheté de l or à New York pour le revendre à Londres réaliseront effectivement un gain. Mais très rapidement, le cours de l or à New York va augmenter sous l effet des ordres d achat, tandis que le cours à Londres va baisser sous l effet des ordres de vente. Les prix sur ces deux marchés vont évoluer jusqu à ce qu ils soient égaux, quelque part entre 250 $ et 300 $ l once. L opération réalisée avec l or est une opération d arbitrage. L arbitrage le plus simple consiste à acheter et à vendre simultanément un même bien sur deux marchés, afin de profiter d une différence de prix. Plus généralement, une opportunité d arbitrage 5 existe dans toute situation où il est possible de réaliser un profit sans risque et sans mise de fonds initiale. Par définition, une opportunité d arbitrage est un projet à VAN positive. Les investisseurs sont toujours à l affût d opportunités d arbitrage. Et dès qu une telle opportunité apparaît, ils sont nombreux à vouloir la saisir. Ce faisant, ils contribuent à rééquilibrer les prix et à faire disparaître les opportunités d arbitrage. Autrement dit, sitôt décelées, les opportunités d arbitrage disparaissent. Sur un marché normal, on peut donc dire qu il n y a pas d opportunités d arbitrage 6. Ainsi, sur un marché normal, le prix de l or sera à tout moment identique à Londres et New York. La même logique s applique à tout actif échangé en même temps sur plusieurs marchés concurrentiels. Si les prix diffèrent entre les marchés, les investisseurs vont immédiatement exploiter cette opportunité en achetant l actif sur le marché où le prix est le plus faible pour le revendre sur le marché où le prix est le plus élevé. En agissant ainsi, ils exercent une pression sur les prix ; ces derniers convergent alors rapidement. Par conséquent, les prix d un actif identique sur différents marchés ne peuvent différer durablement les uns des autres. Cette propriété importante des marchés concurrentiels est connue sous le nom de Loi du prix unique : Lorsqu un actif s échange simultanément sur plusieurs marchés concurrentiels, alors son prix est le même sur tous les marchés. Une plaisanterie d économiste Un professeur de finance et un étudiant marchent dans la rue. L étudiant aperçoit sur le trottoir un billet de 100 et s apprête à le ramasser. Le professeur le stoppe dans son élan et lui dit : «Ne te donne pas cette peine, s il y avait vraiment un billet de 100 par terre, quelqu un l aurait déjà pris!» Cette petite histoire, que s amusent souvent à raconter les professeurs de finance, illustre le concept d absence d opportunité d arbitrage. Trouver un billet de 100 dans la rue est très peu probable, et ce pour deux raisons : i) la plupart des gens font attention à ne pas 5. On qualifie parfois les opportunités d arbitrage de free lunch ou repas gratuit. 6. Le terme de marché efficient est souvent utilisé pour décrire un marché sur lequel, en plus d autres propriétés, il n y a pas d opportunités d arbitrage. Nous préférons ici ne pas utiliser ce terme qui porte souvent à confusion.

12 82 Partie I Introduction perdre leurs billets de 100 ; ii) dans le cas rare où un billet de 100 est perdu, il est ramassé très rapidement, ce qui diminue d autant la probabilité d en trouver un. Pour se convaincre définitivement que les opportunités d arbitrage sont rares, il suffit de se demander depuis quand n avons-nous pas trouvé de billet de 100 par terre! 3.5. Absence d opportunités d arbitrage et prix des actifs Un actif financier désigne un titre, échangeable sur un marché financier, qui donne droit à des flux monétaires futurs. Acheter un actif financier revient à réaliser un placement. Émettre un actif financier consiste à solliciter un financement, en contrepartie de la promesse de verser ultérieurement de l argent au propriétaire de l actif en question. On distingue deux grandes classes d actifs financiers : les obligations et les actions. Les obligations sont des titres de dettes. Les actions sont des titres de propriété. L évaluation des actifs financiers Considérons un actif financier qui offre à son propriétaire un paiement certain de dans un an. Cet actif peut être une obligation, émise par une entreprise pour trouver des financements immédiats en échange de paiements futurs. Si le taux d intérêt sans risque est de 5 %, quel est le prix de cet actif sur un marché normal? Pour répondre à cette question, considérons un placement alternatif qui offre lui aussi un flux de dans un an. Quel montant, par exemple, doit-on placer aujourd hui dans une banque au taux d intérêt sans risque de façon à recevoir dans un an? La réponse s obtient en calculant la valeur actuelle de dans un an (voir section 3.3) : VA(1 000 dans un an) = / (1 + 5 %) = 952,38 Il existe donc deux façons d obtenir dans un an : (1) acheter l obligation ou (2) placer 952,38 au taux d intérêt sans risque de 5 %. Ces transactions génèrent les mêmes flux futurs ; d après la Loi du prix unique, sur un marché normal, leur coût doit donc être identique. Autrement dit, le prix de l obligation doit être égal à 952,38. Supposons que l obligation s échange sur le marché au prix de 940. Peut-on profiter de la situation pour réaliser un profit sans risque? Il semble que cela soit le cas. La stratégie consiste à acheter l obligation au prix de 940 et en même temps emprunter 952,38. Avec un taux d intérêt de 5 %, il faudra verser à la banque 952,38 1,05 = dans un an (952,38 au titre du remboursement de l emprunt et 47,62 au titre des intérêts), alors que l obligation produira un flux de à ce moment-là. Une telle stratégie permet donc de gagner aujourd hui 12,38 (= 952, ) pour chaque obligation achetée, sans prendre de risque et sans mise de fonds initiale. Les flux de la stratégie d arbitrage sont résumés dans le tableau 3.5. Dès qu un investisseur remarque une telle opportunité d arbitrage, il achète le plus d obligations possible, ce qui fait augmenter son prix jusqu à ce qu il atteigne 952,38 ; une fois ce prix atteint, il n y aura plus d opportunité d arbitrage.

13 Chapitre 3 Arbitrage et décisions financières 83 Tableau Achat de l obligation par endettement Flux aujourd hui ( ) Flux dans un an ( ) Achat de l obligation 940, ,00 Emprunt bancaire + 952, ,00 Flux net de trésorerie + 12,38 0,00 Une opportunité d arbitrage symétrique apparaît si le prix de l obligation est supérieur à 952,38, par exemple 960. Dans ce cas, il faut vendre l obligation et prêter 952,38 au taux sans risque (le prêt est simple à réaliser : il suffit de placer l argent sur un compte bancaire rémunéré, ce qui revient à prêter l argent à la banque ; voir tableau 3.6). On peut ainsi gagner 7,62 aujourd hui. Encore une fois, dès que les investisseurs décèlent une telle opportunité d arbitrage, ils vendent en masse des obligations, ce qui fait baisser leur prix jusqu à ce qu il atteigne 952,38, faisant ainsi disparaître toute possibilité d arbitrage. Tableau Vente de l obligation Flux aujourd hui ( ) Flux dans un an ( ) Vente de l obligation + 960, ,00 Placement bancaire 952, ,00 Flux net de trésorerie + 7,62 0,00 La stratégie précédente implique de vendre l obligation et de placer une partie des fonds obtenus. Cela signifie-t-il que seuls ceux qui détiennent initialement l obligation peuvent exploiter l opportunité d arbitrage? Non, car sur les marchés financiers, il est possible de vendre un actif que l on ne possède pas : il s agit d une vente à découvert (short sale). L investisseur qui désire vendre à découvert un actif l emprunte à quelqu un qui le possède. Au terme de l opération, l investisseur doit rendre l actif à son propriétaire initial (ce qui implique que l investisseur rachète l actif sur le marché) ou verser au propriétaire initial de l actif les flux que ce dernier aurait dû recevoir. Dans l exemple précédent, il est ainsi possible de vendre à découvert l obligation en promettant de verser à son propriétaire dans un an. Les ventes à découvert permettent d exploiter les opportunités d arbitrage qui existent lorsque des actifs sont surévalués et que l on ne possède pas les actifs en question. Les «bandits» du SOES-Nasdaq Sur le Nasdaq (contrairement au NYSE), les teneurs de marché sont en concurrence (voir chapitre 1). Depuis le milieu des années 1980, le Nasdaq dispose d un système informatique, le Small Order Execution System (SOES) qui permet aux investisseurs individuels d acheter ou de vendre jusqu à titres instantanément.

14 84 Partie I Introduction Le SOES, conçu initialement pour faciliter les transactions de petite taille, s est révélé un précieux outil pour réaliser des arbitrages. Si un teneur de marché propose de vendre une action Apple au prix de 20,25 $ et qu au même moment un second teneur de marché propose d acheter cette même action au prix de 20,30 $, il est alors possible de réaliser un profit sans risque de 50 $ en achetant titres à 20,25 $ au premier teneur de marché et en les revendant instantanément à 20,30 $ au second. Par le passé, certains investisseurs, qualifiés de «bandits du SOES», pratiquaient ce type d arbitrage plusieurs dizaines de fois par jour, ce qui leur permettait de réaliser des profits non négligeables. En réaction, les teneurs de marché sont devenus plus attentifs et plus réactifs pour ajuster les prix qu ils proposent, afin d éviter d être la cible des bandits. Aujourd hui, de telles opportunités d arbitrage sont rares*. * Voir J. Harris et P. Schultz, «The Trading Profits of SOES Bandits», Journal of Financial Economics, 50 (2) (Oct. 1998): Le prix en l absence d opportunité d arbitrage Dans l exemple précédent, tout prix différent de 952,38 fait apparaître une opportunité d arbitrage. Sur un marché normal, le prix de cette obligation doit donc être de 952,38. Ce prix est appelé le prix en l absence d opportunité d arbitrage. Il est déterminé en reproduisant à l identique les flux monétaires d un actif financier (les dans un an dans le cas de l obligation) et en calculant le coût immédiat de cette réplication. En l absence d opportunité d arbitrage, ce coût est égal à la valeur actuelle des flux futurs auxquels le détenteur de l actif financier aura droit : Prix d un actif = VA(Ensemble des flux monétaires offerts par l actif) (3.2) Exemple 3.5 Calculer le prix en l absence d opportunité d arbitrage Problème Un actif offre à son propriétaire 100 aujourd hui et 100 dans un an. Le taux d intérêt sans risque est de 10 %. Quel est le prix en l absence d opportunité d arbitrage de l actif (avant le paiement des 100 aujourd hui)? Si l actif s échange à 195, quelle stratégie doit-on mettre en œuvre? Solution Il faut d abord calculer la valeur actuelle des flux générés par l actif pour déterminer le prix en l absence d opportunité d arbitrage. Ce dernier est égal à / ( %) = 190,91. L actif s échange à 195 : il est donc surévalué. La stratégie d arbitrage consiste à vendre à découvert l actif sur le marché pour 195 et à prêter 90,91 au taux de 10 %. On obtient ainsi un flux de 104,09 aujourd hui (soit 4,09 de plus que si l on détenait l actif) et de 100 dans un an.

15 Chapitre 3 Arbitrage et décisions financières 85 Tableau Prix et absence d opportunité d arbitrage Flux aujourd hui ( ) Flux dans un an ( ) Vente de l actif + 195,00 0 Flux à verser à l acheteur de l obligation Prêt de 90,91 90, ,91 ( %) = Flux nets + 4,09 0 Exemple 3.5 Taux d intérêt et prix des obligations L équation (3.3) lie le prix en l absence d opportunité d arbitrage d une obligation sans risque et le taux d intérêt sans risque. Il est possible d utiliser l équation (3.3) pour déterminer le taux d intérêt sans risque, si le prix d une obligation sans risque est connu. Une obligation sans risque qui verse dans un an s échange aujourd hui contre 929,8. Le marché étant concurrentiel, le taux d intérêt sans risque r f doit satisfaire l équation suivante : et on en déduit que : 929,8 = / (1 + r f ) r f = (1 000 / 929,8) 1 = 7,55 %. En pratique, c est de cette manière que les taux d intérêt sont calculés, à partir du prix des obligations cotées sur les marchés. Par ailleurs, le taux d intérêt correspond à la rentabilité de l obligation. De manière générale, la rentabilité se calcule en rapportant le gain de fin de période au coût initial, soit dans l exemple précédent : Gain en fin de période Rentabilité = (3.3) Coût initial ,8 = =7,55 % 929,8 Ainsi, en l absence d opportunité d arbitrage, la rentabilité d un actif sans risque est tout simplement le taux d intérêt sans risque : Si l obligation offrait une rentabilité supérieure, les investisseurs réaliseraient un profit certain en s endettant au taux d intérêt sans risque pour acheter l obligation sans risque. Si l obligation offrait une rentabilité inférieure, les investisseurs réaliseraient un profit certain en vendant l obligation et en prêtant l argent obtenu au taux d intérêt sans risque. De manière générale, en l absence d opportunité d arbitrage, tous les investissements sans risque doivent offrir à leurs investisseurs la même rentabilité, égale au taux d intérêt sans risque. Le théorème de séparation L achat d un actif financier peut facilement être assimilé à un projet d investissement. Le coût de ce projet est le prix à payer pour acheter l actif en question, et les bénéfices sont les flux

16 86 Partie I Introduction futurs dont profitera le propriétaire du titre. Sur un marché normal, le prix d un actif est égal à la valeur actuelle des flux qu il engendre (voir équation 3.3). La VAN du projet consistant à acheter un actif est donc nulle : VAN(Achat d un actif) = VA(Flux futurs de l actif) Prix de l actif = 0 Symétriquement, lorsqu on vend un actif, le prix peut s interpréter comme une recette, tandis que les flux auxquels on renonce du fait de la vente de l actif sont des coûts. De nouveau, la VAN est nulle : VAN(Vente d un actif) = Prix de l actif VA(Flux futurs de l actif) = 0 Ainsi, sur un marché normal, la VAN de l achat ou de la vente d un actif est nulle. Ce résultat n est pas surprenant : si la VAN était positive, il existerait une opportunité d arbitrage, et de telles opportunités sont par définition absentes d un marché normal. Une autre manière de comprendre ce résultat est de se rappeler qu un échange met toujours en relation un acheteur et un vendeur. Une VAN positive pour une partie de l échange se traduit nécessairement par une VAN négative pour l autre partie, qui n a alors aucun intérêt à accepter l échange! Ce dernier étant volontaire, le prix doit être tel qu aucune partie n y perd ; par conséquent, la VAN de l échange doit être nulle. Sur un marché normal, l échange ne crée ni ne détruit de valeur. Il y a création de valeur lorsqu une entreprise décide de se lancer dans un projet à VAN positive. Les transactions financières servent uniquement à ajuster le calendrier des flux monétaires du projet, de manière à ce qu ils correspondent aux préférences de l entreprise ou des investisseurs. L évaluation d un projet d investissement doit donc se focaliser sur sa dimension réelle et peut négliger les aspects financiers. Par conséquent, il est possible de séparer les décisions d investissement d une entreprise de ses décisions financières. C est ce que l on appelle le théorème de séparation : Échanger un actif sur un marché normal ne crée ni ne détruit de la valeur. Il est donc possible d évaluer la VAN d une décision d investissement indépendamment des décisions relatives à son financement. Exemple 3.6 Décisions d investissement et décisions de financement Problème Une entreprise étudie un investissement de dix millions d euros qui rapporte de façon certaine 12 millions d euros dans un an. Pour financer ce projet, l entreprise envisage de faire appel à des investisseurs externes. L entreprise promet aux investisseurs 5,5 millions d euros dans un an. Le taux d intérêt sans risque est de 10 %. L entreprise doit-elle réaliser le projet? Si oui, doit-elle le financer avec ses moyens propres ou en émettant des titres? Solution Le coût de ce projet est de dix millions d euros aujourd hui et le bénéfice de 12 millions d euros dans un an. La VAN du projet est donc égale à / 1,1 = 0,91 million d euros. Cette VAN est celle du projet lorsque ce dernier est autofinancé.

17 Chapitre 3 Arbitrage et décisions financières 87 Supposons que l entreprise décide d émettre des titres. Sur un marché normal, leur prix sera égal à la valeur actuelle des flux futurs soit 5,5 / 1,1 = 5 millions d euros. L entreprise peut donc lever cinq millions d euros en émettant des titres : elle n a alors besoin que de cinq millions d euros de trésorerie pour financer le projet. Dans un an, l entreprise recevra 12 millions d euros, mais devra 5,5 millions d euros aux détenteurs des titres, ce qui laissera au final 6,5 millions d euros à l entreprise. La valeur actuelle de 6,5 millions d euros dans un an est égale à 6,5 / 1,1 = 5,91 millions d euros. La VAN du projet financé par émission de titres est donc égale à 5,91 5 = 0,91 million d euro. Dans les deux cas, comme le prévoit le théorème de séparation, la VAN est la même. Si le marché est normal, il est possible d évaluer un projet sans se soucier de la façon dont l entreprise le finance. Exemple 3.6 (suite) Évaluer un portefeuille d actifs Jusqu à présent, le prix de non-arbitrage n a été appliqué qu à des actifs individuels. Comment s y prendre lorsqu on doit évaluer un portefeuille d actifs? La réponse est très simple : sur un marché normal, la valeur d un portefeuille d actifs est égale à la somme des valeurs des actifs qui le composent. C est le principe d additivité des valeurs 7. Soient deux titres A et B. Si C est un portefeuille composé d un titre A et d un titre B, le prix de C est : Prix(C) = Prix(A + B) = Prix(A) + Prix(B) (3.4) Le principe d additivité des valeurs s applique aussi aux entreprises. En vertu de ce principe, la valeur d une entreprise est égale à la VAN des différents projets de l entreprise en question. Par conséquent, l utilisation de la VAN comme critère de décision coïncide avec l objectif de maximisation de la valeur de l entreprise. Afin de maximiser la valeur de l entreprise, ses dirigeants doivent prendre des décisions maximisant la VAN. La VAN d un projet représente la contribution du projet à la valeur totale de l entreprise. Évaluer l actif d un portefeuille Problème Hol est un groupe coté qui possède deux filiales : il détient 60 % des parts d une chaîne de restaurant et 100 % d une fabrique de skis. Si la valeur de marché du groupe Hol est de 160 millions d euros et celle de la chaîne de restaurant (qui est cotée) de 120 millions d euros, quelle est la valeur de la fabrique de skis? Exemple Ce principe est en général vérifié sur les marchés financiers. Mais ce n est pas toujours le cas sur d autres marchés. Ainsi, par exemple, acheter un billet aller-retour auprès d une compagnie aérienne est souvent moins coûteux que d acheter séparément le billet aller et le billet retour. En effet, les billets d avion ne sont pas vendus sur un marché concurrentiel : il est impossible d acheter et de vendre des billets au prix affiché. Seules les compagnies aériennes peuvent vendre des billets et elles imposent des conditions de revente très strictes. Autrement, il serait possible de gagner de l argent en achetant un billet aller-retour et en revendant séparément l aller et le retour à deux personnes n effectuant chacune qu un seul déplacement.

18 88 Partie I Introduction Solution La participation du groupe Hol au capital de la chaîne de restaurant s élèvent à 60 % 120 millions d euros = 72 millions d euros. Compte tenu du principe d additivité des valeurs, la fabrique de skis a donc une valeur de 160 millions d euros 72 millions d euros = 88 millions d euros Le prix du risque Tous les projets considérés jusqu à présent étaient, par hypothèse, sans risque. Il convient de généraliser les principes précédents au cas de projets risqués. On considère deux actifs financiers : Une obligation sans risque qui donne droit à un flux de dans un an. Un actif risqué qui suit la performance du marché boursier : le portefeuille de marché (que l on peut approcher par l indice CAC 40, par exemple). Celui-ci vaudra dans un an si la conjoncture économique est bonne et 800 si la conjoncture économique est mauvaise (les deux situations sont supposées équiprobables). Le taux d intérêt sans risque est de 4 %. Le tableau 3.8 résume les flux liés à ces deux titres. Tableau Obligation sans risque et portefeuille de marché Actif financier Prix de marché aujourd hui ( ) Conjoncture défavorable Flux dans un an ( ) Conjoncture favorable Obligation sans risque Portefeuille de marché Sur un marché normal, le prix de l obligation est égal à la valeur actuelle de ses flux, soit / (1 + 4 %) = Le portefeuille de marché s échange aujourd hui au prix de sur le marché. Un investisseur qui achète cet actif aujourd hui pourra, dans un an, le revendre à 800 ou à selon la conjoncture. Le portefeuille de marché vaudra donc en moyenne 0, , = dans un an. Pourquoi son prix de marché est-il inférieur à celui de l obligation, qui rapportera également dans un an? Aversion au risque et prime de risque Le prix du portefeuille de marché est inférieur à celui de l obligation, alors que les deux actifs ont le même flux futur moyen parce que les investisseurs, en règle générale, n aiment pas le risque : ils manifestent de l aversion au risque. Les investisseurs ne sont pas prêts à payer autant pour recevoir en moyenne que pour recevoir de façon certaine Autrement dit, le coût pour un individu de perdre un euro quand la conjoncture est mauvaise est supérieur à la satisfaction que lui procure un euro supplémentaire quand la conjoncture est bonne. Le degré d aversion au risque caractérise les préférences des investisseurs et diffère d un individu à l autre. Plus les investisseurs, dans leur ensemble, manifestent de l aversion au risque,

19 Chapitre 3 Arbitrage et décisions financières 89 plus le prix des actifs risqués est faible comparé à celui d une obligation sans risque qui rapporte en moyenne autant. Puisque les investisseurs sont sensibles au risque, il n est pas possible d utiliser le taux d intérêt sans risque pour calculer la valeur actuelle d un projet ou d un actif risqué. Lorsque les agents investissent dans un projet ou un actif risqué, ils en attendent, en retour, une compensation à hauteur du risque qu ils acceptent de courir. Les investisseurs qui achètent l actif risqué à son prix de marché de recevront dans un an, en moyenne, 1 100, soit un gain espéré de 100. L espérance de rentabilité de l actif risqué est donc de 100 / = 10 %. Il ne faut pas confondre cette espérance de rentabilité avec la rentabilité effective ex post de ce placement, qui elle ne sera jamais de 10 % : la rentabilité ex post sera de ( ) / = 40 % si la conjoncture est bonne ; de ( ) /1 000 = 20 % si la conjoncture est mauvaise. Il est également possible de calculer l espérance de rentabilité comme la moyenne (pondérée) des rentabilités effectives : 0,5 (40 %) + 0,5 ( 20 %) = 10 %. La différence entre la rentabilité espérée de l actif risqué et le taux d intérêt sans risque représente la prime de risque. Cette prime de risque est la rentabilité supplémentaire que les investisseurs exigent pour compenser le risque de l actif : elle est fonction des préférences des investisseurs en matière de risque. Sur un marché concurrentiel, la prime de risque est telle que la demande d actifs risqués est égale à l offre d actifs risqués. Dans notre exemple, la prime de risque est de 10 % 4 % = 6 %. Lorsqu un actif est risqué, le taux d actualisation qu il faut retenir pour calculer sa valeur actuelle est égal au taux d intérêt sans risque auquel on ajoute une prime de risque. Le prix de non-arbitrage d un actif risqué Considérons un actif A qui donne droit à 600 quand la conjoncture est bonne et rien autrement. Son prix de marché peut être calculé à partir de la Loi du prix unique. En combinant l actif A avec une obligation sans risque qui verse 800 dans un an, les flux futurs de ce portefeuille sont égaux à ceux du portefeuille de marché considéré précédemment. En l absence d opportunité d arbitrage, le prix de marché du portefeuille composé de l obligation et de l actif A doit donc être de Le prix de marché de l obligation sans risque est de 800 / 1,04 = 769. D après le principe d additivité des valeurs, le prix de marché de l actif A est donc de = 231. Si ce n était pas le cas, la Loi du prix unique serait violée, faisant apparaître une opportunité d arbitrage. Tableau Prix de marché de l actif A Actif financier Prix de marché aujourd hui ( ) Conjoncture défavorable Flux dans un an ( ) Conjoncture favorable Obligation sans risque Actif A? Portefeuille de marché

20 90 Partie I Introduction La prime de risque dépend du niveau de risque L actif A s échange donc aujourd hui au prix de 231 contre un paiement, en moyenne, égal à 0, ,5 600 = 300. Ainsi, l espérance de rentabilité de l actif A est égale à ( ) / 231 = 30 %. Cette espérance de rentabilité est supérieure à l espérance de rentabilité du portefeuille de marché qui n est que de 10 %. La prime de risque de l actif A est donc de 30 % 4 % = 26 %, alors que la prime de risque du portefeuille de marché est de 6 %. Cette différence s explique par le fait que l actif A est plus risqué que le portefeuille de marché. Quand la conjoncture économique est mauvaise, les agents qui ont investi dans l actif A perdent tout : la rentabilité ex post de leur placement est de 100 % (contre 20 % pour le portefeuille de marché). Quand la conjoncture économique est bonne, la rentabilité ex post de leur placement est de ( ) / 231 = 160 % (contre 40 % pour le portefeuille de marché). La rentabilité de l actif A est donc beaucoup plus variable que celle du portefeuille de marché ; il n est alors pas surprenant que la prime de risque de l actif A soit supérieure. Le risque d un actif est lié au risque de marché L exemple précédent suggère que la prime de risque d un actif est d autant plus élevée que sa rentabilité est variable. Mais il faut se garder de tirer trop rapidement une conclusion générale à partir de ce seul exemple. Considérons un actif B qui donne droit à 600 quand la conjoncture est mauvaise et rien autrement. Quel est le prix en l absence d opportunité d arbitrage de cet actif? Quelles sont son espérance de rentabilité et sa prime de risque? En combinant le portefeuille de marché et l actif B, on obtient les mêmes flux futurs qu avec une obligation sans risque (1 400 dans un an). Tableau Prix de marché de l actif B Actif financier Prix de marché aujourd hui ( ) Conjoncture défavorable Flux dans un an ( ) Conjoncture favorable Portefeuille de marché Actif B? Obligation sans risque Le prix de marché de l obligation sans risque est de / 1,04 = Le prix de l actif B est donc égal à = 346 si la Loi du prix unique est respectée. Si la conjoncture économique est mauvaise, l actif B offre une rentabilité de ( ) / 346 = 73,4 %. Si la conjoncture est bonne, l actif B ne donne droit à rien ; sa rentabilité est donc de 100 %. L espérance de rentabilité de l actif B est ainsi de 0,5 73,4 + 0,5 ( 100) = 13,3 %. La prime de risque associée est égale à 13,3 % 4 % = 17,3 % ; c est-à-dire que l actif B offre, en moyenne, 17,3 % de moins à ses investisseurs que le taux d intérêt sans risque.