Chapitre 10 : utilisation graphique de pylab (Module contenant numpy et matplotlib.pyplot)

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1 Chapitre 10 : utilisation graphique de pylab (Module contenant numpy et matplotlib.pyplot) Table des matières 1 Premiers tracés Rappel : comment marche plot? Pour le tracé de fonctions : comment fabriquer le tableau des abscisses Effacement, gestion de plusieurs fenêtres : Commandes pour les axes, la couleur, le style Quelques commandes pour les axes Quelques commandes pour les couleurs et les styles Remarque générale sur les arguments de plot, et de beaucoup de fonctions Python : Deux tracés sur la même figure avec une légende Cas particuliers des suites, un plot à un argument! 4 3 Apprentissage des courbes paramétrées L exemple d un mouvement circulaire uniforme : Le même tracé en repère orthonormé Propriétés de symétries des courbes paramétrées Effet de la périodicité (commune) de t x(t) et t y(t) Cas d un décalage par périodicité Effet de la parité/imparité Exemple des courbes de Lissajous Introduction Les modules numpy et matplotlib qui nous allons utiliser sont regroupés dans un module appelé pylab. Ces modules visent à développer des outils de calculs numériques et d affichage graphique en Python, analogues à ceux fournis par les logiciels de références que sont Matlab et son avatar libre Scilab. Dans ce qui suit j utiliserai donc import pylab as pl. Le but du chapitre étant plutôt les tracés que l utilisation intensive des tableaux numpy, on rappellera simplement au fur et à mesure les notions nécessaires sur ces tableaux. 1 Premiers tracés 1.1 Rappel : comment marche plot? On a déjà vu en T.P. que plot s utilise avec la syntaxe : pl.plot(x,y) où x et y sont ou bien des listes (ou tuple) python, ou bien des tableaux numpy de même taille et qu à partir de ces données, plot trace la ligne brisée qui joint les point M I de coordonnées x[i],y[i] dans l ordre des i croissants. Ainsi : x=[0,1,2] y=[1,2,1] pl.plot(x,y) 1

2 1.2 Pour le tracé de fonctions : comment fabriquer le tableau des abscisses Admettons qu on veuille tracer le graphe de la fonction x x 2 sur [0, 1]. On va pour cela découper le segment [0, 1] en disons en 11 points espacés régulièrement autrement dit avec un pas p = 0.1 Plusieurs méthodes sont possibles : On peut bien sûr créer à la main une liste python. Comment? La commande linspace de numpy (incluse dans pylab) qui crée un array : L acronyme linspace est pour linear space. x=pl.linspace(0,1,11) D une manière générale, linspace(a,b,n) subdivise le segment [a, b] en n points régulièrement espacés, donc avec un pas (b a)/(n 1). La commande arange de numpy (incluse dans pylab) qui crée un array : Il s agit encore d un acronyme pour array range. Elle s utilise comme le range des listes sauf qu elle crée un array et permet des pas qui sont des flottants. Ainsi pl.arange(a,b,p) crée le tableau des a + kp jusqu au plus grand k tel que a + kp < b. Ainsi pour obtenir la même subdivision de [0, 1] on entrera : x=pl.arange(0,1.1,0.1) 2

3 Reste ensuite à définir le vecteur y : Les fonctions de numpy (ou pylab) opèrent directement sur les tableaux Ainsi à partir du tableau x (pas d une liste), on peut créer la liste y dont les entrées y[i] sont les x[i]**2 simplement via : y=x**2 Puis enfin faire plot(x,y). 1.3 Effacement, gestion de plusieurs fenêtres : Pour effacer le graphique précédent : pl.clf() # clf pour clear figure Pour afficher dans une autre fenêtre : pl.figure(1) # on crée une figure qu on appelle 1 pl.plot(x,x) pl.figure("ma jolie parabole") # on crée une figure qu on appelle... pl.plot(x,y) 1.4 Commandes pour les axes, la couleur, le style Reprenons à tire d exercice un autre exemple déjà vu : celui du sin sur [0, 2π]. Exercice : Comment faire ce tracé? Quelques commandes pour les axes Par défaut, le cadrage ne collera pas forcément à ce qu on voudrait. On peut déclarer pl.xlim(0,2*pl.pi) On peut donner faire afficher des étiquettes sur les axes : pl.xlabel(" temps t") pl.ylabel(" tension u(t)") Quelques commandes pour les couleurs et les styles Les huit couleurs de base : avec leur première lettre. Ainsi plot(x,y,"r--"). Pour des couleurs plus compliquée, on va définir color= " " dans plot, notamment pour : Les couleurs en RGB : même syntaxe qu en HTML : avec trois nombres en hexadécimal : exemple pl.plot(x,y,color= #eeee00 ) donnera la courbe en... 3

4 1.4.3 Remarque générale sur les arguments de plot, et de beaucoup de fonctions Python : Lorsque vous tapez plot vous voyez : Qu est-ce que cela signifie? Le premier *args signifie que le nombre d arguments de plot n est pas toujours le même. Ainsi, on a utilisé plot(x,y) avec deux arguments, et plot(x,y, r- ) avec trois arguments. On verra même plus tard qu on peut même ne donner qu un argument! Comment fabriquer soi-même des fonctions avec des *arg? Avec un * devant votre nom d argument. Dans ce cas, tous les arguments donnés entre virgule seront stocké dans un tuple, comme expliqué ici : def mafonction(*mesarguments): return mesarguments Le second kwargs signifie key word arguments : ce sont des arguments définis par un mot-clef. Comme color dans notre exemple. Là aussi, on va voir que plot peut en admettre beaucoup. 1.5 Deux tracés sur la même figure avec une légende x=pl.linspace(0,2*pl.pi,100) y1=pl.sin(x) y2=pl.cos(x) pl.clf() pl.plot(x,y1,"r",label="le sinus") pl.plot(x,y2,"b-",label="le cosinus") pl.legend() Avec le résultat : 2 Cas particuliers des suites, un plot à un argument! Les suites n u n sont bien sûr des fonctions particulières, dont la variable n est un entier. On peut bien sûr tracer les par exemple les 1000 premières valeurs de la suite (sin(n)) en faisant : Mais on peut faire la même chose en faisant simplement pl.plot(y) : 4

5 s il n y a qu un argument, plot prendra par défaut comme tableau des abscisses le tableaux des entiers successifs, à partir de 0, de même longueur que y. Ceci peut paraître une simple curiosité, mais cela peut vous jouer des tours parfois... si vous appliquer votre plot à certaines valeurs de retour d une fonction... Remarque : comment peut-on illustrer la densité de {sin(n), n N} dans [ 1, 1], en dessinant tous ces points sin(n) sur le segment [ 1, 1]? Voici ci-dessous le dessin pour seulement les 100 premières valeurs de n : la densité n est pas évidente, elle le devient pour 1000 : Un autre exemple : une suite géométrique Si on veut tracer les cinquante premières valeurs de (u n ) = (q n ) pour q = 0, 9, on peut bien sûr : (M1) définir la liste (ou le tableau) u à l aide d une boucle. (M2) utiliser le paradigme de numpy qui veut que les fonctions usuelles s appliquent à des tableaux. Ainsi si x et y sont deux tableaux, on peut fabriquer x**y qui est le tableau dont les entrées sont les x[i]**(y[i]). Ici pour notre suite on peut ansi définir : N=50 q=pl.ones(n) # tableau de N fois 1 q=-0.9*q # multiplication du tableau par un scalaire : donne un tableau constant de -0,9 valeurs=pl.arange(0,50,dtype=int) u=q**valeurs pl.plot(u) 3 Apprentissage des courbes paramétrées Définition : Tracer une courbe paramétrée plane est tracer l ensemble des points M(t) = (x(t), y(t)) où t x(t) et t y(t)) sont des fonctions quelconques. L essentiel : la variable t ne se voit pas sur la figure. On peut penser que c est le temps. 5

6 3.1 L exemple d un mouvement circulaire uniforme : x = cos(3t) Supposons que le mouvement d un mobile M(t) en fonction du temps t est défini par y = sin(3t) mouvement circulaire uniforme. Pour afficher la trajectoire avec plot : : t=pl.linspace(0,2*pl.pi,100) x=pl.cos(3*t) y=pl.sin(3*t) plot(x,y) Problème : on voit un ovale au lieu d un cercle, il nous faut encore améliorer la gestion des axes 3.2 Le même tracé en repère orthonormé Il suffit de rajouter pl.axis( equal ) Un enjeu pour les courbes paramétrées : savoir suivre l évolution du point mobile dans le temps. sur la trajectoire Pour cela, on peut : faire un tableau de variation donnant la monotonie des deux fonctions t x(t) et t y(t). Illustration sur le cas du cercle. On peut aussi marquer le vecteur vitesse, qui est le vecteur v (t) = (x (t), y (t)), et qui est tangent à la courbe, dirigé dans le sens des t croissants. 3.3 Propriétés de symétries des courbes paramétrées Effet de la périodicité (commune) de t x(t) et t y(t) Si x( ) et y( ) sont T périodiques et si on trace la trajectoire correspondant aux t [0, T ] alors : x(t) = a cos(t), Exemple des mouvement elliptiques : y(t) = b sin(t) Cas d un décalage par périodicité Si on a un T tel que pour tout t R, x(t + T ) = x(t) + α avec α fixé, et y(t + T ) = y(t) + β avec β fixé, alors à partir du tracé de la trajectoire pour t [0, T ], on obtiendra toute la courbe par Exemple de la cycloïde : x(t) = t sin(t), y(t) = 1 cos(t). Question : Que dire du vecteur vitesse du point sur la cycloïde au temps t = 2kπ avec k Z? Comment connaître alors la tangente à la courbe en ces points? 3.4 Effet de la parité/imparité Dans ce qui suit, on notera M(t) = (x(t), y(t)) le point courant au temps t. a) Si x et y sont paires et si on trace la trajectoire pour t 0 alors pour avoir le reste de la trajectoire, il suffit de? b) Si x et y sont impaires et si on trace la trajectoire pour t 0 alors pour avoir le reste de la trajectoire, il suffit de? 6

7 c) Si x est impaire et y est paire et si on trace la trajectoire pour t 0 alors pour avoir le reste de la trajectoire, il suffit de? d) Si y est impaire et x est paire et si on trace la trajectoire pour t 0 alors pour avoir le reste de la trajectoire, il suffit de? 3.5 Exemple des courbes de Lissajous x(t) = a sin(pt), On désigne ainsi une famille de courbes paramétrées contenant les courbes de la forme y(t) = b sin(qt + ϕ), où p et q sont des entiers et a, b, ϕ des réels. Question : d une manière générale quelle est, en fonction des entiers p et q, la valeur de T telle qu on ait parcouru une et une seule fois la trajectoire si t [0, T ]. Exercice : Tracer ces courbes pour (p, q) {(1, 2), (3, 2), (3, 4), (5, 4)}, a = b = 1 et ϕ = 0 sans répéter quatre fois les instructions (boucle). Suivre l évolution des points sur le tableau de variation double et expliquer les propriétés de symétries de chaque courbe. 7