Nouveaux programmes de première Probabilités et statistiques

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1 Nouveaux programmes de première Probabilités et statistiques I. tatistiques descriptives II. Probabilités - Variables aléatoires discrètes - Arbres - Loi géométrique tronquée - Loi binomiale III. Échantillonnage Ressources en ligne

2 I. tatistiques descriptives, analyse de données econde Première Objectif synthétiser,représenter une série statistique Objectif comparaison de séries statistiques Moyenne Variance, écart-type Médiane, quartiles Représentations graphiques : histogramme, nuage de points, courbe de fréquences cumulées Diagramme en boîte (sauf TI2D)

3 II. Probabilités II-1. De la seconde à la première econde Objectif modéliser une expérience aléatoire dans le cadre de l'équiprobabilité Première Objectif étudier un grand nombre d'expériences identiques et indépendantes Probabilité d'un événement en situation d'équiprobabilité p A B p A B = p A p B Variable aléatoire discrète Arbres pondérés pas de probabilités conditionnelles Arbres et tableaux Loi géométrique tronquée, loi binomiale

4 II-2. Variable aléatoire discrète spérance Démonstration (en ) : (ax+ b) = a(x)+b Loi d'une variable aléatoire discrète (/L et ) Variance, écart-type (en ) Démonstration : V(aX)= a² V(X) Lien avec les statistiques : Interpréter l espérance comme valeur moyenne dans le cas d un grand nombre de répétitions. (extrait doc. accompagnement, p. 6) Lancer d'un dé à 6 faces Numéro de la face 1 2, 3, 4 5, 6 Valeur de X p(x=xi) 1/6 3/6 2/6

5 II-3. Arbres pondérés, répétitions indépendantes Arbres Objectif : passer de l'arbre des issues à l'arbre pondéré (doc. accompagnement p. 8 à 11) Répétitions d'expériences indépendantes xemples : tirer une boule puis lancer un dé tirer une boule puis une carte Répétition d'expériences identiques et indépendantes Objectif : mettre en place la notion d'expériences identiques et indépendantes à plusieurs issues ; réinvestir les arbres pondérés xemple : on fait tourner plusieurs fois une roue divisée en secteurs de couleurs différentes

6 II-4.a) Loi géométrique tronquée (première ) 0 < p < 1 n entier non nul L'expérience de Bernoulli de paramètre p est répétée au plus n fois. 1-p p Le lièvre et la tortue font une course Pour savoir qui avance, on lance un dé : - si le résultat est différent de 6, la tortue avance d'une case ; - si le résultat est 6, le lièvre gagne. Qui a le plus de chances de gagner? t si on change le nombre de cases?

7 Nb cases p(t ort ue gagne) p(lièvre gagne) 1 5/6 0,83 1/6 0, /36 0,69 11/36 0, /216 soit 0,58 91/216 soit 0, /1296 0,48 671/1296 0, /7776 0,4 4651/7776 0,6 oit X la variable aléatoire définie par : - X = 0 si aucun succès n a été obtenu ; - pour 1 k n, X = k si le premier succès est obtenu à l étape k. p(x=0)=(1-p) n p(x=k)=(1-p) k-1 p

8 II-4.b) Applications de la loi géométrique tronquée uites géométriques - décroissance de la suite de terme général u k =p(1-p) k-1 - démontrer que la somme des p(x=k) vaut 1 Algorithme de simulation - comment modéliser un succès de probabilité p? - en effectuant des simulations de n tirages pour un p fixé, déterminer n de sorte que l'événement «zéro succès» devienne suffisamment rare. Dérivation, étude de fonction Utiliser la dérivée de f(x)=1+x+x²+...+x n pour exprimer l'espérance de X : X = 1 p 1 1 np 1 p n

9 II-5. Loi binomiale II-5.a) Définition X est le nombre de succès dans la répétition de n expériences de Bernoulli de paramètre p. Pour k entre 0 et n : p X =k = n k pk 1 p n k uggestions d'approche : - se limiter à n=4 pour découvrir la loi ; - calculer p(x=0) et p(x=n) ; - calculer p(x=1) et p(x=n-1) : compter les chemins comprenant l'unique succès / échec. i n est un entier naturel et si k est un entier compris entre 0 et n, on note et on lit «k parmi n» le nombre de chemins qui réalisent exactement k succès dans l arbre à n niveaux, associé à un schéma de Bernoulli. Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux. n k

10 II-5.b) Coefficients binomiaux k succès à choisir n n+1 Pas de factorielles! Combien de chemins à k+1 succès dans un arbre de taille n+1? Premier type de chemin : Il y a un succès à la fin. Dans les n niveaux précédents, il faut choisir k succès pour compléter. n 1 k 1 n k econd type : le chemin se finit par un échec. Les k+1 succès sont donc dans les n premières étapes du chemin. n k 1 k+1 succès à choisir Calcul pratique : calculatrice ou logiciel.

11 II-5.c) spérance, variance, écart-type Conjectures sur (X) et V(X) Linéarité en n (X) est linéaire en p V(X) est du second degré en p Conjecture sur (X) : toutes séries. V(X) : formule admise en 1ères et TI2D, hors programme en /L.

12 III. Échantillonnage III-1. De la seconde à la première econde Première Objectif faire une analyse critique d'un résultat sensibiliser les élèves à la fluctuation Objectif avoir une attitude critique vis à vis des résultats obtenus Notion d'échantillon Intervalle de fluctuation d'une fréquence au seuil de 95% Réalisation d'une simulation Utilisation de la loi binomiale pour une prise de décision à partir d'une fréquence : exploitation de l'intervalle de fluctuation à un seuil donné pour rejeter ou non une hypothèse.

13 III-2. Un exemple n France : 105 garçons pour 100 filles à la naissance n Chine : 120 garçons pour 100 filles à la naissance Peut-on deviner la nationalité de chacun des deux médecins ci-contre?

14 III-3. Traitement en seconde France Probabilité d'un garçon à la naissance : p= ,51 0,2 p 0,8 Échantillon de taille : n= Intervalle de fluctuation au seuil de 95% : [ ; ] [0,412;0,612] Chine Probabilité d'un garçon à la naissance : p= ,55 0,2 p 0,8 Échantillon de taille : n= Intervalle de fluctuation au seuil de 95% : [ ; ] [0,445;0,645] Cas de la maternité Fréquence de garçons observée : f=0,44 Au seuil de 95% : non étonnant pour la France / étonnant pour la Chine.

15 III-4. Traitement en première avec la loi binomiale Hypothèse 44 garçons pour 100 naissance n'est pas étonnant, tant en France qu'en Chine. Objectif accepter ou non cette hypothèse, au seuil de 95%. Définition des variables aléatoires France X = nombre de garçons sur 100 naissances, avec une probabilité de 105/205 Chine X = nombre de garçons sur 100 naissances, avec une probabilité de 120/220 Définition oit un échantillon de taille n, et X la variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n,p). oit F=X/n la fréquence de réalisation de X. L intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de F est l intervalle I=[a/n;b/n] avec : - a est le plus petit entier tel que : - b est le plus petit entier tel que : P X a 0,025 P X b 0,975

16 France a=41 b=61 Intervalle de fluctuation au seuil de 95% pour l'échantillon de taille 100 : [0,41;0,61] Échantillon testé : 0,44 appartient à [0,41;0,61] La situation de cette maternité n'est pas étonnante pour la France, au seuil de 95%.

17 Chine a=45 b=64 Intervalle de fluctuation au seuil de 95% pour l'échantillon de taille 100 : [0,45;0,64] Échantillon testé : 0,44 n'appartient pas à [0,45;0,64] La situation de cette maternité est étonnante pour la Chine, au seuil de 95%, ou au risque de 5%.

18 III-5. Traitement en terminale avec la loi normale Conditions : X n suit B(n,p) ; alors Y n = X n np np 1 p n pratique pour : n 30, np 5,n 1 p 5, Y n remplace Y. converge vers Y, de loi N(0,1). Au seuil de 95% pour la loi normale : P 1,96 Y n 1,96 0,95 Correspond à : P X n n [ p 1,96 p 1 p n ; p 1,96 p 1 p n ] 0,95 Dans notre cas : la fréquence d'apparition d'un garçon X 100 /100 appartient à l'intervalle : France : [0,414 ; 0,610] Chine : [0,448 ; 0,643]

19 Ressources en ligne 1. Documents ressources sur duscol 2. Les documents de la formation sur le ite académique de mathématiques 3. Des commentaires sur le programme par Claudine chwartz, statisticienne :