Algorithmes pour l optimisation globale de problèmes numériques multi-objectif

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1 LABORATOIRE D INFORMATIQUE DE NANTES-ATLANTIQUE UMR 6241 ÉCOLE DOCTORALE STIM, N. 503 «Sciences et technologies de l information et des mathématiques» Sujet de thèse pour 2011 Algorithmes pour l optimisation globale de problèmes numériques multi-objectif Résumé. De nombreuses situations nécessitent d optimiser plusieurs objectifs simultanément. Lorsque ces objectifs sont contradictoires, il n existe pas de solution unique au problème mais un ensemble de solutions efficaces. Les méthodes ensemblistes basées sur l analyse par intervalles permettent de garantir l encadrement des solutions efficaces, même dans le cas de problèmes non convexes. L état de l art actuel montre néanmoins de fortes lacunes, en particulier sur l utilisation des conditions du premier ordre pour les problèmes multi-objectifs (que nous savons être primordiales dans le cadre de l optimisation mono-objectif), l utilisation de recherche locale pour la majoration du minimum et sur la comparaison des méthodes ensemblistes avec les méthodes issues de la programmation mathématique multi-objectif. Le sujet proposé consiste à combler ces lacunes. L objectif est de définir un algorithme ensembliste prenant en compte les conditions du premier ordre et utilisant une recherche locale pour accélérer la résolution et garantir la présence de solutions efficaces, et d autre part de faire le pont entre les méthodes ensemblistes et celles habituellement utilisées en programmation mathématique multi-objectif. Mots clés. Optimisation multiobjectif, analyse par intervalles. Directeur de thèse NOM, Prénom : GRANVILLIERS, Laurent Équipe d accueil : OPTI Courriel : Laurent.Granvilliers (at) univ-nantes.fr Téléphone : (+33/0) Co-encadrant NOM, Prénom : ALEXANDRE, Goldsztejn

2 Introduction Contexte et problématique Les problèmes d optimisation multi-objectif consistent à trouver des solutions qui optimisent plusieurs objectifs qui peuvent être contradictoires (par exemple la qualité et le coût de fabrication). Les problèmes d optimisation sont en général soit combinatoires, soit numériques, soit mixtes. Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéresserons aux problèmes d optimisation numérique multi-objectif, en particulier non convexes [Mie98, Deb01]. Ces problèmes d optimisation s écrivent de la manière suivante: minimize (f 1,..., f m )(x) subject to (g 1,..., g p )(x) 0, (h 1,..., h q )(x) = 0 Les solutions x qui satisfont les contraintes sont appelées des solutions admissibles. Lorsque les différents objectifs à optimiser sont contradictoires, il existe des solutions admissibles qui ne sont pas comparables. Par exemple, si f 1 (x) = 1 et f 2 (x) = 0, alors que f 1 (y) = 0 et f 2 (y) = 1, alors ni x ni y ne peut être considérée meilleure que l autre puisque chacune est meilleure sur l un des objectifs, et moins bonne sur l autre. Par contre, si f 1 (x) = 1 et f 2 (x) = 0, alors que f 1 (y) = 0 and f 2 (y) = 1, alors clairement y est meilleure que x puisque meilleure par rapport aux deux objectifs. Dans ce cas, on dit que y domine x. La résolution d un problème multi-objectif consistera donc à approcher l ensemble des solutions admissibles qui ne sont dominées par aucune autre solution admissible, ces solutions étant appelées les solutions efficaces ou solutions de Pareto. Cette situation est illustrée par la figure suivante qui montre l approximation d un front de Pareto pour un problème à deux objectifs, obtenue par une métaheuristique du type algorithme génétique. Les méthodes ensemblistes permettent de calculer un encadrement rigoureux des optimums. En particuliers, plusieurs algorithmes ensemblistes dédiés aux problèmes multiobjectif ont été proposés [BH03, KW08, SPJ + 09, KW10] ces dernières années, ayant pour but de construire un encadrement rigoureux de l ensemble des solutions efficaces. Aucune des méthodes citées n entre dans le paradigme branch and bound, ni n exploite de 2

3 manière efficace les conditions du premier ordre, alors que ces deux points ont prouvé leur importance dans le contexte de l optimisation mono-objectif. Le but de cette thèse est donc de proposer un algorithme qui étende les travaux de l équipe [GG10b] au contexte multi-objectif, et utilisant de manière efficace les conditions du premier ordre et des techniques d optimisation locale. Problèmes et opportunités Le problème abordé dans cette thèse est la construction d un encadrement rigoureux de l ensemble des solutions efficaces d un problème d optimisation numérique multi-objectif, en particulier dans le cas non-convexe. La mise au point d un algorithme de branch and bound dédié à ce problème pose plusieurs difficultés qui seront attaquées dans cette thèse pour arriver finalement à un algorithme efficace qui sera intégré dans le logiciel Realpaver. Les deux verrous principaux à l extension de l algorithme branch and bound au cas multi-objectif sont: L utilisation des conditions du premier ordre et des méthodes d optimisation locale pour améliorer la borne supérieure du minimum sont deux points clef du succès des méthodes ensemblistes dédiées à l optimisation mono-objectif. Ces deux points clefs ne s étendent pas facilement au cas multi-objectif. Dans le contexte monoobjectif, les conditions du premier ordre forment un système d équations bien contraint (c est à dire avec autant d équations que de variables) qui est habituellement résolu avec des méthodes venant de la programmation par contraintes. Dans le cadre multi-objectif, les conditions du premier ordre forment un système sous contraint (avec plus de variables que d équations) qui possède donc une infinité de solutions et est plus difficile à résoudre. Dans le cadre mono-objectif, une borne supérieure sur le minimum local est obtenue en évaluant la fonction de coût sur des solutions admissibles. Utiliser une recherche locale pour trouver de bonnes solutions admissible est important pour assurer une convergence rapide de l algorithme. Ces deux étapes sont difficiles à généraliser au cas multi-objectif: d une part le calcul d une solution admissible ne donne plus lieu à une simple majoration du minimum, mais à une contrainte sur l ensemble des solutions efficaces. D autre part, l utilisation d une recherche locale devra prendre en compte le caractère multi-objectif du problème. L équipe OPTI du LINA est très bien placée pour attaquer ces problèmes: L algorithme de branch and bound proposé dans [GG10b] dans le cadre de l optimisation monoobjectif fait partie des plus efficaces aujourd hui. L équipe est en avant garde pour la résolution de problèmes sous-contraints grâce aux travaux [GG10a] 1. Elle compte également des spécialistes en programmation mathématique multi-objectif [EG00] 2. 1 Prix de l Association for Constraint Programming, best research paper at CP Article le plus cité de la revue OR Spektrum en

4 Travail demandé Objectifs Ce sujet de thèse a les objectifs suivants. Théorique: 1- Utiliser les méthodes de contraintes proposées dans [GG10a] pour résoudre les conditions du premier ordre. 2- Etudier la possibilité d utiliser une recherche locale multi-objectif pour le calcul de points admissibles de bonne qualité. Implémentation: implémenter les méthodes proposées dans Realpaver. Comparer le solveur ainsi obtenu avec les algorithmes ensemblistes de l état de l art. Décloisement: comparer la méthode ainsi obtenue avec les méthodes approchées et exactes proposées dans le cadre de la programmation mathématique multi-objectif [RW05]. Cette comparaison se fera sur le plan théorique et au moyen de benchmarks, et devrait permettre d enrichir les méthodes proposées? Plan de travail prévisionnel de l étude Année Tâches 1 Etat de l art: Rédaction complète de l état de l art sur les méthodes ensemblistes; étude préliminaire de l état de l art en programmation mathématique multi-objectif. Prise en main de la théorie et du logiciel Realpaver: Etude et implémentation des condition du premier ordre et d une recherche locale dans le contexte mono-objectif. Benchmarking sur problèmes mono-objectif. 2 Finalisation de l état de l art en programmation mathématique multiobjectif. Extension des méthodes mise au point en première année au cas multi-objectif, benchmarking par rapport aux méthodes ensemblistes de l état de l art. 3 Benchmarking par rapport aux méthodes de la communauté multiobjectif. Rédaction de la thèse. L étude de l état de l art revêt deux facettes: d une part l étude des méthodes ensemblistes dédiée à l optimisation multi-objectif, d autre part l étude des méthodes typiquement mises en oeuvre dans la communauté optimisation multi-objectif. Cette étude devra permettre de mettre en perspective les méthodes ensemblistes, ses atouts et ses points faibles par rapport aux autres méthodes. Les approches à mettre en oeuvre présentent de nombreuses difficultés qu il convient de décomposer. En particulier, l utilisation efficace des conditions du premier ordre et l utilisation d une recherche locale pour les problèmes mono-objectif ne sont pas encore mises au point pour des problèmes sous contraintes. Commencer par traiter les 4

5 problèmes mono-objectif pendant la première année va permettre au doctorant de se familiariser avec la théorie et avec le logiciel realpaver. Candidats Compétences Le candidat devra être familier avec l optimisation multi-objectif (dominance, métaheuristiques) et les méthodes ensemblistes pour l optimisation (analyse par intervalles, contraintes numériques). La thèse comporte une partie théorique qui nécessite un goût prononcé pour les mathématiques, et une partie implémentation et expérimentation qui nécessitera en particulier une bonne connaissance du C++. 5

6 Bibliography [BH03] Vincent Barichard and Jin-Kao Hao. A population and interval constraint propagation algorithm. In Proceedings of the 2nd international conference on Evolutionary multi-criterion optimization, EMO 03, pages Springer-Verlag, [Deb01] K. Deb. Multi-Objective Optimization Using Evolutionary Algorithms. Wiley, [EG00] M. Ehrgott and X. Gandibleux. A Survey and Annotated Bibliography of Multiobjective Combinatorial Optimization. OR Spektrum, 22(4): , [GG10a] A. Goldsztejn and L. Granvilliers. A New Framework for Sharp and Efficient Resolution of NCSP with Manifolds of Solutions. Constraints, 15(2): , [GG10b] L. Granviliers and A. Goldsztejn. A branch-and-bound algorithm for unconstrained global optimization. In SCAN 2010, [KW08] [KW10] B. J. Kubica and A. Wozniak. Interval methods for computing the pareto-front of a multicriterial problem. In PPAM 2007, volume 4967/2008 of LNCS, pages Springer, B. J. Kubica and A. Wozniak. Using the second-order information in pareto-set computations of a multi-criteria problem. In PARA 2010, [Mie98] K.M. Miettinen. Nonlinear Multiobjective Optimization. Kluwer, [RW05] S. Ruzika and M. M. Wiecek. Approximation methods in multiobjective programming. Journal of Optimization Theory and Applications, 126: , [SPJ + 09] G.L. Soares, R.O. Parreiras, L. Jaulin, J.A. Vasconcelos, and C.A. Maia. Interval robust multi-objective algorithm. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 71(12):e1818 e1825,