Ch. N4 : Calcul littéral

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1 4 e A - programme 11 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 1 sur 8 Ch. N4 : Calcul littéral 1 SIMPLIFICATION D UNE EXPRESSION LITTÉRALE ex. 1 à 3 PROPRIÉTÉ 1 Pour simplifier l'écriture d'une expression littérale, on peut supprimer le symbole devant une lettre ou une parenthèse. Pour tout nombre a, on peut écrire : a a = a (qui se lit «a au carré») ; a a a = a 3 (qui se lit «a au cube»). Remarque 1 : On ne peut pas supprimer le signe entre deux nombres. Exemple 1 : Simplifie l'expression suivante : A = 5 x + 7 ( 4) (3 x ). A = 5 x + 7 ( 4) (3 x ) On repère tous les signes. On supprime les signes A = 5x + 7 ( 4)(3x ) placés devant une lettre ou une parenthèse. A = 5x 8(3x ) On calcule si possible. Exercice n 34 page 85 Exprime en fonction de x les expressions suivantes (x étant non nul) : a) l'opposé de x ; c) l'opposé du carré de x ; b) l'inverse de x ; d) le carré de l'opposé de x ; x 1 x x ( x) 1 x e) l'opposé de l'inverse de x ; f) le carré de l'inverse de x. 1 x Exercice n 1 page 8 Simplifie en supprimant le signe lorsque cela est possible : B = 3 x ( 5 x) + x ( 7y) C = t t + 5t ( 4t) D = ( 4 a + 5) (3 7 a) B = 3 x ( 5 x) + x ( 7y) B = 3x( 5x) + x( 7y) B = 15x 14xy C = t t + 5t ( 4t) C = t t + 5t ( 4t) C = t 3 t D = ( 4 a + 5) (3 7 a) D = (8a + 5)(3 7a) Exercice n page 8 Replace dans chacune des expressions tous les signes sous-entendus : E = 3x +5x 1 F = 4y(1 3y) G = (z 1)(5 z) E = 3x +5x 1 F = 4y(1 3y) E = 3 x x +5 x 1 F = 4 y (1 3 y) G = (z 1)(5 z) G = ( z 1) (5 z) Exercice n 3 page 8 Supprime les parenthèses dans les expressions suivantes : B = x (4xy 5y 4x) ; C = (a + 5b 4) (a b + 1) ; D = ( x 5) + (5 x). B = x (4xy 5y 4x) B = x + ( 4xy) + (+5y) + (+4x) B = x 4xy + 5y + 4x C = (a + 5b 4) (a b + 1) C = a + 5b 4 + ( a ) + (+b ) + ( 1) C = a + 5b 4 a + b 1 D = ( x 5) + (5 x) D = (+x) + (+5) + (+5) + ( x) D = x x Exercice n 35 page 86 Si on note z l'âge en années d'alexis aujourd'hui, comment note-t-on : a) l'âge qu'il aura dans deux ans? b) le double de son âge? d) la moitié de l'âge qu'il aura dans cinq ans? e) son année de naissance? c) le triple de l'âge qu'il avait il y a quatre ans? z + z 3(z 4) z + 5 z

2 4 e A - programme 11 mathématiques ch.n4 cahier élève Page sur 8 Exercice n 36 page 86 Relie chaque phrase de la première colonne avec l'expression qui lui correspond où y est le prix d'achat de l'article en euros : L'article est revendu cinq fois plus cher. y + 5 L'article est revendu 5 de plus. y Le prix est augmenté de 1 %. 3y Le prix est augmenté de %. 5y L'article est revendu cinq fois plus cher. y + 5 L'article est revendu 5 de plus. y Le prix est augmenté de 1 %. 3y Le prix est augmenté de %. 5y Exercice n 46 page 87 On désigne par k un nombre entier. Marc, Vincent, Akim et Jules se partagent un sac de billes. Marc prend k billes. Vincent en reçoit 4 de moins que Marc. Akim a deux fois plus de billes que Marc et 8 de moins que Jules. a) Calcule le nombre de billes des autres garçons si Marc en prend b) Exprime, en fonction de k, le nombre de billes des autres garçons k k + 8 c) En utilisant les expressions de la question b), déduis-en, en fonction de k, le nombre total de billes. Réduis l'expression trouvée. k + k 4 + k + k + 8 = 6k + 4 d) En utilisant l'expression trouvée au c), calcule le nombre total de billes si Marc en prend 7. k = 7 6k + 4 = = 46 PROPRIÉTÉ L'opposé d'une somme algébrique est égal à la somme des opposés de chacun de ses termes. Exemple : Quel est l'opposé de la somme algébrique a + b ab? L'opposé de a + b ab est (a + b ab) = a + ( b) + ab = a b + ab. Remarque : Cette propriété permet de supprimer des parenthèses précédées d'un signe dans une expression. Exemple 3 : Supprime les parenthèses dans l'expression B = 3x ( x 5xy + 4) : B = 3x ( x 5xy + 4) B = 3x + (+x ) + (+5xy) + ( 4) On additionne les opposés. B = 3x + x + 5xy 4 On simplifie l'expression. Exercice n 1 page 83 Supprime les parenthèses puis réduis les expressions suivantes : A = 5 + (x + 3) C = (x 4) 6 B = 5x (3 4x) D = (4x + ) + ( 6x ) A = 5 + (x + 3) C = (x 4) 6 A = 5 + x + 3 C = x 4 6 A = x + (5 + 3) C = x 1 A = x + 8 B = 5x (3 4x) B = 5x + ( 3) + (4x) B = 5x 3 + 4x B = (5 + 4)x 3 B = 9x 3 D = (4x + ) + ( 6x ) D = 4x + 6x D = (4 6)x + D = x k E = ( 3x 1) + (x 3) F = 8x (5x + ) + (3 4x) E = ( 3x 1) + (x 3) E = (+3x) + (+1) + x 3 E = 3x x 3 E = (3 + 1)x + (1 3) E = 4x F = 8x (5x + ) + (3 4x) F = 8x + ( 5x) + ( ) + 3 4x F = 8x 5x + 3 4x F = (8 5 4)x + ( + 3)

3 4 e A - programme 11 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 3 sur 8 F = x + 1 Exercice n page 83 Supprime les parenthèses puis réduis les expressions suivantes : A = (x + 3) + (4x 5) B = 6 t (4t 8) C = (8a + 3) 4a D = (3y + 7) + ( 5y + 3) A = (x + 3) + (4x 5) C = (8a + 3) 4a A = x x 5 C = ( 8a) + ( 3) 4a A = (1 + 4)x + (3 5) C = 8a 3 4a A = 5x C = ( 8 4)a 3 B = 6 t (4t 8) B = 6 t + ( 4t) + (+8) B = 6 t 4t + 8 B = ( 4)t + (6 + 8) B = 6t + 14 C = 1a 3 D = (3y + 7) + ( 5y + 3) D = 3y + 7 5y + 3 D = (3 5)y + (7 + 3) D = y + 1 E = 5z 6 (7 z) + 3z F = (3 4x) ( x + 8) E = 5z 6 (7 z) + 3z E = 5z 6 + ( 7) + (+z) + 3z E = 5z z + 3z E = ( )z + ( 6 7) E = 1z 13 F = (3 4x) ( x + 8) F = 3 4x + (+x) + ( 8) F = 3 4x + x 8 F = ( 4 + )x + (3 8) F = x 5 Exercice n 4 page 83 Supprime les parenthèses puis réduis les expressions suivantes : A = 3x (3 x) B = 1 3 x + + (5x 3) C = 3 x x D = 1 + x x 3 A = 3x + 1 (3 x) B = 1 x + + (5x 3) C = x x D = 1 + x x 3 A = 3x x B = 1 3 x + 5x 3 C = 3 x x D = 1 + x x + 3 A= (3 + )x B = 1 + 5x + ( 3) C = x D = ( 1)x A = 5x B = x 5 C = x D = x + 6 A = 5x 11 4 DÉVELOPPEMENT B = 14 3 x 5 C = 1 3 x 1.1 La distributivité simple ex. 4 et 5 PROPRIÉTÉ 3 Pour tous nombres relatifs k, a et b : k (a + b) = k a + k b k (a b) = k a k b Exemple 4 : Développe l'expression suivante : C = 3,5(x ). C = 3,5 (x ) On replace le signe dans l'expression. C = ( 3,5) x ( 3,5) On distribue le facteur 3,5 aux termes x et. C = 3,5x + 7 On calcule et on simplifie l'expression. Exercice n 4 page 8 Complète les développements : B = x(3 + x) = x + x = + ; C = 3a(4b ) = 15a ; D = 5x(3y ) = xy x. B = x(3 + x) C = 3a(4b 5a ) D = 5x(3y 4 ) B = x 3 + x x C = 1ab 15a D = 15 xy x B = 3x + x Exercice n 5 page 8 Développe les expressions suivantes : E = 3(a 6b + 9) ; F = t(5t 4) ; G = x (7x 8). E = 3(a 6b + 9) E = 3 a 3 6b E = 3a 18b + 7 F = t (5t 4) F = t 5t ( t) 4 F = 1t + 8t G = x (7x 8) G = x 7x x 8 G = 7x 3 8x

4 4 e A - programme 11 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 4 sur 8 Exercice n 13 page 84 Développe les expressions suivantes : A = 3(x + 6) B = 5(6 y) A = 3(x + 6) A = 3 x A = 3x + 18 B = 5(6 y) B = y B = 3 5y C = 7(z 3) D = 8( 5 3y) C = 7(z 3) C = 7 z ( 7) 3 C = 14z + 1 D = 8( 5 3y) D = 8 ( 5) ( 8) 3y D = 4 + 4y E = 6(4x 9) F = 1( 5 + 3z) E = 6(4x 9) E = 6 4x 6 9 E = 4x 54 F = 1( 5 + 3z) F = 1 ( 5) + ( 1) 3z F = 6 36z Exercice n 15 page 84 Développe les expressions suivantes : A = x(x + 4) B = 7y( 9y) C = y(5 y) D = (9 3t) 4t A = x(x + 4) A = x x + x 4 A = x + 4x B = 7y( 9y) B = 7y + 7y ( 9y) B = 14y 63y C = z(5 y) C = y 5 ( y) y C = 1z + y D = (9 3t) 4t D = 9 4t 3t 4t D = 36t 1t. La double distributivité ex. 6 PROPRIÉTÉ 4 Pour tous nombres relatifs a, b, c et d : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. d ad Exemple 5 : Développe et réduis l'expression suivante : D = (3x + 1)(y 4). D = (3x + 1)[y + ( 4)] On transforme la soustraction. D = 3x y + 3x ( 4) + 1 y + 1 ( 4) On applique la double distributivité. D = 3xy 1x + y 4 On calcule les produits et on simplifie. Exercice n 6 page 8 Développe les expressions suivantes : B = (x + 7)(4y 5) ; C = (x + 3) ; D = (a + b)(x y) ; E = B = (x + 7)(4y 5) B = x 4y x y 7 5 B = 4xy 5x + 8y 35 C = (x + 3) C = (x + 3)(x + 3) C = x + x x C = x + 3x + 3x + 9 C = x + 6x + 9 x + 5 z + 3. D = (a + b)(x y) D = ax ay + bx by E = x + 5 z + 3 E = x z + x z E = xz + 3x 4 + 1z + 15 Exercice n page 84 Développe et réduis les expressions suivantes : A = (x + 4)(x + 3) B = (y + 3)(y + 8) C = (3z + 4)(5 6z) D = ( 7t + 8)(3 5t) A = (x + 4)(x + 3) A = x x + x x A = x + 3x + 4x + 1 A = x + (3 + 4)x + 1 A = x + 7x + 1 B = (y + 3)(y + 8) B = y y + y y B = y + 8y + 6y + 4 B = y + (8 + 6)y + 4 B = y + 14y + 4 C = (3z + 4)(5 6z) C = 3z 5 + 3z ( 6z) ( 6z) C = 15z 18z + 4z C = 18z + (15 4)z + C = 18z 9z + D = ( 7t + 8)(3 5t) D = 7t 3 + ( 7t) ( 5t) ( 5t) D = 1t + 35t + 4 4t D = 35t + ( 1 4)t + 4 D = 35t 61t + 4 c a ac b bc bd

5 4 e A - programme 11 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 5 sur 8 Exercice n 1 page 84 Développe et réduis les expressions suivantes : A = (7 3x)(9x 3) B = ( 3y)(4 8y) C = (4a + 6)( 3 5a) D = (5z 7)(8z + ) A = (7 3x)(9x 3) A=7 9x + 7 ( 3) + ( 3x) 9x + ( 3x) ( 3) A = 63x 1 7x + 9x A = 7x + (63 + 9)x 1 A = 7x + 7x 1 B = ( 3y)(4 8y) B= 4 + ( )( 8y) + ( 3y)4 + ( 3y)( 8y) B = y 1y + 4y B = 4y + (16 1)y 8 B = 4y + 4y 8 C = (4a + 6)( 3 5a) C= 4a ( 3) + 4a ( 5a) + 6 ( 3) + 6 ( 5a) C = 1a a 18 3a C = a + ( 1 3)a 18 C = a 4a 18 D = (5z 7)(8z + ) D = 5z 8z + 5z + ( 7) 8z + ( 7) D = 4z + 1z 56z 14 D = 4z + (1 56)z 14 D = 4z 46z 14 Exercice n 4 page 84 Extrait du brevet On considère les expressions : A = (x + )(x 3) + (x 3) et B = (x 3). a) Développer et réduire les deux expressions. c) Calculer B pour x = 1,5. b) Calculer A pour x = 3. A = (x + )(x 3) + (x 3) A = x x + x ( 3) + x + ( 3) + x 3 A = x 3x + x 6 + x 3 A = x + ( )x + ( 6 3) A = x 9 x = 3 A = 3 9 = 9 9 = x = 1,5 B = ( 1,5 3) = (3 3) = = B = (x 3) B = (x 3)(x 3) B = x x + x ( 3) + ( 3) x + ( 3) ( 3) B = 4x 6x 6x + 9 B = 4x + ( 6 6)x + 9 B = 4x 1x + 9 Exercice n 6 page 85 Parmi les expressions suivantes, retrouve celles qui sont égales et justifie ta réponse : A = 16 4x B = (4 x) C = (4 x)(4 + x) D = 4x 16x + 16 B = (4 x) B = (4 x)(4 x) B = ( x) + ( x) 4 + ( x) B = 16 8x 8x + 4x B = 4x + ( 8 8)x + 16 B = 4x 16x + 16 B = D A = C 3 FACTORISATION ET RÉDUCTION C = (4 x)(4 + x) C = x + ( x) 4 + ( x) x C = x 8x 4x C = 16 + (8 8)x 4x C = 16 4x 3.1 Factorisation ex. 7 et 8 PROPRIÉTÉ 5 Pour tous nombres relatifs k, a et b : k a + k b = k (a + b) k a k b = k (a b) Exemple 6 : Factorise les expressions suivantes : E = 14a 7b puis F = x + 3x. Cas où le facteur commun est un nombre : E = 7 a 7 b On met en évidence le facteur commun : 7. E = 7 (a b) On met en facteur le nombre 7 puis on regroupe les facteurs restants. Cas où le facteur commun est une lettre : F = ( x) x + 3 x On replace les signes sous-entendus dans l'expression et on repère le facteur commun : x. F = x( x + 3) On met en facteur x puis on regroupe les facteurs restants. Exercice n 7 page 8 Fais apparaître le facteur commun. C = 3x + 5xy ; D = 5ab 1a + 3a ; E = 4x(5 + 3x) + 7(5 + 3x).

6 4 e A - programme 11 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 6 sur 8 C = 3x + 5xy D = 5ab 1a + 3a E = 4x(5 + 3x) + 7(5 + 3x) C = 3 x x + 5 x y D = 5a 5b 5a a + 5a 6 E = 4x (5 + 3x) + 7 (5 + 3x) Exercice n 8 page 8 Factorise les expressions suivantes. F = 6x 5x ; G = 7uv + 1u ; H = (3x ) 9x(3x ). F = 6x 5x F = 6 x x 5x F = x(6 5x) G = 7uv + 1u G = 7u v + 7u 3u G = 7u(v + 3u) H = (3x ) 9x(3x ) H = (3x ) 9x (3x ) H = (3x )( 9x) Exercice n 5 page 83 Quelles sont les expressions factorisées? a) 4x + 8x + 4 b) 3(x 5) c) x + (3x + ) d) 3x + 6 e) 4x(x + ) f) 3x (x 4) b e 3(x 5) = (3) (x 5) 4x(x + ) = (4x) (x + ) Exercice n 6 page 83 Factorise les expressions suivantes : A = 16x + 4 B = 9 7x C = 1 8x D = 6x 18 E = 9x + 6 F = 4 14x A = 16x + 4 A = 4 4x A = 4(4x + 1) B = 9 7x B = x B = 9(1 8x) C = 1 8x C = x C = 4(3 x) D = 6x 18 D = 6 x + ( 6) 3 D = 6(x + 3) E = 9x + 6 E = 3 3x + 3 E = 3(3x + ) F = 4 14x F = x F = 14(3 x) Exercice n 7 page 83 Factorise les expressions suivantes : A = 54 18a C = 36z + 63 B = x D = 5b + 5 A = 54 18a A = a A = 18(3 a) C = 9( 4z + 7) B = x B = 7 ( 7) + 7 3x B = 7( 7 + 3x) C = 36z + 63 C = 9 ( 4z) D = 5b + 5 D = 5 b D = 5(b + 5) E = 3x + x F = 8t + t E = 3x + x E = x 3x + x 1 E = (3x + 1) x(3x + 1) F = 8t + t F = t 4t + t 1 F = t (4t + 1) G = x + 3x H = 3y + 9y G = x + 3x G = x ( 1) + x 3x G = x( 1 + 3x) H = 3y + 9y H = 3y 1 + 3y 3 H = 3y (1 + 3) H = 3y 4 H = 1y 3.1 Réduction d une somme algébrique ex. 9 DÉFINITION 1 Réduire une somme algébrique, c'est l'écrire avec le moins de termes possibles. Exemple 7 : Réduis l'expression : G = 5x + (3x 4) (x 3) + x. G = 5x + 3x 4 x x On supprime les parenthèses. G = 5x x + 3x + x On regroupe les termes. G = (5 )x + (3 + )x 1 On factorise les termes en x et en x. G = 3x + 5x 1 On simplifie. Exemple 8 : Développe et réduis l'expression : H = 7x(x 6) + (3x )(4x + 5). H = 7x (x 6) + (3x )(4x + 5) H = 7x 4x + 1x + 15x 8x 1 H = 7x + 1x 4x + 15x 8x 1 H = (7 + 1)x + ( )x 1 H = 19x 35x 1 On développe. On supprime les parenthèses. On regroupe les termes en x et en x². On simplifie en ordonnant.

7 4 e A - programme 11 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 7 sur 8 Exercice n 9 page 8 Réduis les expressions suivantes : E = 3a (6 + 7a ) + 4a 5 ; F = 4x(3x 6) (x 1)(3 + 5x). E = 3a (6 + 7a ) + 4a 5 E = 3a 6 7a + 4a 5 E = 7a + 7a 11 F = 4x(3x 6) (x 1)(3 + 5x) F = 4x 3x 4x 6 (x 3 + x 5x x) F = 1x 4x (6x + 1x 3 5x) F = 1x 4x 6x 1x x F = x 5x + 3 Exercice n 9 page 83 Réduis, si possible, les expressions suivantes : a) x + x b) x x c) x + x d) 3x + e) x x f) x + x x + x = (1 + 1)x = x x x = x x + x = ( + 1)x = 3x 3x + x x = x x + x g) x h) 1 + x x = 1 + x i) + x j) 5x 6x + x = x 5x 6x = 3x k) 4 x 5 l) x x + x 4 x 5 = x x x + x = x + x Exercice n 1 page 83 Factorise par x puis réduis les expressions suivantes : a) 5x + 3x b) 3x 8x c) 4x + 15x d) 9x 6x 5x + 3x = (5 + 3)x = 8x 3x 8x = (3 8)x = 5x 4x + 15x = ( )x = 11x 9x 6x = ( 9 6)x = 4 CALCULS POUR UNE VALEUR (SUBSTITUTION) ex. 1 et 11 PROPRIÉTÉ 6 Une expression littérale peut avoir plusieurs formes d'écritures, entre autres : une forme réduite ; une forme factorisée ; une forme développée ; une forme initiale Pour calculer la valeur numérique d'une expression, on substitue à l'inconnue sa valeur numérique. Remarques 3 : Mais avant la substitution, il est judicieux de choisir la forme la plus simple pour effectuer les calculs. Pour calculer la valeur numérique d'une expression littérale, il faut parfois faire apparaître les signes sousentendus. Exemple 9 : Calculer J = (x + 3)(3x 1) + 5(x + 3) pour x =. La forme réduite de J est : 3x + 13x +1. La forme factorisée de J est : (x + 3)(3x + 4). À l'aide de la forme initiale : J = (x + 3)(3x 1) + 5(x + 3) J = ( + 3)(3 1) + 5 ( + 3) J = J = 5 La forme réduite : J = 3x + 13x + 1 J = J = J = 5 opérations 3 opérations 4 opérations 3 opérations 15x La forme factorisée : J = (x + 3)(3x + 4) J = ( + 3)(3 + 4) J = opération J = 5 On constate que le calcul de J pour x = est plus simple avec la forme factorisée. Exercice n 1 page 8 On considère l'expression B écrite sous trois formes différentes : La forme initiale : La forme réduite : B = (x 5) + 8x 4 B = x x 15 3 opérations La forme factorisée : B = (x 5)(x + 3)

8 4 e A - programme 11 mathématiques ch.n4 cahier élève Page 8 sur 8 a) Calcule l'expression B en utilisant les trois formes proposées d'abord pour x = 5, puis pour x = et enfin pour x = 3. b) Parmi les trois écritures de l'expression B, quelle est celle qui permet d'arriver au résultat en faisant le moins d'opérations pour x = 5? Pour x =? Et pour x = 3? B = (x 5) + 8x 4 B = x x 15 B = (x 5)(x + 3) x = 5 (5 5) = = = = (5 5)(5 + 3) = 8 = x = ( 5) = = 15 x = 3 ( 3 5) + 8 ( 3) 4 = = 15 = 15 ( 3) ( 3) 15 = = ( 5)( + 3) = ( 5) 3 = 15 ( 3 5)( 3 + 3) = 8 = x = 5 x = 3 x = Exercice n 11 page 8 On considère l'expression C = 5x + x(1 x) + x. a) Développe l'expression C. b) Factorise l'expression C trouvée au a). c) Donne la forme permettant de trouver le résultat en faisant le moins d'opérations, d'abord pour x = puis pour x = 6 et enfin pour x = 4. C = 5x + x(1 x) + x C = 5x + x 1 x x + x C = 5x + x x + x C = x + 6x C = x + 6x C = x ( x) + x 6 C = x( x + 6) x x = x + 6x + 6 = x = 6 x( x + 6) 6( 6 + 6) = x = 4 x + 6x ( 4) + 6 ( 4) = 16 4 = 4