Les fractions. Activité 1 : Découverte

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1 Les fractions Activité 1 : Découverte Dans chaque cas, détermine le nombre de morceaux de pizza que tu as et le nombre de morceaux qu il faut, au total, pour avoir une pizza entière. Écris, ensuite, la fraction correspondante à la pizza que tu as. Nombre de morceaux de pizza que tu as Nombre de morceaux pour former une pizza entière Fraction eere Nombre de morceaux de pizza que tu as Nombre de morceaux pour former une pizza entière Fraction Nombre de morceaux de pizza que tu as Nombre de morceaux pour former une pizza entière Fraction 1

2 Définition Une fraction est un partage signifie qu il faut partager l unité en parties égales et en prendre parties. Colorie les de la figure ci-contre. Une fraction est un rapport entre la partie coloriée de la figure et la totalité de la figure. Une fraction décrit un quotient signifie 2 : 3 Une fraction est un opérateur de 60 =. 60 = 40 Vocabulaire Dans la fraction, a est le. et b est le Existence d une fraction Dans la fraction, a représente un entier et b représente un entier 2

3 Exercices a) Dans les triangles rectangles isocèles ci-dessous, quelle est la fraction de la surface grisée? b) Quelle fraction représente les surfaces grisées par rapport au grand carré? 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 3

4 Activité 2 : La simplification Découverte Lors d une discussion en mathématique, Adeline m affirme que si on simplifie la fraction, on obtient tandis que Pierre m affirme que si on la simplifie on obtient. Qui a raison? Pourquoi? Mais voilà qu Isabelle nous dit : «Lorsque je simplifie la fraction fraction est une fraction irréductible!». A-t-elle raison? Pourquoi?, j obtiens. De plus, cette Qu est-ce qu une fraction irréductible? Pour simplifier une fraction, il faut : Une fraction irréductible est une fraction qui. 4

5 Exercices a) Parmi les fractions suivantes, entoure celles qui sont des fractions irréductibles b) Rend les fractions suivantes irréductibles 1) = 5) = 2) = 6) = 3) = 7) = 4) = 8) = c) Simplifie les fractions suivantes (a, b et c sont des nombres premiers) 1) =. 5) =. 2) =. 6) =. 3) =. 7) =. 4) =. 8) = 5

6 Activité 3 : Transformer des nombres décimaux en fractions et des fractions en nombres décimaux a) Transforme les nombres décimaux suivants en fractions. N oublie pas de rendre les fractions irréductibles 1) 0,05 =.. 2) 0,625 = 3) 3,2 =. 4) 0,025 =.. 5) 4,5 = Pour convertir un nombre décimaux en fraction, il faut :.. b) Transforme les fractions suivantes en nombres décimaux 1) =. 4) =. 2) = 5) =.. 3) = 6) = Pour convertir une fraction en nombre décimal, il faut :.... Voici quelques fractions utiles à retenir : = 0,5 = 0,1 = 0,04 = 0,25 = 0,01 = 0,001 = 0,2 = 0,125 = 0, = 0,05 = 0,02 = 0,008 6

7 Activité 4 : Lequel sera le plus grand? Découverte Les récipients 1, 2 et 3 contiennent la même quantité de liquide. Si tu dois transvaser, dans le récipient de droite, la plus grande quantité de liquide, laquelle de ces manipulations devras-tu effectuer? Verser les du liquide n 1? Verser les du liquide n 2? Verser les du liquide n 3? Explique ton raisonnement Pour réduire des fractions au même dénominateur, il faut :. Exercice Entoure avec une même couleur les fractions représentant le même nombre : 2 7

8 Activité 5 : Les parties d une figure Découverte Le jeu des polygones est un jeu de cartes représentant des polygones dont une partie est colorée. Le vainqueur est celui qui tire la carte dont la partie colorée est la plus importante. Dans le tirage suivant, pour chaque carte tirée, écris la fraction correspondant à la partie colorée. Compare les deux fractions en notant, entre celles-ci, le signe =, < ou >. Carte tirée par Maria Carte tirée par Bernard Comparaison des deux fractions 8

9 Comparaison de fractions : Si deux fractions ont le même dénominateur, alors la plus petite est celle qui a. Si deux fractions ont le même numérateur, alors la plus petite est celle qui a Si les fractions sont quelconques, on écrit des fractions égales ayant le même ou le même Exercice Complète par < ou > 1). 4). 7). 10). 2). 5). 8). 11). 3). 6). 9). 12). 9

10 Activité 6 : Classons! a) Classe les fractions et les nombres décimaux par ordre croissant 1) ; ; ; ; 2) ; 2,5 ; ; 3,5 ; 3) ; ; ; 4) ; 0,4 ; ; 0,3 ; ; 0,02 b) Classe les fractions et les nombres décimaux par ordre décroissant 1) ; ; ; ; ; 2) 3,14 ; ; 10,16 ; 3 ; ; 3,2 3) ; ; ; ; ; 4) 0,6 ; ; 0,25 ;, ; 1,52 10

11 Activité 7 : Les droites et les fractions a) Sur chacune des lattes ci-dessous, l unité a été partagée en parties égales. 1) Quelle fraction d une unité représente la plus petite graduation de la latte A? 2) Quelle fraction d une unité représente la plus petite graduation de la latte B? 3) Sur chaque latte, indique en-dessous de chaque flèche la fraction qui correspond à cet emplacement. 4) Sur la latte appropriée, place les nombres suivants : ; ; 3,2 ; ; ; b) Place sur la droite graduée les nombres suivants : ; ; ; ; ; ; c) Tu sais que : abs A = abs D = abs G = 1,3 abs B = 0,53 abs E = 0,7 abs H = 1,251 abs C = 0,45 abs F = 0,79 abs I = 1,27 Sans mesurer, nomme les différents points de la droite graduée. 11

12 d) Voici sept points équidistants appartenant à la droite d Complète le tableau ci-dessous Repère Abs C Abs F Abs D Abs A (A ; G) (A ; E) (A ; D) (E ; A) (E ; B) (G ; B) 12

13 Activité 8 : Signe d une fraction Découverte Voici une série de fractions. Détermine les fractions positives et les fractions négatives Les fractions positives sont :. Les fractions négatives sont : Une fraction est positive si. Une fraction est négative si Remarques : La fraction positive s écrit La fraction négative s écrit.. ou Attention! Nous rendrons TOUJOURS le dénominateur positif Exercices Écris les fractions suivantes de la manière la plus simple possible 1) =. 6) = 11) =... 2) = 7) =. 12) = 3) =. 8) =. 13) = 4) = 9) =. 14) = 5) = 10) =. 15) =. 13

14 Activité 9 : Les fractions égales a) Entoure avec une même couleur les fractions représentant le même nombre 2 b) Dans la série suivante, retrouve les fractions qui désignent le même nombre. Note tes résultats sous forme d égalités successives. ; ; ; ; ; c) Complète par ou 1). 4). 7). 10). 2). 5). 8). 11). 3). 6). 9). 12). 14

15 Activité 10 : Qui va gagner? Découverte À l issue d un tournoi de volley-ball, les cinq premières équipes ont obtenu les résultats suivants : Équipes Points Sets gagnés Sets perdus A B C D E Le règlement précise : «Lorsque des équipes ont le même nombre de points, pour les départager, on calcule le rapport entre le nombre de sets gagnés et le nombre de sets perdus : le plus grand quotient obtient le meilleur classement.» Comment peux-tu expliquer les remarques des trois élèves suivants? Arnaud : «Il est facile, sans faire de calcul, d établir le classement pour les équipes A, C et E.» Justification :. Barbara : «Moi, sans calculatrice, je peux classer les équipes B et E.» Justification :. Cédric : «Moi aussi, sans faire de calcul, je peux classer les équipes C et D.» Justification :. En utilisant les affirmations des trois élèves, établis le classement final. 15

16 Les règles que l on vient d utiliser sont valables pour des fractions positives. Mais est-ce qu elles sont aussi valables pour des fractions négatives? Complète les exercices ci-dessous par < ou > 1). 2). 3). 4). 5). 6). Comparaison de fractions Si deux fractions ont des signes différents, la plus petite est Si deux fractions ont le même dénominateur, alors la plus petite est celle qui a. Si deux fractions ont le même numérateur, alors la plus petite est celle qui a Si les fractions sont quelconques, on écrit des fractions égales ayant le même ou le même Exercice Complete par <, > ou = 1). 6). 11). 2). 7). 12). 3). 8). 13). 4). 9). 14). 5). 10). 15). 16

17 Activité 11 : Classons! a) Classe les fractions et les nombres décimaux par ordre croissant 1) ; ; ; ; 2) ; 2,5 ; ; -3,5 ; 3) ; ; ; 4) ; 0,4 ; ; -0,3 ; ; 0,02 b) Classe les fractions et les nombres décimaux par ordre décroissant 1) ; ; ; ; ; 2) 3,14 ; ; -10,16 ; 3 ; ; 3,2 3) ; ; ; ; ; 4) -0,6 ; ; 0,25 ;, ; -1,52 17

18 Activité 12 : Les droites et les fractions a) Voici dans le désordre les abscisses des points A, B, C, D, E et F :,,,, et Retrouve le point correspondant à chaque abscisse abs. = abs = abs. = abs. = abs. = abs. = b) Détermine l abscisse des points de la droite graduée suivante abs A =.. abs B =.. abs C =.. abs D =.. abs E =.. abs F =.. abs G =.. abs H =.. abs I =.. abs J =.. abs K =.. abs L =.. Note les abscisses négatives : Note les abscisses positives :... Note deux abscisses opposées : 18

19 Activité 13 : Encadrons! Découverte Écris la fraction sous forme d un nombre décimal : =.. En utilisant les différentes repères des droites ci-dessous, place, le plus exactement possible, le point X d abscisse. Complète par < ou > } } } } Les nombres 3 ; 3,1 ; 3,14 ; 3,142 sont Les nombres 4 ; 3,2 ; 3,15 ; 3,143 sont 19

20 Exercice a) Complète les encadrements des nombres a et b. a = 3, b = 1, à 1 près. < a <.. < b <. à 0,1 près. < a <.. < b <. à 0,01 près. < a <.. < b <. à 0,001 près. < a <.. < b <. à 0,0001 près. < a <.. < b <. b) Encadre les fractions suivantes par leurs valeurs approchées à 0,1 près. < <.. < <. à 1 près. < <.. < <. à 0,001 près. < <.. < <. à 0,01 près. < <.. < <. 20

21 c) Complète Détermine la valeur approchée par défaut de à 0,001 près :.... Détermine la valeur approchée par excès de à 0,01 près :. Détermine la valeur approchée par défaut de à 0,001 près :.... Détermine la valeur approchée par défaut de à 0,0001 près :... Détermine la valeur approchée par excès de à 0,01 près :... Détermine la valeur approchée par excès de à 0,1 près : d) Si tu sais que = 2,142857, encadre les fractions suivantes par leurs valeurs approchées. à l unité près < <.. < <. à 0,01 près. < <.. < < à 0,001 près. < <. < <. 21

22 Activité 14 : Découvrons a) Complète les égalités suivantes Complète les phrases suivantes. Une fraction est nulle si Une fraction est égale à 1 si. Une fraction est égale à -1 si Une fraction est égale à son numérateur si b) Détermine l entier que représente le nombre a. = 1 a =.. = 15 a =. = 1 a =. = -19 a =. = 0 a =.. = -1 a =. c) Que penses-tu de la fraction?. À quelle condition une fraction existe-t-elle? d) Dans chacune des fractions suivantes, x désigne n importe quel nombre entier sauf un ; lequel? 22

23 Activité 15 : Les symétriques a) Trouve le nombre qui convient 3 +. = = = 0 +. = = = 1. 4 = 0.. = = 0.. = 1.. = = 1.. = 1.. = = 0 En t aidant de l exercice ci-dessus, réponds aux questions suivantes. Quand une somme de deux termes est-elle nulle? Quand un produit de deux facteurs est-il égal à 1? Quand un produit de deux facteurs est-il nul? 23

24 Nombres opposés Nombres inverses Définition L opposé d une fraction est égal au produit de ce nombre par.. L opposé de est : L inverse d une fraction non nulle est une fraction obtenue en.. le. et le... =. L inverse de est Notation L opposé de a se note. L inverse de a se note. Signe Deux fractions opposées ont Deux fractions inverses ont. Propriété La somme de deux nombres opposés est a + (-a) =.. Le produit de deux nombres inverses est égale à. a. (a -1 ) = =.. Particularité Tous les nombres ont un opposé Tous les nombres ont un inverse Exercice Complete les phrases suivantes L opposé de est... car.. L inverse de est. car.. L opposé de L inverse de est. car.. est. car... L inverse de est. car.. L inverse de 0,3 est. car.. L opposé de est. car.. L inverse de -0,5 est. car.. 24

25 Activité 16 : L addition et la soustraction de fraction et de nombres décimaux a) Calcule les fractions suivantes (N oublie pas de rendre les fractions irréductibles) 1) = 10) 2 + =.. 2) =... 11) =.. 3) = 12) =.. 4) 1 - =. 13) =.... 5) =.. 14) =... 6) =.. 15) =. 7) =.. 16) =. 8) -3 + =. 17) = 9) =. 18) =.. Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut : 1) 2) 3) 4) 5) 25

26 b) Calcule en transformant les nombres en fractions puis transforme la réponse finale en nombre décimal 1) 1,3 + 0,9 =... 2) 0,3 + 0,27 =. 3) 0,7 + 1,324 = 4) 32,73 + 4,1 =... 5) 2, =.. 6) 25,43 + 7,89 =... 7) 5,7 + 24,1 =... 8) 5, ,41 =... 9) 25,43 + 7,89 =. 10) 66,75 + 2,35 = c) Calcule en rendant les fractions irréductibles 1) =. 2) = 3) = 4) -0,5 + = 5) = 6) = 7) = 26

27 Activité 17 : La multiplication Découverte Colorie en vert de la figure ci-dessous Colorie en vert de la figure ci-dessous Maintenant, colorie en rouge de la figure que tu as coloriée en vert au-dessus sur la figure en-dessous Maintenant, colorie en rouge de la figure que tu as coloriée en vert au-dessus sur la figure en-dessous Donc, tu as colorié. de la figure de base Comment peut-on trouver cette fraction à l aide des fractions et? Donc, tu as colorié. de la figure de base Comment peut-on trouver cette fraction à l aide des fractions et?

28 Pour multiplier des fractions, il faut : 1) 2) 3) 4) Exercices a) Calcule les fractions suivantes (N oublie pas de rendre les fractions irréductibles) 1) =... 5) =.... 2) =. 3) = ) =.. 6) =.. 7) = 8) = b) Calcule en rendant les fractions irréductibles 1) =.... 2) =. 3) =. 4) 0,5. 2,3. 2 =.. 5) 2,1. 1,25. = ) 0,8. 12,5. = 28

29 c) Calcule après avoir transformé les puissances en produits de facteurs 1) ( ) =. 3) ( ) = 2) ( ) = 4) ( ) = Pour élever une fraction à une puissance, il faut : Si a est un nombre entier, b un nombre entier non nul et n un naturel, alors ( a b )n = d) Calcule 1) ( ) = 6) = 2) ( ) =. 7) = 3) ( ) = 8) ( ) = 4) ( ) = 9) ( ) = 5) ( ) = 10) ( ) = 29

30 Activité 18 : La division Découverte Pour chaque question, note le calcul et la réponse a) Combien de cruches de 2 litres d eau peut-on remplir avec un bidon de 12 litres? Calcul à effectuer : Réponse : b) Combien de cruches de 3 litres d eau peut-on remplir avec un bidon de 12 litres? Calcul à effectuer : Réponse : c) Combien de cruches de litres d eau peut-on remplir avec un bidon de 12 litres? Calcul à effectuer : Réponse : d) Combien de cruches de litres d eau peut-on remplir avec un bidon de 12 litres? Calcul à effectuer : Réponse : e) Combien de cruches de litres d eau peut-on remplir avec un bidon de 12 litres? Calcul à effectuer : Réponse : Pour diviser une fraction par une fraction (non nulle), il faut : a b c d a b c d 30

31 Exercice Calcule (N oublie pas de rendre les fractions irréductibles) 1) = 7) = 2) = 8) =.. 3) = 9) = 4) = 10) =.. 5) 0,25 :,5 = 11) = 6) = 12) = 31

32 Activité 19 : Exercices a) Transforme les phrases suivantes en calcul et donne la réponse 1) Le double de 15 : 2) Le triple d un quart : 3) Les 12% de 500 : 4) Les 7% de 300 :. 5) Les de 15 : 6) Les de :. 7) Le de : 8) Le de : 9) Les de : 10) Les de : b) Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Marque une croix dans la case correspondante et corrige lorsque c est faux V F 1 Le numérateur d une fraction irréductible n est jamais pair 2 Le tiers d un nombre est supérieur au quart de ce nombre 3 est le quotient de 3 par Le dénominateur d une fraction ne peut jamais être nul 6 0,625 et représentent le même nombre 32

33 Activité 20 : Quelques problèmes! 1) Dans une classe, les trois quarts des élèves consultent quotidiennement l ordinateur familial, les deux tiers des élèves jouent quotidiennement sur une console de jeux vidéo et les sept huitièmes des élèves regardent quotidiennement la télévision. a) Range ces trois activités par ordre de préférence des élèves de cette classe b) Sachant qu il y a 24 élèves dans cette classe, combien sont-ils dans chaque catégorie? 2) Pour goûter, maman a placé sur la table deux tartes de même grandeur. Les convives ont mangé les de la première et les de la seconde. Apres le repas, maman regroupe les morceaux restants sur une même assiette. Quelle fraction de tarte a-t-elle ainsi reconstituée? 3) À l Athénée, il y a 90 élèves. Parmi ceux-ci, 90 viennent à pied, 180 à vélo, 135 à moto, 270 se font accompagner en voiture et les autres prennent le bus. Quelle fraction du nombre total d élèves représente chacun des cinq groupes cités? 33

34 4) La maman de Paul vient de faire une pizza. «Je veux le tiers de la moitié de cette pizza», dit Paul. «Moi, j en veux la moitié du tiers», dit son copain Clause. Qui est le plus gourmand? 5) Dans une serre, il y a 800 plantes parmi lesquelles 600 plantes à fleurs réparties de la manière suivante : 240 rosiers, 150 tulipes, 200 géraniums et des orchidées. a) Quelle fraction du nombre de plantes représente le nombre de plantes à fleurs?. b) Quelle fraction du nombre de plantes à fleurs représente le nombre : - De rosiers? - De tulipes?.. - De géraniums?. - D orchidées?.. 6) Dans l école de Pierre, 30% des professeurs font du jogging, jouent au football, jouent au tennis et font de la photo. Dans quelle activité y a-t-il le plus de professeurs?. 7) Dans une classe de 2ème année, on a relevé les renseignements suivants : des élèves jouent au football, des élèves jouent au basket et est le sport le plus pratiqué? Le moins pratiqué? des élèves jouent au tennis quel. 34

35 Activité 21 : Exercices de synthèse a) Applique les priorités des opérations pour calculer. (N oublie pas de donner une fraction irréductible comme réponse) 1) ( ) = 2) =. 3) =.. 4) ( ) = 5) = b) Sachant que a =, b = et c = 0,75. Calcule la valeur numérique des opérations suivantes. N oublie pas de donner une fraction irréductible comme réponse. 1) a. b. c =. 2) a + c = 3) b c =. 4) a = c) Parmi les cinq expressions de chaque ligne, une n est pas égale aux quatre autres. Laquelle? entoure-là 1 32 : 0,5 64 : 1 3,2 : : , , , , , ,4 2, ,02 35

36 d) Écris les calculs puis effectue-les 1) Les deux tiers de 195 : 2) Le tiers de la moitié de 294 : 3) Les cinq septièmes de 4942 : 4) Le quart du dixième de 254 : 5) Les trois quarts de la moitié de 488 : e) Complète 1) de d une heure = minutes 2) de de 1800 km =.. km 3) de de 100 =.. 36

37 Résous les exercices suivants sur une feuille a) Rends irréductibles les fractions ci-dessous (Les lettres représentent des entiers et les dénominateurs sont non nuls) 1) =.. 4) =.. 2) =.. 5) =.. 3) =.. 6) =.. b) Rends irréductibles les fractions suivantes après avoir décomposé les puissances en produits de facteurs égaux (Les lettres représentent des entiers et les dénominateurs sont non nuls) 1) =.. 3) =.. 2) =.. 4) =.. c) Rends, si possibles, les fractions suivantes irréductibles (Les lettres représentent des entiers et les dénominateurs sont non nuls) 1) =.. 7) =.. 2) =.. 8) =.. 3) =.. 9) =.. 4) =.. 10) =.. 5) =.. 11) =.. 6) =.. 12) =.. 37

38 d) Calcule 1) =.. 4) =.. 2) =.. 5) =.. 3) =.. 6) =.. e) Calcule en respectant les règles de priorité des opérations 1) =.. 5) 0,75. (1 0,5) =.. 2) ( ) =.. 3) =.. 6) ( ) ( ) =.. 7) (( ) ) ( ) = 4) ( ) ( ) =. 38