3) Observables indépendantes, Ensemble Complet d Observables qui Commutent. Le produit des incertitudes sur les mesures de A et B dans l état sera :

Transcription

1 Opérateur moment cinétique (3D) en kg m2s-1 = Js Par analogie, l opérateur quantique aura 3 composantes définies par :

2 3) Observables indépendantes, Ensemble Complet d Observables qui Commutent Lorsque Les variables sont indépendantes Les variables sont conjuguées Le produit des incertitudes sur les mesures de A et B dans l état sera : Relation d Heisenberg généralisée.

3 Exemple : Calcul de l incertitude position / quantité de mouvement.

4 Lorsque deux ou plusieurs observables sont indépendantes, il est possible de trouver une base de fonctions propres commune a ces opérateurs. Si cette base commune est unique, on dit que ces opérateurs forment un ensemble complet d observables qui commutent (ECOC). Par exemple, si je possède des dés quantiques de deux couleurs différentes, je peux mesurer le numéro sur la face supérieur et la couleur du dé. Ces deux observables possèdent chacun leurs propres fonctions propres que l on utilise pour former une base complète : Mesure du numéro Valeur fonction 1 face 1 2 face 2 3 face 3 4 face 4 5 face 5 6 face 6 Mesure de la couleur Valeur fonction Rouge dé rouge Bleu dé bleu ECOC Valeur fonction 1 rouge face 1 dé rouge 1 bleu face 1 dé bleu 2 rouge face 2 dé rouge 2 bleu face 2 dé bleu 3 rouge face 3 dé rouge 3 bleu face 3 dé bleu 4 rouge face 4 dé rouge 4 bleu face 4 dé bleu 5 rouge face 5 dé rouge 5 bleu face 5 dé bleu 6 rouge face 6 dé rouge 6 bleu face 6 dé bleu

5 Chapitre 4 : Méthodes de résolution. Problème 1 : Quelle est l ensemble de toutes les valeurs que je puisse mesurer pour une observable  définie pour un système donné? Remarque : cette question ne dépend pas de l état, du système. On peut se demander par exemple quelles sont les énergies possibles pour un atome d hydrogène (réponse En=-13,6/n 2 ) sans avoir défini dans quelle orbitale se trouve l électron et quel est son spin.

6 Problème 2 : Quelle est la probabilité de mesurer une des valeurs mesurables d une observable  définie pour un système donné, lorsque le système est dans un état? Réponse : il faut exprimer comme une combinaison linéaire des fonctions propres de Â. Le module au carré des coefficients est cette probabilité. Dans la représentation de Dirac, c est une opération de projection d un vecteur sur des vecteurs de base. Remarque : Le résultat dépend de! Il faut d abord résoudre le problème 1 pour Â!

7 L algèbre linéaire se prête très bien à la résolution de ces deux problèmes. Dans la base des u i > le ket > est représenté par ses composantes c i Le ket est représenté par le vecteur colonne des coefficients Dans l espace dual, *, le bra associé au ket précédent, dans la base des bras <u i s écrit : Le bra est représenté par le vecteur ligne des coefficients

8 VOUS DEVEZ ABSOLUMENT SAVOIR DIAGONALISER UNE MATRICE. En faisant court, si la matrice A est exprimée dans une base orthonormée : 1) Les valeurs propres, sont les solutions de : det(a - 1 ) = 0 2) On trouve les fonctions propres en résolvant le système d équations pour chaque valeur de.

9 Problème 1 Si  est une observable, les valeurs propres de la matrice doivent être réelles, les maths nous disent que la matrice doit dans ce cas être hermitique c est à dire qu elle doit être identique à sa transposée conjuguée (aussi appelée adjointe). Par exemple : est hermitique

10 Problème 2

11 Exemple : espace 2D

12 Expression de dans la base des fonctions propres de  :

13 La procédure décrite pour résoudre les problèmes n est utilisable «à la main» que pour des sytèmes simples : - espace de Hilbert de dimension faible pour que la diagonalisation soit facile. - éléments de la matrice A pas trop difficiles a calculer. Si ce n est pas le cas : - il faut passer par des algorithmes numériques et faire travailler les ordinateurs. - il faut simplifier les problèmes pour revenir à des cas simple : - élimination des états peu probables de l espace de Hilbert. - modélisation pour simplifier l expression des opérateurs. C'est un fermier qui a une poule. Malheureusement, et pour une raison inconnue, cette poule ne pond pas d'oeufs. Le fermier fait alors appel à un scientifique. Le scientifique examine les poules, et se lance dans de vastes calculs. Il donne son verdict au fermier : "J'ai trouvé la solution. Mais malheureusement elle ne fonctionne qu'avec des poules sphériques et dans le vide." Dr Leonard Hofstadter Big Bang Theory S01E09

14 Lien entre l opérateur de projection et le changement de base : si alors

15 donc C est la relation de fermeture d une base.

16 Dégénérescence des valeurs propres : Il peut arriver que plusieurs fonctions propres soient associées à la même valeur propre. On dit alors que la valeur est dégénérée.

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18 Exemple : la monnaie (qu)antique Tétradrachme d'argent Tête d'athéna avec des feuilles d'olivier sur le casque Revers: chouette, rameau d'olivier, croissant de lune Vers avant JC

19 L espace des états pour l observable «face visible» est composée de deux états propres : Face, noté par le ket f > Pile, noté par le ket p > La fonction d onde décrivant la pièce est : > = f > + p > Avec =1 peut être différent de car les calculs de probabilités n étaient pas encore très connus à l époque, et la pièce est très mal équilibrée.

20 L opérateur suivant permet de «retourner» la pièce : En effet : Sont effet sur la fonction d onde est moins clair! En fait, cet opérateur permute les coefficients (et les probabilités) de chaque face.

21 L opérateur du tricheur : donne toujours le résultat «pile» lorsque l on mesure la face visible : La combinaison de A et B donne :

22 L exemple de la monnaie n est pas très physique, mais il existe beaucoup de systèmes simples à 2 états. Spin de l électron Polarisation de la lumière