PHYSIQUE DES ONDES EXERCICES

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1 PHYSIQUE DES ONDES EXERCICES 1 PO11 : Echelle de perroquet On considère une chaîne infinie de pendules de torsion (constitués de 2 asses accrochées au etréités d une tige qu on supposera de asse nulle et de longueur 2l) couplés par un fil de constante de torsion C. Note : le oent du couple de rappel eercé par un fil de constante de torsion C sur un pendule vaut : " = #C$, si θ est l angle dont a tourné le pendule par rapport à sa position fil de torsion d équilibre. Au repos, les angles de torsion sont tous nuls. Hors équilibre, on appelle θ k l angle dont a tourné le k ièe pendule. 1 ) Déteriner l équation différentielle vérifiée par θ k. 2 ) En faisant l approiation des ilieu continus, on pourra poser θ k = θ(z,t). Montrer que l équation différentielle vérifiée par θ(z,t) vérifie une équation de d Alebert. 3 ) De quelle fore sont les solutions générales de cette équation? 4 ) On suppose que les deu etréités de l échelle sont fies. Montrer qu il est possible de trouver des solutions à cette équation de la fore θ(z,t) = f(z)g(t). Déteriner les fonctions f et g qui conviennent et faire apparaître les odes propres de l échelle. z a L etréité basse peut être ecitée à différentes fréquences réglables à l aide d un petit oteur. Lors de anipulations avec l échelle de perroquet dont l etréité supérieure est bloquée, on trouve les résultats suivants : 2 fuseau 1/2 pour 15 hz ; 3 fuseau 1/2 pour 20 Hz ; 4 fuseau 1/2 pour 26 Hz. 5 ) Montrer que ces résultats sont cohérents entre eu 6 ) Quelles auraient les fréquences des preiers odes propres si l etréité supérieure de l échelle avait été laissée libre? l

2 PO1 2 Réfleion et transission d une onde dans une corde tendue Une corde, tendue par une tension horizontale F, s étend de - à +. Elle se copose en fait de deu dei-cordes, de asses linéiques µ 1 et µ 2, s étendant respectiveent de - à 0 et de 0 à +. Etudier le coporteent d une onde sinusoïdale provenant de -. PO1 3 Réfleion et transission d une onde dans une chaîne d atoes On considère la chaîne linéaire illiitée représentée sur la figure ci-dessous, coposée d'atoes identiques de asse. A l'équilibre, les atoes, disposés suivant un ae O, sont équidistants d une longueur a au repos; les déplaceents des atoes, petits, sont désignés, à l instant t, en valeur algébrique, et pour l'atoe initialeent au repos à l abscisse par : X(,t). -a +a X(-a,t) X(,t) X(+a,t) déplaceents par rapport à l équilibre On adet que chaque atoe n'interagit qu'avec ses deu plus proches voisins auquels il est lié élastiqueent: il est souis de la part de ces atoes à une force de rappel proportionnelle au variations de longueur des liaisons correspondantes. On désigne par α la constante de proportionnalité (α > 0). 1 - Déteriner l équation au dérivées partielles vérifiée par X(,t) en supposant a très faible devant. 2 - On cherche des solutions de cette équation correspondant, quand elles eistent, à des ondes écaniques longitudinales de pulsation ω, caractérisées par: X(,t) = X ep j("t # k) avec k réel Déteriner la relation entre k et ω. 3 - On considère une chaîne d oscillateurs unidiensionnelle (α,, a) s étendant de - à = 0, identique à la précédente. De = 0 à +, on retrouve une chaîne analogue, ais de caractéristiques différentes : ( β, M, a), les deu chaînes étant reliées coe l indique la figure ci-dessous : M M M M " " " " =0 Une onde sinusoïdale de pulsation ω se propage le long de la chaîne, provenant de - : X i (, t) = X 0i ep j("t # k). Etudier son coporteent quand elle arrive en = 0. On déterinera r et t les cœfficients de réfleion et de transission de l onde en = On considère une chaîne d oscillateurs unidiensionnelle (α,, a) s étendant de - à +, identique à la précédente. En = 0 se trouve cette fois une ipureté de asse M.... "... =0 Une onde sinusoïdale de pulsation ω se propage le long de la chaîne, provenant de -. Mêe question que la précédente.

3 PO1 4 Ligne ferée sur une ipédance quelconque Dans une ligne électrique s étendant de = 0 à = d, odélisée par une suite continue d oscillateurs électriques (capacité linéïque C l et inductance linéïque L l ), on étudie la propagation d une onde de courant sinusoïdale d epression i i (, t) = I i ep j(ωt - k). i(,t) L l d +d i(+d,t) V(,t) C l d V(+d,t) i(,t) i(+d,t) 1 ) Retrouver l équation de propagation vérifiée par i i (, t) et V i (,t). Quelle est la relation entre l onde de courant et l onde de tension incidente? Déteriner la relation entre k et ω et l epression de l onde tension V i (, t) associée. On introduira Z c = L l. C l 2 ) On considère une deuièe onde de courant se propageant en sens inverse, de la fore i r (, t ) = I r ep j(ωt + k). Déteriner l onde de tension associée. La deuièe onde est en fait une onde «réfléchie» due à la réfleion de l onde «incidente» à l etréité de la ligne, à l abscisse d. A cette abscisse, la ligne est en effet ferée sur un dipôle R, L, C série dont l ipédance sera notée Z(d). 3 ) Déteriner en fonction de Z(d), Z c et de d le rapport : r = I r I i 4 ) En déduire l'ipédance raenée à l entrée de la ligne : Z(0) = V(0,t) i(0,t) au superpositions des ondes aller et retour) sur l intensité totale., rapport de la tension totale (liée 5 ) La ligne est alientée par une source de tension de fe Uep(jωt). Montrer qu on peut alors coplèteent déteriner i(, t) et V(, t). 6 ) A quelle condition peut-on annuler l onde réfléchie? Obtenir une onde stationnaire? PO1 5 Superposition d ondes acoustiques dans un tuyau sonore Ipédance raenée. Dans un tuyau cylindrique sonore de section S, repli d'un fluide caractérisé par le coefficient χ S et les valeurs P 0 et ρ 0 de la pression et de la asse voluique au repos, on étudie la propagation d'une onde acoustique plane sinusoïdale, définie par l'élongation coplee : y i (, t) = a i ep j(ωt - k). 1) Déteriner la relation entre k et ω, les epressions de la surpression p i (, t) et de la vitesse v i (, t) et l ipédance acoustique associée. 2) On considère une seconde onde plane se propageant en sens inverse, de la fore y r (, t) = a r ep j(ωt + k). Déteriner la surpression p r et la vitesse v r associées. 3) L'onde "négative" est en fait une onde retour due à la réfleion de l'onde "positive" sur le fond du tuyau à l abscisse d. Ce fond est foré d'une ebrane élastique schéatisée par un piston de asse, souis, en plus des forces de pression, à une force de rappel -qy (d, t) et une force de frotteent fluide - f dy. De l'autre côté de la dt ebrane s'eerce la pression P 0. Déteriner alors l'ipédance Z(d) associée à la ebrane et en déduire l'ipédance raenée à l entrée Z(0).

4 5) L'onde aller est elle-êe produite, à l'abscisse = 0, par une ebrane identique à la précédente et souise en plus des forces déjà citées à une force d'ecitation F = F 0 ep(jωt). Déteriner, en régie peranent, l'élongation y(0, t) en fonction de F 0, ω, Z(0), Z(d). 6) On cherche à annuler l'onde retour. Déteriner les conditions d'obtention de ce régie et en déduire les élongations peranentes y(0, t) et y(d, t). 7) On cherche au contraire à obtenir une onde stationnaire de la fore y(,t) = a cosk ep(jωt). Reprendre alors la question précédente. PO1 6 Ipureté dans une chaîne d oscillateurs On considère une chaîne d oscillateurs unidiensionnelle ( k,, a, avec ka << 1 ) s étendant de - à +. En = 0, une asse est replacée par une asse M. Une onde sinusoïdale de pulsation ω se propage le long de la chaîne, provenant de -. Etudier son coporteent quand elle arrive en = 0. Eainer les cas particuliers M = et M ->. PO1 7 Inhoogénéité dans une corde Une corde, tendue par une tension horizontale F, s étend de - à +. En = 0 un «plob» de asse M est placé sur la corde. Etudier le coporteent d une onde sinusoïdale provenant de - PO1 8 Ipédance parasite dans une ligne électrique Une ligne électrique, d ipédance caractéristique Z C, s étend de - à +. On place en = 0 une ipédance Z 0 en parallèle sur la ligne.. Etudier le coporteent d une onde de tension et courant sinusoïdale provenant de - quand elle arrive en = 0. On étudiera notaent le cas où Z 0 = Z C. Quels cas particuliers peut-on retrouver? PO1 9 Onde de surface. On s'intéresse au ondes de surface qui se propagent sur l'eau. Le fluide est considéré coe idéal. On considère que l'eau, incopressible, ne subit aucun courant peranent et que le déplaceent des ondes se fait dans un bassin de profondeur constante H (le fond est plat). La pression atosphérique est P o = 1 bar. 1 ) Donner l'équation du ouveent d'une particule fluide lors du déplaceent de l'eau au passage de l'onde. La siplifier en ne conservant que les teres d'ordre un. 2 ) On va approcher la pression dans le fluide en l'assiilant à la pression hydrostatique. Déteriner P en fonction de z et h. 3 ) Dans le cadre de la linéarisation, on ne s'intéresse qu'au tere de vitesse suivant l'ae Oy : v y. Déduire de ce qui précède une relation différentielle entre v y et h. Quelle est la dépendance de v y en z?

5 4 ) Considérons une colonne fie coprise entre y et y + dy sur une largeur l en. Faire un bilan sur la colonne de atière pendant une durée dt et en déduire une nouvelle relation différentielle entre v y et h. 5 ) Déduire de ce qui précède les équations d'évolution de v y et h en fonction de y et t. Déteriner C la célérité des ondes qui se propagent dans le cadre de ce odèle. Donner la fore générale des solutions de l'équation en h (on ne deande pas la déonstration). Interpréter les teres de cette solution. 6 ) En supposant que l'epression de C reste valable, epliquer qualitativeent pourquoi les vagues se brisent en arrivant près d une plage. On considère une onde incidente qui se propage dans le sens des y croissants, sinusoïdale de période T et d'aplitude a i pour h. Nuériqueent, on prend H = 5, a i = 0,50 et T = 6 s. 7 ) Donner h i (y,t) et v iy (y,t). Quelle est la valeur de l'aplitude de la vitesse dans l'onde incidente? Que vaut la longueur d'onde λ? 8 ) Estier la vitesse verticale obtenue ici et la coparer à v y. Conclure. 9 ) L'onde arrive sur une jetée orientée suivant O, située en y = 0 et s'y réfléchit. a - Quelles sont les conditions au liites du systèe qui se développent sur la jetée? b - En déduire l'epression de l'onde réfléchie pour h r (y,t) et v ry (y,t). c - Donner alors l'epression générale de h(y,t) et v y (y,t) autour de la jetée. Coent noe-t-on ce type d'onde et pourquoi? PO1 10 Acoustique d un ur Un tuyau cylindrique très long (d ae ) contient de l air dans les conditions de tepérature et de pression ordinaires (asse voluique " 0 ). On place, en = 0, un plateau ince de asse surfacique unifore σ orthogonaleent à la section du tuyau. Ce plateau est susceptible de se déplacer sous l effet des ondes acoustiques qui peuvent se propager. Une onde acoustique plane progressive d aplitude a i arrive vers le plateau et donne naissance à une onde réfléchie et une onde transise. Le plateau acquiert alors un ouveent sinusoïdal forcé de vitesse : "(0,t) = a 0 cos#t. 1 ) Déteriner les aplitudes coplees a t et a r des ondes transise et réfléchie en fonction de a i, " et des différentes grandeurs introduites précédeent. 2 ) La ebrane joue un rôle de filtre de fréquences. Quelle est la nature de ce filtre et quelle est sa pulsation de coupure à -3dB (appelée " 0 par la suite)? 3 ) Eprier la longueur d onde de coupure " 0 en fonction de " 0, de l épaisseur d et de la asse voluique " d du plateau. 4 ) La plateau est en béton ( " d = 2300 kg.-3 ). Calculer l épaisseur d pour obtenir un affaiblisseent de 50 db à 300 Hz. En déduire " 0. Quelles sont, en db, les affaiblisseents à 100 Hz à 500 Hz? Conclure sur l atténuation du son entre deu logeents voisins pour un son grave ou un son aïgu.