Propositions et prédicats

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1 Propositions et prédicats 1 introduction Définition : Une proposition est un énoncé mathématiques qui peut être démontré comme vrai ou faux, il a valeur de vérité. La logique en mathématique permet d établir des règles de calculs sur les propositions. Exercice-Exemple : Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses : 1. Soit n un entier, le carré de n + 1 est impair. 2. Le carré d un nombre x supérieur ou égal à 2 est supérieur à Si le carré d un nombre x est supérieur ou égal à 4 alors le nombre x est supérieur ou égal à (1, 2 < 1, 3) ou (1, 2 = 1, 3) 2 introduction aux calculs propositionnels Une proposition peut prendre une valeur fausse on la notera F ou 0, ou une valeur vraie on la notera V ou 1. Les nombres 0 et 1 sont utilisés en informatique (ou en électronique fermé ou ouvert), en numération binaire. Ainsi une proposition peut être associée à une variable a et ou peut alors définir des règles de calculs dans les sous-sections suivantes. Définition : Soient n propositions a 1, a 2,..., a n et P la proposition résultant d un calcul des n propositions. On établit alors une table de vérité, un tableau, donnant les 2 n résultats possibles, chacune des n propositions a i prenant la valeur 0 ou 1 : La dernière colonne du tableau est à déterminée suivant la nature du calcul. a 1 a 2... a n P Exemple : n = 2, n = 3, a 1 a 2 P a 1 a 2 a 3 P S.Mirbel page 1 / 7

2 2.1 négation La négation d une proposition a est notée a, elle est fausse si a est vraie et elle est vraie si a est fausse. Remarque : Soit a une proposition, a = a. a a Donner la négation de la proposition a i pour i entier variant de 1 à 4, puis donner la vérité de a et de a. 1. a 1 : 2 < a 2 : 2 = a 3 : 3 est impair. 4. a 4 : Le plus petit multiple commun de 4 et 6 est conjonction La conjonction de deux propositions a et b est notée a b, on l interprète par a et b. La proposition a b n est vraie que si a et b sont vraies. a b a b Donner vérité de a i b i pour i entier variant de 1 à a 3 : 3 est impair ; b 3 : 3 est multiple de a 4 : Le plus petit multiple commun de 4 et 6 est 24 ; b 4 : le plus grand diviseur de 4 et 6 est disjonction La disjonction de deux propositions a et b est notée a b, on l interprète par a ou b. La proposition a b n est fausse que si a et b sont fausses. a b a b S.Mirbel page 2 / 7

3 Donner vérité de a i b i pour i entier variant de 1 à a 3 : 3 est impair ; b 3 : 3 est multiple de a 4 : Le plus petit multiple commun de 4 et 6 est 24 ; b 4 : le plus grand diviseur de 4 et 6 est implication La proposition a implique la proposition b est notée a b. La proposition a b n est fausse que si a est vraie et b est fausse. On décline le langage suivant : si a alors b. b dès que a. a seulement si b. Il est suffisant que a pour que b. Il est nécessaire que b pour que a. a b a b Donner vérité de a i b i pour i entier variant de 1 à a 3 : 3 est impair ; b 3 : 3 n est pas pair. 4. a 4 : Le plus petit multiple commun de 4 et 6 est 12 ; b 4 = a a 5 = a 3 ; b 5 = b 3. Remarques : Soient deux propositions a et b. a b ne dépend pas du contenu des propositions a et b, il n y a pas nécessairement de lien de cause à effet. La vérité de b n a aucune influence lorsque a est fausse. Si a est fausse alors quelque soit la vérité de la proposition b, a b est vraie. A partir d une proposition fausse on construit une implication vraie. Définitions : Soient a et b deux propositions. La proposition réciproque de la proposition a b est b a. La proposition contraposée de la proposition a b est b a Donner la proposition réciproque, puis la proposition contraposée des implications suivantes : (x < 2) (x < 3). S.Mirbel page 3 / 7

4 2.5 équivalence La proposition a équivaut à la proposition b se note a b. La proposition a b n est fausse que si seule une des deux propositions a ou b est fausse. On décline le langage suivant : si a alors b et réciproquement si b alors a. b dès que a et réciproquement a dès que b. a seulement et seulement si b. Il est suffisant que a pour que b et nécessaire que a pour que b. Il est nécessaire que b pour que a et suffisant que b pour que a. a b a b Donner la vérité de a i b i pour i entier variant de 1 à a 3 : 3 est impair ; b 3 : 3 n est pas pair. 4. a 4 : Le plus petit multiple commun de 4 et 6 est 12 ; b 4 = a a 5 = a 3 ; b 5 = b 3. Remarques : Soient deux propositions a et b. On retrouve les résultats et les remarques d une double implication, et a fausse ne peut être équivalente qu à une proposition b fausse. 3 Propriétés des opérations sur des propositions Soient a, b et c trois propositions. Commutativité : a b b a (1) a b b a (2) a b a b b a a b b a S.Mirbel page 4 / 7

5 Associativité : (a b) c a (b c) (3) (a b) c a (b c) (4) a b c a b b c (a b) c a (b c) a b b c (a b) c a (b c) Double distributivité : a (b c) (a b) (a c) (5) a (b c) (a b) (a c) (6) a b c b c a (b c) a b a c (a b) (a c) Éléments neutres : Soient a une proposition, V une proposition vraie et F une proposition fausse. Il suffit de lire la table de vérité de chacune des deux opérations. Compléments : a V a (7) a F a (8) a a est toujours vraie. a a est toujours faux. a a a a a a 0 1 S.Mirbel page 5 / 7

6 Idem potence : a a a a a a Involution : a a Implications et équivalences : Compléter les tables de vérité : (a b) ( a b) (9) (a b) ( b a) (10) (a b) ((a b) (b a)) (11) a b a b a a b a b a b a b b a a b a b a b b a ((a b) (b a)) Lois de Morgan : (a b) ( a b) (12) (a b) ( a b) (13) a b a b (a b) a b ( a b) (a b) ( a b) Conséquence des lois de Morgan : Le principe de dualité consiste à changer le rôle de et, les propositions conservent les propriétés de vérité. Reprenez les opérations et constatez que le principe de dualité fonctionne de la même manière que la distributivité : a (b c) (a b) (a c) a (b c) (a b) (a c) S.Mirbel page 6 / 7

7 4 Prédicats 4.1 Introduction Définition : Un prédicat est un énoncé qui dépend d une ou plusieurs variables, il devient une proposition si x prend une valeur donnée ou un ensemble de valeurs donné. Exemple : a(x): x 2 < 4 est un prédicat ; b(x): pour tout entier x strictement inférieur à 2, x 2 < 4 est une proposition vraie. 4.2 Quantificateur Symboliques : Le quantificateur existentiel est symbolisé par. Le quantificateur universel est symbolisé par. Exemple : x N, 2x + 1 est impair ; se lit quelque soit x entier, 2x + 1 est impair. x N, x + 1 = 2 ; se lit il existe x entier tel que x + 1 = 2. Les deux propositions sont vraies. 4.3 Négation d une proposition quantifiée Soit b une proposition, a :, b ; a :, b. a :, b ; a :, b. Donner les négations des propositions a i suivantes, i variant de 1 à 2, et donner la vérité de ces propositions : 1. a 1 : x N, 2x + 1 est impair. 2. a 2 : x N, x + 1 = 2. S.Mirbel page 7 / 7