L apprentissage des mathématiques au cycle 1 L apprentissage du nombre

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1 L apprentissage des mathématiques au cycle 1 L apprentissage du nombre Plan I- Place dans les programmes 1- Programmes 2008 p.1 2- Evolution de l enseignement des mathématiques dans les programmes p.2 II- La démarche d apprentissage 1- Le sens donné à l apprentissage en cours de réalisation p.3 2- Les différentes composantes de l apprentissage p.4 3- La démarche en mathématiques p.4 4- La pédagogie à l école maternelle p.4 III- La construction du concept de nombre chez l enfant 1- La définition du concept de nombre p.5 2- La théorie piagétienne de la construction du nombre p.5 3- Les apports post-piagétiens p.6 IV- La construction du nombre à l école maternelle 1- Les obstacles repérés chez les élèves pour la construction du nombre p.7 2- L analyse des obstacles à la construction du nombre, à l aide d éclairages théoriques, 2-1 : plusieurs façons de s approprier le nombre p : pistes pédagogiques pour travailler le nombre p Les compétences à acquérir en fin de GS p Intérêt des situations expérimentales p L évaluation p.12 V- L organisation matérielle de la classe 1- La gestion de la classe p Le coin mathématique p Les outils des élèves p.13 VI- Bibliographie p.14 Annexe : Synthèse obstacles et stratégies d apprentissage p.15 I- Place dans les programmes 1- Programmes 2008 DÉCOUVRIR LE MONDE À l école maternelle, l enfant découvre le monde proche ; il apprend à prendre et à utiliser des repères spatiaux et temporels. Il observe, il pose des questions et progresse dans la formulation de ses interrogations vers plus de rationalité. Il apprend à adopter un autre point de vue que le sien propre et sa confrontation avec la pensée logique lui donne le goût du raisonnement. Il devient capable de compter, de classer, d ordonner et de décrire, grâce au langage et à des formes variées de représentation (dessins, schémas). Il commence à comprendre ce qui distingue le vivant du non-vivant (matière, objets). Découvrir les formes et les grandeurs En manipulant des objets variés, les enfants repèrent d abord des propriétés simples (petit/grand ; Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 1

2 lourd/léger). Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs critères, à comparer et à classer selon la forme, la taille, la masse, la contenance. Approcher les quantités et les nombres L école maternelle constitue une période décisive dans l acquisition de la suite des nombres (chaîne numérique) et de son utilisation dans les procédures de quantification. Les enfants y découvrent et comprennent les fonctions du nombre, en particulier comme représentation de la quantité et moyen de repérer des positions dans une liste ordonnée d objets. Les situations proposées aux plus jeunes enfants (distributions, comparaisons, appariements...) les conduisent à dépasser une approche perceptive globale des collections. L accompagnement qu assure l enseignant en questionnant (comment, pourquoi, etc.) et en commentant ce qui est réalisé avec des mots justes, dont les mots-nombres, aide à la prise de conscience. Progressivement, les enfants acquièrent la suite des nombres au moins jusqu à 30 et apprennent à l utiliser pour dénombrer. Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l enseignant de comparaison, d augmentation, de réunion, de distribution, de partage. La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes que l enseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun. À la fin de l école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l univers du calcul mais c est le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe égal ) et les techniques. La suite écrite des nombres est introduite dans des situations concrètes (avec le calendrier par exemple) ou des jeux (déplacements sur une piste portant des indications chiffrées). Les enfants établissent une première correspondance entre la désignation orale et l écriture chiffrée ; leurs performances restent variables mais il importe que chacun ait commencé cet apprentissage. L apprentissage du tracé des chiffres se fait avec la même rigueur que celui des lettres. À la fin de l école maternelle l enfant est capable de : - dessiner un rond, un carré, un triangle ; - comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités ; - mémoriser la suite des nombres au moins jusqu à 30 ; - dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ; - associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée ; 2- Evolution de l enseignement des mathématiques dans les programmes Pendant 100 ans, objectifs numériques ambitieux : utiliser les nombres jusqu à 100, et les 4 opérations S appuyant sur les travaux de Piaget, les IO proposent une nouvelle démarche d acquisition du nombre à l école élémentaire, qui conduit à sa quasi disparition à l école maternelle. On parle d activités pré-numériques. Les mathématiques sont dans le chapitre «Développement cognitif» Classification, sériation, construction du nombre, comptine numérique. Les mathématiques sont dans «les activités scientifiques et techniques» Les IO prennent en compte les nouvelles recherches, et réaffirment l importance du travail numérique à l école maternelle. Les mathématiques font partie de la rubrique «des instruments pour apprendre» Il s agit de donner du sens aux nombres par leur utilisation dans la résolution de problèmes articulés avec des jeux, des situations vécues, mimées ou racontées oralement. Les mathématiques font partie de la rubrique «découvrir le monde». (Importance de partir des interrogations des élèves) Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 2

3 Le sens est toujours posé comme préalable. Les compétences indiquées sont les compétences essentielles. La démarche est moins explicite. Les étapes pour travailler la compétence n apparaissent pas. Programmes 2002 Programmes 2008 COMPÉTENCES RELATIVES AUX FORMES ET AUX GRANDEURS - différencier et classer des objets en fonction de caractéristiques liées à leur forme ; - reconnaître, classer et nommer des formes simples : carré, triangle, rond ; - reproduire un assemblage d objets de formes simples à partir d un modèle (puzzle, pavage, assemblage de solides) ; - comparer, classer et ranger des objets selon leur taille, leur masse ou leur contenance. COMPÉTENCES RELATIVES AUX FORMES ET AUX GRANDEURS - dessiner un rond, un carré, un triangle ; COMPÉTENCES RELATIVES AUX QUANTITÉS ET AUX NOMBRES - comparer des quantités en utilisant des procédures non numériques ou numériques ; - réaliser une collection qui comporte la même quantité d objets qu une autre collection (visible ou non, proche ou éloignée) en utilisant des procédures non numériques ou numériques, oralement ou avec l aide de l écrit ; - résoudre des problèmes portant sur les quantités (augmentation, diminution, réunion, distribution, partage) en utilisant les nombres connus, sans recourir aux opérations usuelles ; - reconnaître globalement et exprimer de très petites quantités (de un à trois ou quatre) ; - reconnaître globalement et exprimer des petites quantités organisées en configurations connues (doigts de la main, constellations du dé) ; - connaître la comptine numérique orale au moins jusqu à trente ; - dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ; - associer le nom des nombres connus avec leur écriture chiffrée en se référant à une bande numérique. COMPÉTENCES RELATIVES AUX QUANTITÉS ET AUX NOMBRES - comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités ; - mémoriser la suite des nombres au moins jusqu à 30 ; - dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ; - associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée ; II- La démarche d apprentissage 1- Le sens donné à l apprentissage en cours de réalisation Il est indispensable que l enfant sache à quoi servent les tâches qu il doit réaliser. Il importe donc que : - L apprentissage ait un but précis et identifié, - La tâche ait un but précis et annoncé, - Chacun sache ce qu il a à faire et pourquoi il le fait. Dès l entrée à l école maternelle, il est important d amener l enfant à une dynamique de progrès. 2- Les différentes composantes de l apprentissage Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 3

4 Importance «d éclairer» un parcours d apprentissage: - Donner à l élève le but de l apprentissage, - Identifier avec lui ce qu il sait déjà, - Mettre en place un parcours d apprentissage (temps d apprentissage et d exercice), - Evaluer, - Identifier avec lui les progrès. 3- La démarche en mathématiques (M. Mégard, IG) Les connaissances et les compétences s acquièrent progressivement, et toute lacune à un niveau donné peut s avérer un obstacle difficilement surmontable aux niveaux suivants. Evolution spiralaire des apprentissages Les apprentissages se construisent dans la durée, par approfondissements et enrichissements successifs. 4- La pédagogie à l école maternelle (V. Bouysse, IG) a) Les apprentissages voulus par l école Apprentissages variés : sociaux, moteurs, cognitifs, ; développement global Apprentissages organisés : progressivité, création des conditions qui peuvent les rendre possibles, objectifs pédagogiques Apprentissages vérifiés, évaluation : une place raisonnable (temps court par rapport à l apprentissage) Apprentissages identifiés par l enfant Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 4

5 (cf. devenir élève : avoir conscience que l on apprend et de ce que l on apprend) Suite à une situation d apprentissage, il peut y avoir une trace de ce qui a été fait, appris. Ex. compte-rendu, photos des jeux mathématiques et commentaire des enfants Ni activisme ni formalisme b) La complémentarité de 4 "familles" de situations pour faire apprendre Le jeu (jeux symboliques, jeux à règles, jeux sensori-moteurs, jeux de construction, etc.) Les recherches ; l expérimentation (à la mesure de jeunes enfants) ; la résolution de problèmes L imprégnation culturelle Les activités dirigées (jeux, exercices) Valable à tous les niveaux, dans des proportions différentes c) La mobilisation à bon escient des trois formes possibles de groupement Les activités collectives: intéressantes dans les phases de structuration, de réinvestissement dans des rituels, Les activités réalisées en groupes: différencier les activités individuelles pour lesquelles les élèves sont assis côte à côte (faire à côté de) et les activités de groupe qui nécessitent des interactions entre les élèves (faire avec), Les activités individuelles: souvent pour s entraîner. L organisation en «ateliers» doit permettre des temps d apprentissage, avec l enseignant, des temps de réinvestissement en autonomie ou lors d ateliers semi dirigés avec l Atsem, des temps collectifs pour reparler de ce qui a été appris, pour réutiliser le concept travaillé. III- La construction du concept de nombre chez l enfant 1- La définition du concept de nombre - Différence entre nombre et nombre de : un nombre ne représente pas une quantité, il ne la désigne pas, il ne l exprime pas. - Il aide à quantifier. - Un nombre est une idée qui permet de se représenter ou d imaginer une quantité. - Un nombre est un élément qui appartient à un ou plusieurs ensembles suivants : N : entiers naturels (0 à + infini entiers) Z : entiers relatifs (-infini à + infini entiers), Q : entiers rationnels (fractions de infini à + infini : ex ½) D : décimaux (Tous les nombres dont la partie fractionnelle est finie, de infini à + infini ex : 3,537) R : réels (Tous les nombres de infini à + infini : ex π) - Un nombre peut s écrire avec des chiffres, des mots, une lettre, un symbole (π) - Différence entre chiffre, numéro et nombre (le langage courant est souvent source d erreurs) Le nombre entier naturel peut être envisagé sous son aspect cardinal, comme la propriété commune à toutes les collections concrètes d objets qui contiendraient le même nombre d objets. L ensemble de tous les cardinaux est ordonnée. C est l aspect ordinal. Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 5

6 2- La théorie piagétienne sur la construction du nombre (conservation) Selon Piaget ( ), le nombre ne devient une notion opératoire que lorsque l enfant est capable de percevoir la conservation de l extension d une collection, la sériation des longueurs, et l inclusion des classes. Le nombre serait donc construit par l enfant grâce à 3 capacités logiques (sériation, classification, conservation), acquises progressivement pour arriver à maîtriser le concept de nombre. L opération de sériation consiste à ordonner une série d objets en fonction de leurs différences (taille, poids, ). La sériation apparaît dans l acquisition de la suite ordonnée des naturels : 5 est plus grand que 4, qui lui-même est plus grand que 3 La catégorisation est une activité cognitive conduisant l individu à traiter de la même façon des objets différents, et donc à dépasser les spécificités au profit de la généralité : c est dégager des caractéristiques communes envers des objets, des personnes ou des situations. Catégoriser consiste à considérer de manière équivalente des objets, des personnes ou des situations qui partagent des caractéristiques communes. - C est subdiviser des connaissances en catégories et savoir expliquer comment s organisent ces catégories. - C est un processus de base intervenant dans la plupart des comportements humains. La question de la conservation se pose devant deux collections composées du même nombre d objets mais disposés différemment. L enfant non conservant répondra qu il y a plus de jetons là où c est le plus long, alors que l enfant conservant dira qu il y en a le même nombre. A 4 ans, l enfant a une intuition perceptive (longueur = nombre). Ce n est que vers 6-7 ans qu il parvient à ne plus être «prisonnier» du cadre visuo-spatial, et devient conservant. 3- Les apports post-piagétiens D autres recherches ont montré qu il était dommageable de ne pas avoir considéré l activité de comptage chez l enfant. En effet, les activités de comptage occupent une place importante dans les activités des jeunes enfants et dans leur première appréhension des nombres. Des auteurs ont montré que la pratique du dénombrement précède l accès à la conservation. Ils ont comparé l effet de l apprentissage du comptage, du dénombrement et de la logique. Il s avère que les enfants entraînés à compter et dénombrer des petites collections ont de meilleures performances à des tâches numériques, alors que leurs scores sont comparables aux autres élèves pour des tâches logiques. Apprendre à dénombrer aide l enfant à développer les capacités opératoires qui sous tendent le concept de nombre. Il y a complémentarité. Ainsi, la construction du nombre semble reposer à la fois sur les notions logiques développées par Piaget (sériation, classification, conservation) et sur des procédures de dénombrement et de comptage. Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 6

7 Aujourd hui, les recherches faites sur ce que sait faire le bébé avant de savoir parler montrent qu il est sensible au fait : - qu une collection de 2 objets n est pas une collection d un seul objet mais de plus, - que le retrait d un objet à une collection de 2 objets ne laisse pas invariante la collection de 2 objets. Il est donc sensible à une différence. Vers 4 ans ½, les enfants sont capables de dire le nombre d objets d une collection de 1 à 3 objets, sans les compter. Si l enseignant lui fait ensuite compter les objets, l élève constate que le mot-nombre obtenu par perception globale est aussi celui qui termine le comptage. Selon R. Charnay, l acquisition de la chaîne numérique verbale (1 ;2 ;3 ; ) et son usage dans les processus de quantification (combien?) est déterminante. Ces habiletés verbales constituent les éléments à partir desquels s édifient les acquisitions ultérieures. IV- La construction du nombre à l école maternelle 1- Les obstacles repérés chez les élèves pour l acquisition du nombre Oralité du nombre, dans le langage français (Ex : 96) Mauvaise utilisation des mots dans le langage courant (nombre, chiffre, numéro) Méconnaissance de la comptine numérique Pas de correspondance entre le mot-nombre et quantité Pas de correspondance entre le dernier mot-nombre et la quantité représentée Difficulté à se représenter des quantités Mauvaise représentation du nombre ordinal et cardinal Différentes écritures du nombre 2- L analyse des obstacles à la construction du nombre, à l aide d éclairages théoriques 2-1 : Plusieurs façons de s approprier le nombre Selon Gelman (1983), psychologie américaine 5 principes caractérisent le comptage et correspondent à 5 compétences des élèves - Principe d ordre stable lié à la stabilité de la suite numérique - Principe de correspondance terme à terme : mettre en relation un mot nombre et un objet - Principe cardinal : le dernier mot-nombre représente le nombre d éléments de la collection - Principe d abstraction : la nature des objets dénombrés n influe pas sur le cardinal - Principe de non pertinence de l ordre : l ordre de comptage des objets n influe pas sur le cardinal de l ensemble. Chacun de ces principes semble très tôt acquis mais la difficulté du comptage provient de la nécessité de coordonner plusieurs procédures cognitives : - Enumérer des objets sans en oublier et sans compter deux fois le même élément (la complexité dépend de la possibilité ou non de déplacer les objets, de la disposition spatiale de la collection ) Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 7

8 - Dire la suite des nombres, sans se tromper en associant bien à chaque objet un mot-nombre et en s arrêtant correctement - Enoncer le dernier mot-nombre prononcé comme réponse à la question posée. Selon M. Fayol Il faut différencier les relations logico-mathématiques et la pratique socio-culturelle du nombre et des activités de comptage - Les relations logico-mathématiques qui englobent les opérations logiques (classement, sériation) Construction logique du nombre, en s appuyant sur les travaux de Piaget : les opérations logiques de classement et de sériation, la correspondance terme à terme. - La pratique socio-culturelle du nombre et des activités de comptage, le traitement de l information (mémorisation, automatisation des procédures, coordination des opérations mentales) Une approche empirique du problème : comptage, dénombrement Selon M. Fayol, R. Charnay, La maîtrise de la suite verbale est essentielle. Tant que la suite verbale n est pas maniée correctement, on ne peut pas pratiquer des activités de dénombrement. C est un problème d acquisition du langage et non un problème conceptuel. Il faut favoriser la mémorisation de la comptine, pour : - Aboutir à une représentation mentale de la chaîne numérique, - Puis proposer des situations problèmes de types additifs et soustractifs mettant en jeu des opérations simples (5+3). Selon R. Brissiaud, Le cheminement d un enfant vers le nombre dépend des outils culturels que l on met à sa disposition. - Le comptage - Le langage pour «parler des nombres» - Les collections-témoins. Selon R. Charnay, SENS et COMPREHENSION doivent être reliés. - On ne doit pas seulement travailler des techniques, mais travailler bien sûr la compréhension. - L évaluation doit se faire à travers les situations-problèmes. - La priorité est à donner au calcul mental : mémorisation et calcul réfléchi. - Il faut bien penser l articulation entre les cycles : école primaire et collège, GS et CP. 4 aspects pour la maîtrise d une notion mathématique : - Les problèmes qu elle permet de résoudre o Toute notion doit aider à traiter des problèmes. - Les résultats, les procédures, les techniques à mémoriser, à automatiser, à savoir élaborer o Ex : fin de cycle 2 : 5+4=9 doit être mémorisé o En cycle 3 : 17+9=26 La procédure doit être produite. - Les propriétés o Utilisées implicitement : 17+9= = Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 8

9 o explicitées - Le langage o Analogique : rendre compte à partir du concrêt Ex : Romains : XIII o Verbal : multiplication : X Langage courant : «fois» Langage verbal mathématique : «multiplié» o Symbolique : symboles pour représenter des chiffres et des opérations Premières leçons : le signe +, le signe X Ce sont ces 4 aspects qui font partie d un concept qui va être mis en place. 2-2 : Pistes pédagogiques pour travailler le nombre Obstacle repéré : Oralité du nombre dans le langage français Selon R. Charnay, Le langage peut être un obstacle pour l acquisition des nombres. Le français est «mal fait» : ex : soixante-dix, quatre-vingts, Chinois : dix-un, dix-deux, dix-trois, Belge : septante, octante, nonante, Attention, erreur à ne pas faire : lorsque le nombre 70 commence à être difficile, 69 ne doit pas être une barrière. Quand on entend le début d un nombre : 60, on ne sait pas ce que l on va écrire. Il faut travailler les tranches Selon S. Baruk, pour les nombres de 11 à 16, il faut scinder dans le seize, le six du sei et le dix du ze, puis penser ces six-dix dans le bon sens, dix-six, qui sera alors l analogie et dix-sept, Obstacle repéré : Mauvaise utilisation des mots dans le langage courant On utilise souvent à mauvais escient les mots : chiffre, nombre, numéro. Nombre : Cf. définition ci-joint précédemment Chiffre : signe élémentaire permettant de construire l écriture d un nombre Numéro : chiffre ou écriture d un nombre qui indique la place d une chose dans une série. Obstacle repéré : méconnaissance de la comptine numérique Quelques étapes de l acquisition de la comptine : o 2 à 6 ans : grande variabilité 4 ans et demi (MS) : 16 (apprentissage par cœur, l enfant récite) 5 ans et demi (GS) : 40 Mais savoir réciter, ce n est pas connaître complètement la comptine, ni savoir l utiliser. Il faut travailler la comptine en faisant évoluer les compétences: o Vers 6 ans : Compter à partir de 1 jusqu à Compter à partir de jusqu à. Il est plus difficile d amorcer à plus que 1. Compter à rebours (décompter) : cela permet de reconstruire, c est la première étape vers la soustraction. Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 9

10 Utilisation de la comptine pour dénombrer Ce sont les premières compétences de l école maternelle : «Structure en profondeur de la comptine» o A partir de 6-7 ans : Compter et dénombrer n nombres à partir de Compter ou dénombrer de à, en tenant compte des nombres énumérés. Ex : de 7 à 11, on avance de 4 Obstacles repérés : Pas de correspondance entre le mot-nombre et la quantité Pas de correspondance entre le dernier mot-nombre et la quantité représentée Difficulté à se représenter des quantités Selon R. Brissiaud, R. Charnay, Stratégies pour dénombrer : il faut répondre à la question «Combien?» - Perception immédiate d une quantité : o Ex : Voir 3 crayons, les cacher : l être humain et certains animaux ont la capacité à les reconnaître immédiatement. - Repérage des quantités sur les constellations, les doigts o Ex : 5, figure du 5 Ou 6, figure du 6 (Organisation spatiale) Ce sont les images mentales correspondant à de petites quantités. o «Du bon ou du mauvais usage des doigts?» Puisque l enfant va s en servir, la question est «comment s en servir le mieux possible, et les oublier un jour?» L usage des doigts doit être un usage mental pour s en dispenser un jour. Attention à l abus des représentations uniques du nombre, avec le même matériel, car cela peut empêcher certains enfants de construire le nombre. - Utilisation de différentes représentations des nombres - Comptage un par un : 3 principes importants o Correspondance nombre-objet : prendre des objets déplaçables. Dernier nombre dit : Parfois, il y a confusion entre le procédé et le résultat du procédé. o Indépendance du parcours des objets : compter à partir de la gauche, de la droite. o Estimation de certaines quantités : possibilité d utiliser des repères : 5 et 10 Ex : 11, c est + de 5 20, c est + de 10 Dénombrement par comptage de 1 en 1 : quelques repères 3 ans 4 ans 5 ans 7 objets 19% 47% 80% 11 objets 5% 37% 47% Le comptage et l importance de la verbalisation : Expérience : Une épreuve non verbale réussie dès l'âge de 3 ans ½ (PS) On montre une collection de trois objets à un enfant puis on la cache. On retire deux objets, de manière visible (l'enfant ne voit ni la collection de départ ni celle restante). On lui demande de construire une collection qui est "pareille" que celle qui reste. On sollicite donc une réponse non verbale. Cette épreuve non verbale pour de petits problèmes d'ajouts et de retraits sur les trois premiers nombres est réussie, quelque soit le milieu socio-culturel. La même épreuve, mais verbale cette fois, est moins bien réussie. En effet, si on interroge : "combien y a t il d'objets maintenant", les performances chutent. Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 10

11 Une pratique trop exclusive du comptage semble à l'origine de ces échecs. Avoir des interactions langagières variées quand on "parle" les nombres : Exemple pour le nombre 3; dire : Un, deux, trois. Deux et un Un, un, et un Les risque du comptage systématique est que l'enfant se l'approprie de façon rituelle. Parler les nombres de manière quotidienne joue aussi un rôle crucial. Les enfants comprennent qu'une phrase où figure un adjectif numéral renvoie à un nombre, alors qu'ils ne savent pas exactement de quel nombre il s'agit. Utiliser les nombres de manière quotidienne. Ex. «Il y a 8 places pour cet atelier. Il y a déjà 3 enfants, combien d enfants peuvent encore venir? Utilisation, par exemple de cartons avec 8 cases, et 3 silhouettes d enfants accrochées.» Utiliser les collections-témoins: représentations analogiques exactes du nombre qui aident l'élève à construire le nombre. Il faut commencer par communiquer concernant les petites quantités, en s aidant de collections témoins de doigts. L élève utilise directement les mots-nombres en tant que signes linguistiques qui renvoient à des quantités. 3- Les compétences à acquérir en fin de GS - Dire la comptine orale des nombres : stabilisation, structuration (au moins jusqu à 30) - Dénombrer avec différentes méthodes o Reconnaissance immédiate o Reconnaissance des constellations o Comptage 1 par 1 en utilisant la suite orale des nombres - Associer «nombres dits» et «nombres écrits» En maternelle, on travaille beaucoup les nombres dits. On leur associera le nombre écrit. Trouver l écriture chiffrée associée à «cinq» La bande numérique est un outil à disposition (les élèves peuvent s en servir ou pas.) Trouver le mot-nombre associé à 5 - Connaître le sens des nombres o Exprimer les quantités pour garder en mémoire (aspect cardinal) o Repérer et exprimer des positions dans une liste rangée (aspect ordinal) Ex Boites : repérer la 5 ème, Traiter des problèmes «arithmétiques» : comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités Calcul, augmentation, diminution Partages Pas de signes +, -, = en maternelle, mais des expériences sur les nombres. o Utiliser les nombres pour mémoriser les quantités (problème fondamental) Ex : Préparer juste ce qu il faut de gommettes pour réparer le robot. Plusieurs étapes : Les gommettes sont éloignées du robot. Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 11

12 Aller chercher, à distance, juste assez de gommettes pour réparer le robot. Aller chercher juste assez de gommettes pour réparer le robot, en une seule fois Attention! si on pose la question : «Combien faut-il de gommettes pour réparer le robot?», l élève devient seulement exécutant. Il faut qu il y ait une énigme à résoudre. Il est normal que les élèves n y arrivent pas du premier coup. Il doit y avoir des échanges sur les procédures. o Demander les gommettes oralement. o Demander les gommettes par écrit. Cette situation est impossible à utiliser sur fichier. Le travail sur fiche prolonge l expérience (CP). 4- Intérêt des situations expérimentales - Importance du questionnement : o Ex 1 : 5+4 «Combien y-a-t-il de jetons?» Le dénombrement se fera par addition. o Ex. 2: 4 jetons sont mis dans une boite qui en avait 5. On ferme la boite. «Combien y-a-til de jetons?» La question ne part plus d un simple constat, mais amène une démarche à élaborer. (compter avec les doigts, dessiner pour représenter la réalité, ) - Appropriation facilitée de la situation par la question. - Représentation mentale de la tâche plus aisée. - Possibilité d une vérification expérimentale de la réponse. (La réponse est dans la boîte.) Les compétences techniques n ont d intérêt que si elles sont au service de la résolution de problèmes, mais certaines d entre elles doivent être automatisées pour être utilisables. 5- L évaluation Elle se fera à 2 niveaux : - Dans des tâches simples, de restitution de connaissances, - Dans des tâches complexes, à partir de situations problèmes. On peut proposer des tâches qui impliquent des opérations intellectuelles de différents niveaux : EX : Niveau 1 : je dis la comptine numérique (retrouver la connaissance) Niveau 2 : Je dénombre une collection (réutiliser la connaissance dans un contexte différent) Niveau 3 : J utilise le dénombrement dans une situation problème (faire des transferts) V- L organisation de la classe 1- La gestion des ateliers - Toutes les tâches d apprentissage seront réalisées dans un atelier dirigé avec l enseignante. - Les activités en autonomie (ou en atelier semi dirigé avec l ATSEM) pourront être : o Des situations de jeux qui ne posent pas de problème aux élèves, o Des situations de réinvestissement sous diverses formes, 2- Le coin mathématique Objectifs : Acquérir les compétences liées aux formes et grandeurs ou aux quantités et aux nombres Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 12

13 Matériel : Boîtes nombres (3 représentations possibles : chiffres, quantités, écriture), bandes numériques, dictionnaire des nombres, formes, bandes de papier, Utilisation : Etapes de la démarche Découverte Résolution d un problème Réinvestissement du concept travaillé Mode d utilisation du coin mathématique Manipulation libre, exploration Situation guidée par l enseignant Manipulation libre Jeu 3- Des outils de la classe et des élèves Quand? Roulement sur le temps d accueil En parallèle à des ateliers dirigés Atelier dirigé : apprentissage mathématique Une ou plusieurs séances Roulement sur le temps d accueil En parallèle à des ateliers dirigés Comment Le coin mathématique est organisé par l enseignant : matériel, fiches indiquant les règles élémentaires d utilisation, des consignes simples. Le coin est utilisé en autonomie. Les apports langagiers sont limités. Lors d une mise en commun, l enseignant recueillera les premières observations. La situation problème est donnée, ainsi que le matériel. Les élèves effectuent leur recherche, en connaissant les critères de réussite. (Ex. «Aller chercher en 1 seule fois tous les garages pour que chaque voiture ait un garage.») La verbalisation s enrichit et se précise sur le plan lexical. La mise en commun permet de travailler sur les différentes procédures, de construire le concept mathématique. Le coin mathématique a pu évoluer suite au temps d apprentissage. Pour aider à la réalisation, des fiches pourront indiquer les critères de réalisation (comment je vais m y prendre pour ) et les critères de réussite (j aurai réussi si ) - Bande numérique (horizontale, verticale) - Le nombre : chiffre, quantité (constellation, doigts de la main, autres), écriture - Les boîtes nombres - Le calendrier - Le tableau des présences par ordre d arrivée - Le dictionnaire des nombres - Les albums à compter (travail sur la suite des nombres, la mémorisation des désignations, la compréhension de l idée de complément, les comparaisons, les partages) - Cartons avec cases (5, 6, 10, 12) et silhouette ou pastilles Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 13

14 VI- Bibliographie «Documents d accompagnement des programmes 2002» «Apprentissages numériques GS», Ermel, Hatier «Découvrir le monde avec les mathématiques Cycle 1», D. Valentin, Hatier «Album à compter», R. Brissiaud, Retz «Le 2 ème album à calculer», R. Brissiaud, Retz «Je compte Tu compares», R. Brissiaud, Retz «Grand N spécial maternelle approche du nombre, T1», IREM «Faire des mathématiques à l école maternelle», Alain Pierrard, CRDP de Grenoble «Les mathématiques vivantes en petite section», D. Chauvel, D. Wach, Retz «Activités mathématiques», G. Zimmermann, Nathan «Activités mathématique PS/MS, GS», D. Valentin, Hatier «Multi numération PS, MS, GS», cahiers de la fourmi, Editions La Cigale DVD «Apprentissages mathématiques à l école maternelle», M. Salin, Hatier Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 14

15 Annexe Synthèse : Les obstacles à la construction du nombre chez l enfant, et les pistes pédagogiques pouvant être envisagées Obstacles identifiés Oralité du nombre dans le langage français Mauvaise utilisation des mots dans le langage courant Méconnaissance de la comptine numérique Pas de correspondance entre le mot-nombre et la quantité Pas de correspondance entre le dernier mot-nombre et la quantité représentée Stratégies -R. Charnay : 70 : on écrit «soixante-dix» Travailler les nombres qui posent problème, de 60 à 79, de 80 à 99 (pour le cycle 2) - S. Baruk : Pour les nombres de 11 à 16, il faut scinder dans le seize, le six du sei et le dix du ze, puis penser ces six-dix dans le bon sens, dix-six, qui sera alors l analogue de dix-sept -Utiliser le nombre de manière quotidienne (ex : rituels, comptage des absents, calendrier, date, ) -Apprendre des comptines, des jeux de doigts, -Lire et utiliser des albums à compter, -Commencer par ce qui est régulier pour aller vers ce qui est irrégulier. Différencier Nombre/Chiffre/Numéro, et utiliser les mots à bon escient. -Apprendre des comptines, -L utiliser quotidiennement, en faisant évoluer les compétences : Compter à partir de 1 jusqu à Compter à partir de jusqu à Compter à rebours -Utiliser la comptine pour dénombrer La connaissance de la comptine est essentielle pour pratiquer des activités de dénombrement. -Utiliser différentes stratégies pour dénombrer : perception immédiate, repérage des quantités sur les constellations, les doigts, utilisation de différentes représentations des nombres (10 : 5+5, ou 6+4, ou 7+3 points ), comptage un par un, -Dans le comptage un par un, plutôt que de pointer les objets pour les compter, les déplacer, (Cf. un mot-nombre correspond à un objet qui va dans la boîte), -Compter à partir de la gauche, de la droite, -Avoir des interactions langagières variées quand on «parle» les nombres, Ex : pour le nombre 3, dire : Un, deux, trois, Deux et un, Un, un et un, -«Parler les nombres» de manière quotidienne, dans la vie de la Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 15

16 Difficulté à se représenter les quantités Difficulté à associer «nombre dit» et «nombre écrit» classe. -Utiliser les collections-témoins, manipuler des dés, des doigts, -Utiliser des représentations variées des nombres, -Les objets que l on déplace quand on compte forment une collection : à tout moment, on peut s arrêter de les compter et dire combien on en a en tout. -Faire des correspondances terme à terme avec des nombres plus grands, -Estimer certaines quantités : possibilité d utiliser des repères : 5 et 10. Ex. 11, c est plus de 5, 20, c est plus de 10 -Se grouper physiquement, en EPS, par 2, 3, 5, 10, et faire d autres groupes du même nombre, -Travailler par manipulation les notions de plus que, moins que, autant que, (Ex. lors de la préparation du goûter) en comptant, en faisant des correspondances terme à terme, -Compter et garder en mémoire le résultat, ou le dire, l écrire, -Traiter des problèmes «arithmétiques» : augmentation, diminution, partages. -Utiliser la bande numérique, -Utiliser les trois représentations du nombre : collection, lettres, chiffres. Françoise Pollard, CPC Bièvre-Valloire Page 16