Mots clés : fractale, L-system, tortue, Sierpinski, cantor, dragon, Von Koch, Peano, Mandelbrot, Soddy, cercle apollonien

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1 "J'aime l'hiver où on voit l'âme des arbres."" La lecture de cette page nécessite Java et le plug-in Flash installés. Mots clés : fractale, L-system, tortue, Sierpinski, cantor, dragon, Von Koch, Peano, Mandelbrot, Soddy, cercle apollonien Une île : Les animations ci-dessus représentent, à des échelles différentes, l'île de Formentera et une portion de la côte. Déplacer avec la souris, "la main et le fil rouge" pour les amener à l'intérieur du cercle en contact avec la côte. En comparant avec l'échelle (segment jaune) répondre aux questions : Figure a : Figure b : La longueur de la côte est-elle inférieure à 5 km? La longueur de la côte est-elle supérieure à 5 km? Pour la même portion de côte, on a des résultats différents car le changement d'échelle fait apparaître plus de détails en b qu'en a. Le contour est plus "brisé" en b qu'en a. Et la longueur mesurée plus grande. A une échelle encore plus petite (10 m, 1m ou moins), le nombre de segments de la ligne brisée augmente encore et le périmètre de l'île tend vers l'"infini". Cette île, objet étrange, a une surface finie (les cultivateurs de l'île le savent) et un périmètre infini : c'est une forme fractale (latin fractus : brisé, irrégulier). Le flocon : L'île, objet naturel trop complexe, peut être modélisée par la courbe de Von Koch qui a des propriétés fractales.

2 Construction : Un segment initial (appelé axiome) est divisé en trois partie égales. Le segment central est remplacé par les deux côtés d'un triangle équilatéral de même longueur. L'opération peut être ensuite répété sur chaque segment (niveaux 2,3,4...) Cliquer sur les "niveaux". L est la longueur de l'axiome, compléter en indiquant la longueur de la courbe aux 3 premiers niveaux : Longueur de la courbe niveau 1 niveau 2 niveau 3 A chaque étape, le périmètre est multiplié par : 3 4 4/3 3/4 Choisir la réponse correcte. Si l'axiome fait un mètre, quelle sera la longueur de la courbe au niveau 4? La dimension fractale de la courbe se calcule par la relation : = Quelle est cette dimension fractale (sans unité)? On peut boucler la courbe de Von Koch sur elle-même pour obtenir le flocon de Koch, de même dimension fractale, qui peut être un modèle d'île. Cliquer sur l'applet pour la redessiner.

3 Dimension fractale Côte de la Grande-Bretagne 1,3 Frontière Portugal-Espagne 1,25 Côte de Norvège 1,5 Quelle est de ces trois lignes celle dont la dimension fractale est la plus proche de celle de l'île de Von Koch? Pourquoi la côte de Norvège a-t-elle la dimension fractale la plus grande? Un peu d'aléatoire : L'île de Von Koch est trop symétrique. Un peu de hasard dans l'applet ci-dessous qui dessine le triangle équilatéral de la courbe de Von Koch tantôt au dessus de la ligne, tantôt audessous donne une île moins symétrique avec des baies et des caps. Plus réaliste? Cliquer sur "niveau x" puis sur l'applet pour dessiner une île à votre goût. Le chou Romanescu : La courbe de Von Koch a une propriété fondamentale des fractales l'autosimilarité ou homothétie interne. Chaque fragment a la même structure qu'un fragment plus grand. Le chou Romanescu illustre cette propriété. L'applet ci-dessus (courbe de Von Koch avec un angle de 86 - fractale de Cesaro ) permet de planter un chou. obtenue. Couper le chou Romanescu dans sa plus grande longueur et observer la fractale

4 Le chou-fleur est formé de branches divisées en treize branches trois fois plus petites. Quelle est la dimension fractale du chou-fleur? La tortue : Un langage appelé système Lindenmayer ou L-system permet d'illustrer la structure fractale de certaines plantes (Lindenmayer est un biologiste). Un L-system simplifié est une grammaire formelle qui comprend : un axiome de départ (état initial) : un mot ou au moins une lettre. des constantes ex: 60 (angle de rotation) un alphabet : les variables du L-system F (forward) f (jump) déplacement sans laisser de trace + rotation dans le sens des aiguilles d'une montre - rotation dans le sens inverse [ mémorise une position ] restitue la dernière position mémorisée avec cet alphabet, on forme des mots. F-Ff+F est un mot des règles permettant de faire évoluer les mots. ex : F->F+F remplace F par F+F Les lettres du L-system peuvent être interprétés comme le déplacement d'une tortue. Cliquer sur les lettres ou signes de l'animation. La courbe de Von Koch est un exemple de L-system. Axiome : F Constante : 60 (angle de rotation) Règle : F->F-F++F-F Application : n=0 F avancée de F (axiome) n=1 F-F++F-F exécution de la règle n=2 F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F exécution de la règle...

5 Rentrer F-F++F-F (2ème membre de la règle) puis valider. Cliquer sur "niveau x" ensuite. Dans l'applet ci-contre, trouver la règle qui permet de planter un arbre. Cette règle utilise une fois toutes les lettres de l'alphabet sauf le f et : L'applet ci-dessous permet aussi de faire pousser des plantes.

6 Comment obtenir la belle ombellifère (fleur de carotte) virtuelle ci dessous? ou la graminée ci- contre Le dragon Dans la nouvelle "Jurassic Park" de Michael Crichton, les débuts de chapitre (appelés itérations) sont illustrés par une courbe appelée "courbe du dragon". Construction par pliage : Découper une bande de papier assez longue (ruban). La plier vers la droite en son milieu, puis recommencer autant de fois que possible l'opération. Déplier ensuite le ruban en conservant les angles à 90. (image wikipédia commons ) Certains arêtes se touchent. Les coller

7 Comparer avec la courbe rouge ci-dessus. Pour les malhabiles, utiliser l'applet ci-dessous ou faire tourner la courbe 3D avec la souris Quelle est la dimension fractale de la courbe du dragon? Le tamis, le tapis et la poussière Dans l'applet ci-contre, rentrer la règle F--F++F++F--F et passer aux niveaux élevés d'application de la règle. La figure obtenue est appelée Triangle ou Tamis de Sierpinski. est la différence? Comparer les deux images ci-dessus. La ressemblance est frappante. Mais où

8 Le carré ou Tapis de Sierpinski est obtenu par la méthode suivante : Axiome : un carré Règle : on divise en 9 carrés et on enlève le carré central. On répète la règle sur les huit carrés restants. L'applet ci-dessous permet de visualiser un Tapis de Sierpinski à partir d'une courbe de Peano (courbe fractale). On obtient aussi une poussière de Cantor par soustraction. Axiome : un segment Règle : On divise le segment en trois et on enlève le tiers central. On répète la règle sur les deux tiers restants. L'applet ci-dessous qui utilise la lettre f ( voir alphabet L-system) dans une de ses règles représente des poussières de Cantor. Quelle est la dimension fractale de la poussière de Cantor?

9 Observer la figure ci dessous. L'intersection de certaines lignes avec le Tapis de Sierpinski donne des Poussières de Cantor. Quelles sont ces lignes? La poussière de Cantor est sur le tapis de Sierpinski. Les poussières de Cantor ont servi de modèle pour l'étude des parasites sur les lignes téléphoniques (B.Mandelbrot). Les fractales (tapis ou tamis) de Sierpinski sont des modèles d'antennes pour les téléphones portables ou les GPS. La bave du crapaud : Un cercle apollonien est tangent à trois cercles eux même tangents entre eux. Le rayon de ce cercle peut être calculé par une équation dont la solution a été trouvée par F.Soddy (Prix Nobel de Chimie 1921). On l'appelle également cercle de Soddy. Du cercle obtenu, on peut également tracer un cercle tangent aux cercles voisins et ainsi de suite... On remplit de cette façon l'espace entre les cercles. Le résultat est appelé tamis apollonien à la structure fractale évidente.

10 Le résultat obtenu permet de modéliser une mousse, par exemple celle du savon formée de bulles constituant autant de cercles tangents. Dans l'applet ci-contre, cliquer sur le cercle gris au centre de la bulle de gauche pour gonfler/dégonfler la bulle. Cliquer sur l'applet pour changer (augmenter/diminuer) la profondeur de tracé de la fractale. Matériel : ordinateurs, un chou romanescu, un chou-fleur, des feuilles de papier, des ciseaux,un couteau, de la colle J'ai utilisé les codes sources Java de Jim Graham (Java Kit Dev. 1995) et de Peter Kraus que j'ai modifiés selon les besoins. Ces codes étaient disponibles et libres de droits.j'ai écrit le code de la mousse.