Fiche Systèmes d Équations Linéaires

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1 Fiche Systèmes d Équations Linéaires MOSE Septembre 2014 Table des matières Systèmes de 2 équations à 2 inconnues 1 Méthode des combinaisons linéaires Interprétation géométrique Méthode de Cramer Système de 3 équations à 3 inconnues (et plus) 4 Méthode du pivot de Gauss Interprétation géométrique Systèmes de 2 équations à 2 inconnues Partons d un exemple typique, le système { 5x y = 2 (S) 2x + 3y = 7 dont les deux inconnues x et y sont des quantités à déterminer, satisfaisant simultanément les deux égalités. Définition Un système est linéaire si les équations sont constituées de constantes et de combinaisons linéaires des inconnues. Rappelons qu une combinaison linéaire de plusieurs quantités, par exemple u, v, w est une expression de la forme αu + βv + γw, où α, β, γ sont des réels donnés. Le système { 5x 2 xy = 2 2 sin (x) + 3y = 7 est non-linéaire. Il contient des termes comme x 2, xy, sin (x) qui ne sont pas des termes de combinaisons linéaires. Les méthodes qui s appliquent à ses systèmes sont bien différentes, bien que la théorie linéaire constitue le point de départ. Notre cours n aborde pas de théorie non-linéaire. Le système { 5x + 3 y = 2 5y + x 1 + 2x + 3y = x y 2x

2 est un système linéaire, comme on peut en rencontrer en pratique, mais il n est pas bien présenté, du point de vue de sa résolution. Nous dirons dans ce cours qu un système est bien présenté si Toutes les inconnues sont à gauche et les constantes à droite. Chaque inconnue apparait au plus une fois sur chaque ligne. Les inconnues sont alignées verticalement. Exercice : Bien présenter le système ci-dessus. Méthode des combinaisons linéaires Cette méthode consiste à chercher une combinaison des lignes du système qui élimine une des inconnues. Par exemple si L 1 et L 2 sont les deux lignes de (S), on voit que la combinaison 3L 1 + L 2 élimine l inconnue y. On peut présenter les choses de la façon suivante 5x y = 2 3 2x +3y = 7 1 x = 13 Les termes de la nouvelle lignes viennent de 3 (5x) + 1 (2x) = x et 3 (2) + 1 (7) = 13. On cherche alors une autre combinaison qui élimine l inconnue x, en l occurrence la combinaison 2L 1 5L 2. Cela donne On en déduit que (L 1 ) (L 2 ) Réciproquement, on vérifie bien que 5x y = x +3y = x = 13 y = 31 x = 13 et y = 31 On a donc trouvé la solution unique du système (S) = = 7 Partant du système, on a tiré des conséquences nécessaires pour aboutir à la conclusion que x = 13 et y = 31. C est ce qu on appelle résoudre le système en raisonnant par implication. Ce mode de raisonnement est courant en théorie des équations. Une de ses propriétés générales est qu il ne peut pas perdre de solution du système, par contre il peut produire des fausses solutions qui ne vérifient pas le système initial. Lorsqu on résout un système par implications, il faut donc vérifier systématiquement que les solutions trouvées vérifient le système initial. Lorsque ce n est pas le cas, il peut s agir d une fausse solution à ignorer ou... d une erreur de calcul! Impossibilité. Dans cette méthode, il arrive parfois que les deux inconnues disparaissent simultanément dans une combinaison linéaire, par exemple dans le cas 3x 6y = 2 4 4x +8y = = 9 La nouvelle relation, qui est une conséquence du système, ne peut être satisfaite. On conclut que ce système n admet aucune solution. 2

3 Equations proportionelles. Lorsque les deux inconnues disparaissent simultanément, il arrive qu on voit apparaitre une équation triviale 0 = 0, comme dans le cas suivant 3x 6y = 9 4 4x +8y = = 0 La conclusion à en tirer est que les deux lignes du système sont proportionelles. Ici, L 2 = 4 3 L 1. Le système est alors équivalent à une seule des deux équations, l autre n apportant aucune contrainte supplémentaire sur les inconnues. Interprétation géométrique. ( x On interprète les valeurs inconnues x et y comme les coordonnées d un point P du plan cartésien. y) Propriété ( x Etant donné trois réels a, b, c, l ensemble E des points P du plan vérifiant l équation y) ax + by = c est une droite affine du plan, sauf si a = b = 0, auquel cas E peut valoir l ensemble vide (si c 0) ou le plan tout entier (si c = 0). En conséquence, lorsque les lignes sont non triviales, l ensemble des points solutions du système (S) est l intersection des deux droites affines définies par les deux équations du système. Figure 1 Interprétation géométrique de (S) Cela laisse peu de possibilités pour l ensemble des solutions : 1. Soit les droites sont concourantes en un point et (S) admet une solution unique (on pourrait dire que c est le cas générique) 2. Soit les droites sont parallèles non confondues, il n y a alors pas de point d intersection et donc pas de solution 3. Soit les droites sont confondues, il y a donc une infinité de solutions (une droite entière). Il faut ajouter à ce tableau le cas où il y a une équation de la forme 0 = C, ou C est une constante non nulle, qui rentre dans le cas pas de solution, et le cas où l une des équations, ou les deux, est de la forme 0 = 0, qui rentre dans le cas infinité de solution (une droite ou le plan tout entier). Méthode de Cramer Partons du système théorique suivant { ax + by = u (S t ) cx + dy = v 3

4 Définition On appelle déterminant de (S t ) le nombre det (S t ) = ad bc = a c La notation traditionelle sous forme d un tableau entre deux barres verticales (et non pas des parenthèses ou des crochets) constitue une mnémotechnique utile, la valeur du déterminant est le produit des termes de la diagonale descendante moins le produit des termes de la diagonale montante. b d Théorème Le système (S t ) admet une unique solution si et seulement si Cette unique solution est donnée par les formules de Cramer u b v d ud vb a u c v x = = et y = det (S t ) ad bc det (S t ) det (S t ) 0 (1) = va uc ad bc On se souvient facilement de ces formules si on remarque que les déterminants qui apparaissent aux numérateurs des formules ne sont autres que le déterminant de (S t ) dans lequel on remplace la colonne de x ou de y selon le cas par le second membre du système. Dans le cas du systéme (S) du début, la méthode de Cramer donne det (S) = = ( 1) = 0 Il y a donc une solution unique qui vaut x = = ( 1) = et y = = = 31 Ces formules s obtiennent facilement en appliquant la méthode des combinaisons linéaires au système abstrait : (L 1 ) (L 2 ) ax +by = u d c cx +dy = v b a (ad bc) x = ud vb (ad bc) y = va uc Lorsque le déterminant est nul, on en déduit l impossibilité du système ou la proportionalité des équations, donc aucune solution ou une infinité. Lorsque le déterminant est non nul, on vérifie que l unique solution obtenue n est pas une fausse solution (elle satisfait le système initial), d où le théorème. Dans le cas des systèmes 2x2, la méthode de Cramer est particulièrement conseillée dans les systèmes à paramètres, comme le montrent les feuilles d exercices. Système de 3 équations à 3 inconnues (et plus) A titre d exemple, intéressons nous au système bien présenté ci-dessous x + y + 7z = 1 (S) 2x y + 5z = 5 x 3y 9z = 5 Méthode du pivot de Gauss C est la méthode la plus efficace dans le cas général. Elle se présente sous une forme algorithmique qu on détaille ici. 4

5 Itérations. Étape 1 : On choisit à gauche du système un terme non nul qu on appelle terme pivot. On l encadre dans le système : x + y + 7z = 1 2x y + 5z = 5 x 3y 9z = 5 Ce choix arbitraire de terme pivot définit une ligne pivot (celle qui contient le terme pivot), une colonne pivot (idem) et une variable pivot (l inconnue qui est encadrée). Étape 2 : On ajoute à chacune des autres lignes un multiple de la ligne pivot, par exemple on peut écrire x +y +7z = 1 2x y +5z = 5 1p x 3y 9z = 5 3p pour signifier qu on va ajouter 1 fois la ligne pivot à la ligne 2, et 3 fois la ligne pivot à la ligne 3. Les multiples sont choisis de façon à éliminer la variable pivot dans ces lignes. Cette opération conduit au système x +y +7z = 1 3x +12z = 6 2x 12z = 8 Étape 3 = Étape 1 On recommence à choisir un terme pivot en suivant la règle suivante : ne jamais prendre deux fois un terme pivot dans la même ligne ou dans la même colonne. Naturellement, il faut toujours que le terme pivot soit non nul. x +y +7z = p 3x +12z = p 2x 12z = 8 On a indiqué ici à droite les opérations qu on s apprête à faire. Étape 2 le retour : On obtient maintenant +y +z = 3 6z = 6 2x 12z = 8 On voit le système se creuser peu à peu, avec de plus en plus de termes nuls. Étape 3 = Étape 1, encore On choisit le dernier pivot possible. Pour le bon fonctionnement de la méthode, il importe de répéter les étapes 1 et 2 jusqu à ce qu on ne puisse plus prendre de terme pivot. On prend soin de garder les pivots précédents entourés. 1 +y +z = 3 6 p 6z = 6 2x 12z = 8 2p Étape 2 Il reste maintenant +y = 4 6z = 6 2x = 4 5

6 Dans le déroulement des étapes 1 et 2, il peut apparaître une ligne de la forme 0 = C où C est une constante non nulle (par exemple 0 = 15). Une telle impossibilité, conséquence du système, indique alors que le système n a pas de solution. L algorithme s arrête. Il peut également apparaître des lignes triviales de la forme 0 = 0. On supprime ces lignes, ce qui fait qu il peut y avoir à l arrivée moins d équations qu au départ. Fin de l algorithme. Définition On appelle rang du système (S) le nombre maximal de termes pivots qu on peut prendre dans l algorithme du pivot. Ce rang est noté rg (S). Sur notre exemple, on a rg (S) = 3 Propriété Le rang est toujours au nombre d inconnues du système, et aussi au nombre d équations du système. Le rang ne dépend pas des termes pivots choisis. C est une propriété intrinsèque du système (et même de la seule partie gauche du système). Théorème Le système admet une solution unique si et seulement si il est possible et rg (S) = n, le nombre d inconnues initialement présentes. Théorème Si le système est possible et si rg (S) < n, le nombre initial d inconnues, il admet une infinité de solutions. Sur l exemple ci dessus, il y a une solution unique, qui est immédiatement lisible sur le système creux résultant (qu on appelle un système diagonal) : x = 2 y = 4 z = 1 On peut vérifier que ces valeurs satisfont bien le système initial, ce qui permet le cas échéant de détecter une erreur de calcul (si le système n est pas satisfait). En effet, la méthode du pivot ne peut pas produire de fausse solution, en vertu du théorème suivant : Théorème Les systèmes successivement déduits dans l algorithme du pivot sont tous équivalents entre eux, ce qui signifie qu ils ont tous exactement les mêmes ensembles de solutions. Une bonne nouvelle. Tout ce qui vient d être dit sur la méthode du pivot s applique en fait à un nombre quelconque d équations linéaires à un nombre quelconque d inconnues. Par exemple si un système de 9 équations à 7 inconnues s avère possible et de rang 5 par la méthode du pivot, on peut affirmer qu il a une infinité de solutions. Interprétation géométrique On peut considérer que les trois inconnues x, y, z sont les coordonnées d un point inconnu de l espace affine à 3 dimensions x P y R 3 z 6

7 Propriété Étant donné 4 réels a, b, c, d, tels qu on n ait pas a = b = c = 0, alors l ensemble E des points P de l espace dont les coordonnées vérifient ax + by + cz = d est un plan affine de l espace à 3 dimensions. Lorsque a = b = c = 0, on a E = si d 0, et E = R 3 si d = 0. S il n y a pas d équation impossible, ni d équation triviale 0 = 0, l ensemble des solutions du système (S) est donc l intersection de trois plans affines dans l espace. Or l intersection de 3 plans affines de l espace peut-être vide (si l intersection des deux premiers est parallèle au troisième) un point (c est le cas générique) une droite un plan (si les 3 plans sont confondus) Pour le système (S), cela signifie une fois de plus qu il peut n y avoir aucune solution, ou une solution unique, ou une infinité de solutions. Quand il y a une infinité de solutions, ce peut donc être une droite de solution, ou un plan de solution, ou bien tout l espace dans le cas du système trivial où il n y a que l équation 0 = 0. Dimension de l ensemble des solutions. Lorsqu un système est possible, la dimension de l ensemble des solutions est n rg (S), où n est le nombre d inconnues. Par exemple un système à 3 inconnues de rang 2 qui n est pas impossible a un ensemble de solutions de dimension 3 2 = 1, c est à dire une droite de solutions. 7