TD Optique ondulatoire

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1 TPC2 TD Optique ondulatoire Interférences en lumière monochromatique Exercice n o 1 : Modification de franges Comment sont modifiées les franges si : 1 le plan d observation est déplacé tout en le maintenant parallèle à lui-même? 2 le plan d observation tourne par rapport à un axe parallèle à S 1 S 2? 3 le plan d observation tourne par rapport à un axe perpendiculaire à S 1 S 2? Exercice n o 2 : Mesure de l indice optique d un gaz On considère un dispositif interférentiel de dédoublement d une source ponctuelle monochromatique. On dispose devant chacune des deux sources S 1 et S 2 deux tubes identiques de longueur L = 60 cm fermés par des lames à faces parallèles transparentes identiques. Ces deux tubes contiennent un même gaz d indice de réfraction n. La température du gaz contenu dans un tube varie légèrement ; l indice de réfraction du gaz varie de n. Les franges se déplacent vers le bas de un interfrange. Déterminer en fonction des données la valeur et le signe de n. Exercice n o 3 : Mesure d indice d un gaz On considère le montage de fentes d Young représenté sur la figure. S est au foyer objet de L 1. C 1 et C 2 sont deux cuves transparentes de même longueur intérieure l, et approximativement identiques (même épaisseur des faces). Initialement elles sont remplies d air dans les mêmes conditions. 1 On vide la cuve C 2. Dans quel sens se déplacent les franges sur l écran? 2 On remplit C 2 par du gaz ammoniac. Le déplacement des franges (opération 1 + opération 2) est de 17 franges vers le bas. Déterminer la différence des indices de l air et du gaz. Données : l = 10 cm ; λ = 589 nm. Exercice n o 4 : Expérience de Fizeau 1

2 Une fente fine S, source de lumière monochromatique de longueur d onde dans le vide λ 0 = 0, 5893 µm, est placée à égale distance de deux fentes fines S 1 et S 2, parallèles entre elles et à S, percées dans un écran (e) et dont l écartement est a = 1 mm. 1 Un écran (E) est placé normalement à l axe à une distance D = 2 m de (e). Qu observe-t-on alors? Calculer l interfrange. 2 Sur le trajet des rayons issus de S 1, on place un tube T fermé par deux lames transparentes parallèles suffisamment grandes pour être traversées par les rayons issus de S 2. Qu observe-t-on lorsque le tube est rempli d air à température ambiante? 3 On fait le vide dans le tube T. Que devient le système de franges précédent? 4 On veut déterminer l indice de l air dans les conditions de l expérience. Calculer celui-ci sachant que la longueur du tube T est l = 20 cm, que pendant le pompage, 99 franges brillantes ont défilé au centre O de la figure d interférences initiales et que, l opération terminée, on observe en ce point une frange sombre. 5 Avec quelle précision cet indice est-il déterminé, sachant qu on apprécie la position des franges à 1/4 d interfrange près? Exercice n o 5 : Interférence de deux ondes partiellement cohérentes Un système interférentiel produit, à partir d une source ponctuelle S, deux ondes de même intensité qui interfèrent sur un écran. La structure temporelle de la source est décrite par un modèle de trains d ondes, de même fréquence ν, de même durée τ c, et de même amplitude. 1 En un point M de l écran, la différence de marche est δ(m). Déterminer la valeur moyenne du déphasage φ en fonction de δ(m) et de longueur de cohérence l c. 2 En déduire l expression du contraste au voisinage de M. 3 Comment évolue le contraste sur la figure d interférences si elle comporte de nombreuses franges? Exercice n o 6 : Dispositif des trous d Young avec lentilles On reprend le dispositif des trous d Young S 1 S 2 = a en rajoutant deux lentilles. On utilise d abord une source ponctuelle monochromatique S en F 1, foyer objet de L 1. 1 Calculer la différence de marche optique au point M de l écran, plan focal image de L 2. Qu observet-on sur l écran? 2 On déplace la source S en Φ 1. Calculer la nouvelle différence de marche optique au point M. Qu observe-t-on sur l écran? 3 Supposons maintenant que nous ayons deux sources ponctuelles en F 1 et en Φ 1, qu observe-t-on? À quelle condition les franges d interférences ne se brouillent-elles pas? 2

3 Exercice n o 7 : Deux sources et deux miroirs S 1 et S 2 sont deux sources ponctuelles monochromatiques (λ) incohérentes (de même intensité et symétriques par rapport à l axe (Oz), HS 1 = HS 2 = a). On suppose que l écran opaque (E) élimine seulement toute la lumière directe. Qu observe-t-on sur l écran en M au voisinage de O tel que OM = x?d = HO >> d (2d distance entre les deux miroirs)? Exercice n o 8 : Interféromètre à deux sources incohérentes entre deux miroirs parallèles On considère le système interférentiel suivant : deux sources S 1 et S 2, distantes de 2d, sont placées symétriquement de part et d autre d un axe (Ox) ; on dispose également deux miroirs M 1 et M 2 parallèles à (Ox) et symétriques par rapport à ce même axe, les deux miroirs étant distants de 2D. Enfin, on place un obturateur de façon à "bloquer" la lumière directe des deux sources pouvant illuminer un écran d observation E placé perpendiculairement à l axe (Ox) et à la distance L des deux sources. On suppose que les miroirs sont imparfaits, de sorte que les faisceaux réfléchis par les miroirs perdent en intensité lumineuse et on négligera l amplitude des ondes portées par des rayons ayant subi plus d un réflexion. 1 Décrire les ondes qui arrivent en un point M de l écran. 2 Donner l expression de l éclairement observé sur l écran. 3 Quel est l aspect de la figure d interférence? Donner l expression de l interfrange et du contraste des franges. 4 Étudier, en fonction de L, la variation de la figure d interférence. Justifier les expressions de "franges parfaitement visibles" et de "franges complètement brouillées". 3

4 Exercice n o 9 : Fentes d Young éclairées par une source non ponctuelle On reprend le dispositif des fentes d Young dont les fentes sont espacées de la distance S 1 S 2 = a, et éclairées au moyen d une fente source étendue de largeur 2b centrée sur l axe de symétrie du dispositif interférentiel. 1 Soit S un point de la source étendue d abscisse x émettant une radiation s = a 1 e iωt. Calculer la différence de phase δ en M(x) des ondes reçues. 2 Calculer alors l intensité en un point M de l écran créée par l élément de source autour de S. 3 Calculer l intensité créée par l ensemble de la source étendue en un point M de l écran. 4 L expression de cette figure d interférence diffère de l expression classique par un terme V (b) en sinus cardinal. Donner, en fonction de V, l expression du contraste C. 5 Décrire les variations de C en fonction de b. Décrire le phénomène observé lorsqu on fait varier b. Pour quelle valeur de b obtient-on pour la première fois la disparition du système de franges. Retrouver ce résultat sans calcul. Exercice n o 10 : Source inhomogène S est une source rectangulaire dans le plan (O xy) centrée sur O. Elle est de hauteur 2X 0 suivant x et de largeur l suivant y. Un système optique donne de S deux images égales, S 1 et S 2 ; incluses dans un même plan, "parallèles" à S et à même distance a/2 de l axe des z. 1 Un point P de coordonnées (X, Y ) émet une radiation dont l intensité est I 0 cos(πx/2x 0 ). Donner l expression de l intensité lumineuse produite au point M(x, y) du plan d observation. 2 Donner l expression du contraste et étudier ses variations en fonction de X 0. 3 Décrire le phénomène quand on fait varier X 0. Exercice n o 11 : Fentes d Young à 3 fentes On reprend le dispositif classique des fentes d Young mais avec 3 fentes distantes de a. 1 Calculer I(x) en fonction des données du problème. 2 Représenter la courbe I(x). 4

5 Exercice n o 12 : Interférence de trois ondes Le prisme est taillé dans un verre d indice n et l angle A est très petit. L onde incidente est plane monochromatique de longueur d onde λ. L incidence est normale sur la face d entrée. Les intensités des trois ondes sont égales. 1 Déterminer, en un point quelconque, les rapports des amplitudes complexes s 1 /s 2 et s 3 /s 2. 2 Déterminer l intensité en un point M de l écran. Exercice n o 13 : Interférences par réflexion sur les faces d un prisme On éclaire à l aide d une onde monochromatique de longueur d onde λ, le prisme ABC en verre d indice n et on observe le système de franges dû à la réflexion sur les faces AB et AC. Le plan de la figure est le plan d incidence. 1 Pourquoi observe-t-on les franges par réflexion plutôt que par transmission? 2 On pose x = AM. Calculer la différence de marche δ en un point M de la face AB, en fonction de x, α, β et n. Donner une expression simplifiée pour β petit. 3 Calculer l interfrange sur la face AB sachant que : α = 0 ; β = 3 min ; λ = 500 nm ; n = 1, On élargit la source, les conditions de l expérience étant les mêmes que précédemment. Quelle dimension angulaire de la source peut être tolérée, si la valeur maximale de x est de 50 mm? On admettra que le contraste des franges est encore acceptable si, en un point, la variation de δ est inférieure à λ/4. Construire la surface de localisation des franges. Exercice n o 14 : Interférence des ondes incidentes et réfléchies sur un miroir Une onde plane monochromatique arrive sur un miroir plan M avec un angle d incidence proche de π/2. 1 Quelles ondes sont susceptibles d interférer? Définir la zone où sont localisées ces interférences? 2 Calculer l éclairement dans cette zone d interférence. 3 Qu observe-t-on si on place un écran parallèlement au miroir? si on place un écran perpendiculairement au miroir? 5

6 Exercice n o 15 : Miroirs de Fresnel éclairés par une source ponctuelle à distance finie On considère le dispositif des miroirs de Fresnel, constitué des deux miroirs plans M 1 et M 2 se coupant suivant l arête (passant par O et perpendiculaire à la figure) et faisant un très petit angle entre eux. Ils sont éclairés par une source ponctuelle monochromatique à distance finie, SO = d. Soit M un point du plan de la figure suffisamment loin de l arête des deux miroirs et OM peu incliné par rapport aux miroirs. Tracer les rayons issus de la source qui interfèrent en M, après réflexion sur chacun des miroirs. Tracer le champ d interférences. Qu observe-t-on sur un écran placé perpendiculairement aux deux miroirs? Exercice n o 16 : Miroirs de Fresnel éclairés par une onde plane On considère le dispositif des miroirs de Fresnel, constitué des deux miroirs plans M 1 et M 2 se coupant suivant l arête (Oz). Ils sont éclairés par une source ponctuelle monochromatique (λ) ponctuelle à l infini, ou un faisceau laser, dans la direction u i appartenant au plan (Oxy). Soit M un point du plan (Oxy). Tracer les rayons issus de la source qui interfèrent en M, après réflexion sur chacun des miroirs. Calculer le déphasage correspondant au point M en fonction de θ i et α. Exercice n o 17 : Miroir de Lloyd Une fente source S est disposée à une hauteur h = 1, 5 mm au-dessus d un miroir plan dont les bords rectilignes A et B sont parallèles à la fente. On forme avec un objectif de microscope de focale f = 4 mm une image du plan (P ) passant par B perpendiculaire au miroir sur un écran (E) situé à la distance d = 16 cm de l objectif. La fente est éclairée en lumière monochromatique de longueur d onde λ = 0, 5 µm. AB = l = 5 cm ; CA = p = 15 cm. Décrire complètement le système de franges d interférence dans le plan de l écran. N essaie pas que ce qui arrive arrive comme tu veux, mais veux ce qui arrive comme il arrive, et tu couleras des jours heureux. Épictète. 6