Statistique n 1 Susanna Davoust

Transcription

1 CORRECTION de la Conférence du 28 Septembre 2010 Statistique n 1 Susanna Davoust Question de Statistiques Section I : -16. Statistique descriptive : estimation des paramètres d une population, intervalle de confiance d une moyenne et d une proportion -17. Test paramétriques de comparaison : -Comparaison unilatérale ou bilatérale : -de deux variances observées -d une moyenne observées à une valeur théorique -de deux moyennes observées -Comparaison unilatérale ou bilatérale dans le cas de grands échantillons : -d une proportion observée à une proportion théorique -de deux proportions observées -18. Tests de liaison : -Régression linéaire : estimation et intervalle de confiance de la pente et de l ordonnée à l origine. Comparaison à une valeur théorique de la pente et de l ordonnée à l origine. -Corrélation linéaire : estimation et test du coefficient de corrélation (r). -Test du Chi-deux d indépendance. Exercice 1 : Calcul des différents paramètres : -Femmes Début Fin Différences Hommes Début Fin Différences Femmes : n f =8 Hommes : n h =12 =4kg = 4,5714 kg donc s=2,138kg =4,5kg = 17,364 kg donc s=4,167kg Test de comparaison de deux moyennes observées, petits échantillons (n A et/ou n B 30) H 0 : μ 0 : le régime n est pas efficace. (la différence de poids n est pas significativement différente de 0) H 1 : μ 0 : le régime est efficace. (la différence de poids est significativement différente de 0) Sous H 0,, ~ S(n-1) Condition de validité D~ N( ; ) dans la population -Chez la femme : On réalise un test unilatéral. Au risque 5%, on lit, =1,895 dans la table de la loi de Student =5,292 ; 1,895, On conclut H 1 au risque α=0,05. Le régime est efficace chez la femme. -Chez l homme : On réalise un test unilatéral. Au risque 5%, on lit, =1,796 dans la table de la loi de Student, =3,741 ; 1,796, On conclut H 1 au risque α=0,05. Le régime est efficace chez l homme.

2 Exercice 2 : Effectif de l échantillon n=100 Proportion théorique p th =0,30 Proportion observée p ob =0,41 Test de comparaison d une proportion observée à une théorique : Hypothèse : H 0 : la proportion théorique de guérison sous traitement est égale à celle sans traitement. H 1 : la proportion théorique de guérison sous traitement n est pas égale à celle sans traitement. Sous H 0, ~ N(0 ;1) Conditions de validité de la loi normale : n*p th = 100*0,3 = 30 5 et n *(1-p th ) = 100*0,7 = 70 5 On réalise un test bilatéral. Au risque α=0,05, on lit u α =1,96 dans la table de la loi normale centrée réduite,, = 2,4 1,96 ; 1,96,, On conclut H 1 au risque α=0,05. La fréquence de guérison avec traitement est significativement différente de la fréquence de guérison sans traitement. Ce type de question peut aussi être traité en réalisant un test équivalent, Test du χ 2 d ajustement entre une proportion observée à une théorique connue: Hypothèse : H 0 : la proportion théorique de guérison sous traitement est égale à celle sans traitement. H 1 : la proportion théorique de guérison sous traitement n est pas égale à celle sans traitement. Guérison oui Pas guérison Effectifs observés (0 i ) 0,41*100= Effectifs théoriques (C i ) Sous H 0, χ2 ~ χ 2 à k-1 degré de liberté soit 1ddl K = 5,762 > 3,841 (lu dans la table de la loi du χ 2 ) On conclut H 1 au risque α=0,05. La fréquence de guérison avec traitement est significativement différente de la fréquence de guérison sans traitement (degré de signification p<0,02) Remarque : il y a une équivalence entre les deux tests : z 2 = χ 2 (2,4 2 =5,76 et 1,96 2 =3,84) Exercice 3: 1) Effectif de port de lunettes dans le secondaire : n l =100 Effectif total dans le secondaire : n t = = 230 Cas de variables qualitatives Estimation de la proportion de sujets portant des lunettes chez les sujet de niveau d étude secondaire p ob = =0,43 Intervalle de confiance d une proportion théorique IC 1-α (p)=[p ob u α ; p ob + u α ] = [p i ; p s ]

3 Conditions de validité : np i ; np s ; n(1-p i ) ; n(1-p s ) 5,,,, IC 95% (p)=[0,43 1,96 ; 0,43 + 1,96 ] = [0,37 ;0,49] 2) Comparaison d une répartition observée à la répartition théorique : Je l avoue la formulation de la question était un peu ambigüe (d où le débat ) de toutes façons, si on pose bien ses hypothèses et qu on ne va pas à l encontre de l intitulé du problème, ça devrait passer. Donc ma vision initiale du problème était de traiter le problème comme un test d homogénéité simple en ne m intéressant qu à la modalité lunettes. A ce moment là, le seul changement par rapport à l exercice précédent est obtention des effectifs théoriques qui seront ici calculés. Hypothèse : H 0 : la proportion théorique de sujets portant des lunettes ne varie pas avec le niveau d étude H 1 : la proportion théorique de sujets portant des lunettes varie avec le niveau d étude Lunettes Primaire Secondaire Supérieur Tous niveaux Effectifs observés Effectifs théoriques 160x160/530=48,3 230x160/530=69,4 140x160/530=42,3 160 Effectifs Total Sous H 0, 2 ~ χ 2 à (c-1)(l-1) degré de liberté soit 2ddl,,,,, 45,26> 5,991 (lu dans la table de la loi du χ 2 ), On conclut H 1 au risque α=0,05. La proportion de sujets portant des lunettes varie avec le niveau d étude.(elle est significativement différente pour au moins un niveau) Deuxième option qui est peut être préférable après réflexion, c est de s intéresser à la dépendance entre deux variables qualitatives à plusieurs modalités : Test d indépendance (tableau de contingence) H 0 : indépendance entre le niveau d étude et l état de la vue (port de lunette ou non) H 1 : dépendance entre le niveau d étude et l état de la vue Primaire Secondaire Supérieur Tous niveaux Lunettes 10 (48,3) 100 (69,4) 50 (42,3) 160 Pas de lunettes 150 (111,7) 130 (160,6) 90 (97,7) 370 Effectifs Total Sous H 0, χ2 ~ χ 2 à (c-1)(l-1) degré de liberté soit 2ddl K,, loi du χ 2 ),,,,,,,, 64,83> 5,991 (lu dans la table de la,, On conclut H 1 au risque α=0,05. Il existe une dépendance entre le niveau d étude et l état de la vue. Rq : petit point sur le test du khi2 test d ajustement/de conformité/d adéquation On connait, sur un échantillon, une distribution, et on se pose la question de savoir si cette distribution est conforme à une certaine loi. On compare donc une distribution observée (pop test d homogénéité On connait, sur plusieurs échantillons, plusieurs distributions, et, on se pose la question de savoir si ces distributions sont semblables. On compare donc plusieurs distributions Test d indépendance On a classé les individus d un échantillon suivant deux caractères à plusieurs modalités et on dénombre ceux qui présentent une certaine modalité de ces deux caractères. On pose la question de

4 inconnue) à une distribution théorique. observées (population inconnues) savoir si ces deux caractères sont indépendants Entre une expérience et un modèle Entre deux ou plus expériences Entre deux ou plus expériences H 0 : pas de différence entre les distributions observée et théorique (conformité, adéquation) H 1 : différence (non-conformité, nonadéquation) H 0 : Les distributions observées sont identique (homogénéité de répartition) H 1 : distribution ne sont pas identique (non-homogénéité) H 0 : indépendance entre les deux variables H 1 : dépendance entre les deux variables t pour théorique c pour calculé Exemple : exercice 2 Exemple exercice 4 Exemple exercice 3 Exercice 4: Bon, voilà, de retour au calme, j ai trouvé d où j avais sortie cette formule donc la méthode qui me parait être la plus simple est la suivante : (je ne l ai pas inventé, elle est utilisé pour les essais cliniques) 1) Test de comparaison de deux proportions observées sur des séries appariées (les sujets sont pris comme leurs propres témoins) H 0 : Les proportions théoriques avec les traitements A et B sont égales H 1 : Les proportions théoriques avec les traitements A et B sont différentes On note : a : nombre d individus pour lesquels A est un succès, B un échec (A+B-) b : nombre d individus pour lesquels A est un échec, B un succès (A-B+) On s intéresse au nombre de cas où la réponse aux traitements diffère. En effet une réponse A+B+ ou A-Bn apporte rien dans la différenciation en terme d efficacité des deux traitements. Sous H 0, z= ~ N(0 ;1) Conditions de validité : a+b 10 Test bilatéral : Z c = =1,103 1,96 ; 1,96 Au risque α=0,05, on ne rejette pas H 0, on ne peut donc pas conclure à une différence d efficacité entre les traitements A et B. Rq : on aurait pu utiliser un test de χ 2 d homogénéité sur séries appariées : H 0 : «désaccord» de réponse lié au hasard ; les traitements sont équivalents entre eux H 1 : la différence est significative et non liée au hasard ; les traitements ne sont pas équivalents A+B- A-B+ Effectifs observés Effectifs calculés 92,5 92,5 ~ χ2 à c 1l 1 degré de liberté soit 1ddl, K c =, 1,216 > 3,841 (lu dans la table de la loi du χ 2 ),, En décomposant on a : Ainsi, la encore on constate que les deux méthodes sont équivalentes avec z(=1,103)=k c (=1,216)

5 Attention nuance, si la question avait été de savoir si la réponse aux deux traitements été liée, on aurait alors fait un test d indépendance sur l ensemble du tableau : Test de χ 2 d homogénéité : H 0 : Réponse aux deux traitements sont indépendantes H 1 : Réponse aux deux traitements sont liées ~ χ2 à c 1l 1 degré de liberté soit 2ddl Dans le cas d un tableau de contingence à 2X2, on peut simplifier : =0,43< 5,991 Au risque de 5%, on ne peut rejeter H 0. Les réponses aux traitements sont indépendantes (nuance avec l équivalence assez intéressante!) 2) Idem pour les groupe I et II Groupe I : z c =-0,084 1,96 ; 1,96 Au risque α=0,05, on ne rejette pas H 0, on ne peut donc pas conclure à une différence d efficacité entre les traitements A et B pour les sujets dont l année de naissance est paire Groupe II : z c =2,412 1,96 ; 1,96 Au risque α=0,05, on conclut H 1, les traitements A et B ont des efficacités différentes pour les sujets dont l année de naissance est impaire. Il faut donc se méfier des découpages abusifs en sous groupes Exercice 5 : 1) Test de comparaison de deux moyennes observées, grands échantillons (n A et n B 30) H 0 : μ μ : les survies moyennes théoriques en heures sont égales avec les traitements A et B H 1 : μ μ : les survies moyennes théoriques en heures sont différentes avec les traitements A et B Sous H 0, z= ~ N(0 ;1) Test bilatéral : Z c = =-2,58 1,96 ; 1,96 Au risque α=0,05, on conclut H 1. Les durées de survie moyennes avec le traitement A et le B sont significativement différentes. Exercice 6 : 1) Calcul des variances : On note : x Ai et x Bi les concentrations en théophylline respectivement aux températures T A et T B pour le i ème prélèvement. Variances observée des concentrations à T A : s A = x Ai n A *) idem pour T B Avec A= 15,3 g/l ; x Ai= =2147 (g/l) d où s A = ,3 8,456 (g/l) et B=18,5 g/l ; x Ai=3477 (g/l) d où s B =6,056 (g/l) Test de comparaison de deux variances observées: H 0 : σ les variances théoriques σ et σ sont égales H 1 : σ les variances théoriques σ et σ sont différentes

6 Sous H 0, = ~ F à n A-1 et n B -1 ddl, soit 9 et 9ddl. Conditions de validité : la concentration en théophylline suit une loi normale dans les deux populations. On réalise un test bilatéral, F c =, = 1,40 <,,,=4,03 (lire dans la table unilatérale de la loi de Fischer α/2=0,025). Au risque α=0,05 on ne peut pas conclure à une différence entre les variances des concentrations en théophylline à T A et T B. 2) Test de comparaison de deux moyennes observées cas de petits échantillons (n A et/ou n B < 30) H 0 : μ μ : les concentrations moyennes théoriques en théophylline à T A et T B sont égales H 0 : μ μ : la concentration moyenne théorique en théophylline à T A est supérieure à celle à T B Sous H 0, ~ student à n A +n B -2 ddl soit 18ddl Où s c est l estimation de la variance commune :,, 7,256 Conditions de validité : -les concentrations en théophylline suivent une loi normale dans chaque population -les variances théoriques des concentrations en théophylline sont égales dans les deux populations (voir le test de comparaison de deux variances observées en question 1 ) Test unilatérale (A > B),,,, loi de Student) 2,656 1,734; 1,734 (t 18ddl,α=0,05, unilatérale = t 18ddl,α=0,10, bilatérale = 1,734 lu dans la table de la On conclut H 1 au risque α=0,05 les concentrations moyennes en théophylline à T A et T B sont significativement différentes.