CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ

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1 CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ DE MATHÉMATIQUES Exercice 1 (5 points) : 1/10

2 Exercice 2 (Pondichéry, avril 2013) (5 points) : 1. Construisez un arbre pondéré décrivant la situation. En référence aux données de l'énoncé, on peut construire l'arbre de probabilité ci dessous. 2/10

3 2. Calculez P( L C ). P( L C )=P( L ) P L (C )=0,55 0,95=0, Montrez que P(C )=0,5675. Au regard de la propriété des probabilités P (C)=P(L L )+P ( L C )=0,55 0,95+0,45 0,1=0,5675. totales, nous avons 4. Calculez PC (L ). P ( L C ) 0,5225 PC (L )= = 0,9207 P (C ) 0, On interroge successivement quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l établissement. On admet que le nombre de lycéens est suffisamment grand pour que ces choix soient assimilés à des tirages indépendants avec remise. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l année scolaire. a. Quelle est la loi de probabilités de X? Précisez les paramètres de cette loi. Le choix des quatre élèves peut être considéré comme la répétition de quatre expériences identiques (avec remise) et indépendantes (mot directement dans énoncé), la loi de probabilité de la variable aléatoire X est donc la loi binomiale de paramètres 4 et P(C)=0,5675. b. Calculez la probabilité qu aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l année scolaire. P( X =0 )=(1 0,5675) 4 0,0350 c. Calculez la probabilité qu exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l année scolaire. P(X =2)= 4 0, ( 1 0,5675) 2 calculatrice 0, () d. Calculez la probabilité qu au plus deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l année scolaire. P( X 2) calculatrice 0,5801 3/10

4 Exercice 3 (réservé aux élèves n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Polynésie, juin 2013) (5 points) : 1. Montrer que le taux d évolution annuel moyen des montants à l exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011 est 8,06% arrondi au centième par défaut. Notons tm ce taux d'évolution moyen de 2008 à 2011 en pourcentage (trois années), on a alors t m tm (1+ )= =( ) soit t m=100 [( soit 1+ ) 1] calcualtrice = 8,06 à par défaut. 2. a. Donnez la nature de la suite (u n). Une baisse relative de 8% chaque année revient à être multiplié chaque année par 0,92. Par définition, la suite (un) est la suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme u0 = b. Exprimez, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n. En référence au cours sur les suites géométriques, on déduit que pour n entier, on a n u n= ,92. c. Avec ce modèle, quel montant peut on prévoir pour l exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016? On arrondira le résultat au millier d euros. Répondre à cette question revient à calculer u5. Avec la calculatrice, u 5= , L exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 sera d'environ milliers d euros. 3. On considère l algorithme suivant dont l'objectif est de déterminer à partir de quelle année les montants deviennent inférieurs ou égaux à une valeur «seuil» paramétrable avec la variable notée P. Une ligne a été oubliée dans cet algorithme pour qu'il soit fonctionnel. a. Écrivez sur votre copie la ligne oubliée. Affecter la valeur N+1 à la variable N b. Si on saisit P = en entrée, qu obtient on en sortie par cet algorithme? Interprétez ce résultat dans le contexte de la production de perles. On obtient N=2014 ce qui signifie qu'à partir de 2 014, l exportation des produits perliers de Polynésie Française sera en deçà de 50 millions d euros. 4. Calculez le montant cumulé des produits perliers exportés que l on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d euros (la réponse doit être justifiée par des propriétés sur les suites géométriques, la calculatrice et les listes ne pouvant servir que de vérification). Au regard de la propriété sur la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique, on a que 4/10

5 1 0, Le montant cumulé des produits perliers exportés 1 0,92 calculatrice que l on peut prévoir sera donc d'environ milliers d euros. u0 +u u 8 +u 9 =u0 Exercice 3 (réservé aux élèves ayant suivi l enseignement de spécialité) (5 points) : Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France : Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z). 1. Pour cette question, on justifiera chaque réponse. a. Déterminez l'ordre du graphe. L'ordre du graphe est le nombre de sommets présents dans le graphe. L'ordre de ce graphe est donc 9. b. Déterminez si le graphe est connexe. Tout couple de sommets de ce graphe est relié par au moins une chaîne ; par définition, ce graphe est connexe. c. Déterminez si le graphe est complet. Les sommets T et V ne sont pas reliés par une arête ; par définition, ce graphe n'est pas complet. 2. Un touriste atterrit à l'aéroport de Lyon et loue une voiture. Déterminez, en justifiant, s'il pourra visiter toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque autoroute. Les sommets B,R et C sont de degré 3. En référence au lien dans les graphes connexes entre la parité des degrés des sommets et l'existence de chaînes eulériennes, nous en déduisons qu'un tel parcours n'est pas possible. 3. Il décide finalement d'aller seulement de Lyon à Biarritz. On note N la matrice associée au graphe, les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique : B, C, L, M, P, R, T, V, Z. 5/10

6 Voici les matrices N et N 3 : a. En détaillant le calcul, déterminez le coefficient de la troisième ligne et dernière colonne de la matrice N4. On multiplie successivement les termes de la troisième ligne de N par les termes de la dernière colonne de N 3. On obtient =4. b. En donnez une interprétation. Cela nous donne le nombre de chaînes de longueur 4 joignant les sommets L et Z ; autrement dit, il existe exactement quatre trajets entre Lyon et Biarritz comprenant exactement quatre tronçons d'autoroute. 4. Sur les arêtes du graphe sont maintenant indiqués les prix des péages en euro. a. À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminez le chemin que doit prendre le touriste pour minimiser le coût des péages de Lyon à Biarritz. 6/10

7 Étape 1 Étape 2 Étape 3 Étape 4 Étape 5 Étape 6 Étape 7 Étape 8 Étape 9 L 0 V C M P R T B (L ; 7,1) (L ; 10,7) (L ; 10,7) (V ; 22,8) (V ; 23,3) (V ; 22,8) (C ; 19,3) (C ; 22,2) (V ; 22,8) (C ; 22,2) (P ; 38,9) (V ; 22,8) (R ; 36,8) (R ; 33,7) (R ; 36,8) (R ; 33,7) (R ; 36,8) (B (B Un trajet possible est L-C-R-B-Z avec un poids de 38,1. b. Déterminez ce coût en euro. Le coût minimum en péage pour ce trajet sera donc de 38,10 euros. 7/10 Z ; 38,1) ; 38,1)

8 Exercice 4 (5 points) : 8/10

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