Spectroscopie des solides

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1 Spectroscopie des solides 7.1 Structures de bande Voici les structures de bande de deux matériaux, A et B. Dans les deux cas, la ligne horizontale représente le niveau de Fermi et les énergies sont données en Rydberg. 1. Donner la nature de ces deux matériaux (isolant, semi-conducteur, métal) et, 1

2 7.4 Densité d états du graphène 2 s il y a lieu, identifier la nature du gap (direct ou indirect). 2. Indiquer, pour chacun, les deux transitions optiques de plus basse énergie et déterminer les énergies de ces transitions. 3. Tracer un schéma approximatif du spectre de réflexion OU de transmission (celui que vous jugerez le plus pertinent) entre 300 et 900 nm. Décrire l apparence visuelle que prennent ces deux matériaux. 7.2 Matériaux à gap direct et indirect Pour ces deux types de matériaux, 1. tracer la structure des bandes de valence et de conduction et indiquer sur votre schéma les quantités importantes; 2. comparer les mécanismes d absorption et discuter de leurs efficacités; 3. expliquer pourquoi le Si est le matériau le plus utilisé pour la détection. Pour un matériau à gap direct seulement, 4. tracer la structure de bande excitonique et indiquer sur votre schéma les quantités importantes. Indiquer sur le schéma une transition optique possible. Note : Considérer des matériaux dont la dispersion des bandes est parabolique. 7.3 Densité d états Calculer les densités d états associées à une bande parabolique et un confinement 0D (matériau massif), 1D (puits quantique), et 2D (fils quantique). Finalement, calculer la densité d états associés à un confinement 3D (boîte quantique). 7.4 Densité d états du graphène Le graphène est une monocouche d atomes de carbone. La dispersion de la bande de conduction est E c (k) = v f k et celle de la bande de valence est E v (k) = v f k. Curieusement, le gap est nul. Une structure de bande simplifiée ne représentant que la bande de valence et la première bande de conduction est représentée à la figure suivante.

3 7.6 Structure de bandes d un élément mystère 3 E k k 1. Indiquer les transitions générées par un photon d énergie ω. 2. Ce matériau devrait-il présenter des effets excitoniques importants? 3. Calculer la densité d états jointe. 4. Donner le profil de la courbe d absorption en fonction de l énergie de la radiation incidente. 7.5 Couplage spin-orbite Dans plusieurs matériaux semi-conducteurs, la bande de valence est formée d orbitales p (l = 1). Couplé au spin électronique, les six états possibles pour un électron sont, à l aide de la notation m l, m s, 1, 1 2, 1, 1 2, 0, 1 2, 0, 1 2, 1, 1 2, 1, 1. 2 En l absence de couplage entre le moment angulaire et le spin, ces six états sont dégénérés. Le couplage spin-orbite lève cette dégénérescence et altère les états électroniques. L hamiltonien décrivant cet effet prend la forme H so = as l, où s = s x ˆx + s y ŷ + s z ẑ et l = l x ˆx + l y ŷ + l z ẑ. 1. Donner la forme matricielle de cet hamiltonien. 2. Déterminer les énergies et leurs dégénérescences. 3. Déterminer les vecteurs propres. 4. Identifier ces vecteurs propres à l aide de la notation J, m J, où J est le moment angulaire total et m J est sa projection. 5. Discuter de l importance de ce couplage pour les matériaux semi-conducteurs suivants : AlP, GaAs, InSb. 7.6 Structure de bandes d un élément mystère Voici une structure de bandes.

4 7.7 Structure de bandes du matériau 2D 4 1. Décrire la nature de ce matériau (isolant, semi-conducteur, métal). 2. Décrire l apparence visuelle de ce matériau. Expliquer votre raisonnement. 7.7 Structure de bandes du matériau 2D Un matériau 2D est un matériau composé d un seul feuillet d atomes. Il est impossible de fabriquer des matériaux plus minces! Voici la structure de bandes de la monocouche (un feuillet seulement) et de la bicouche (deux feuillets) de MoS 2. Le niveau de Fermi est à E = 0 Recopier les parties pertinentes de ces structures de bandes dans votre cahier d examen et y indiquer, pour la monocouche et la bicouche, 1. la nature du gap (direct ou indirect); 2. la transition optique de plus faible énergie.

5 7.8 Règles de sélection pour le GaAs Règles de sélection pour le GaAs Note : Pour simplifier ce problème, négligez le couplage spin-orbite et faites abstraction du spin électronique. Le GaAs est un matériau semi-conducteur dont les états électroniques au centre de la première zone de Brillouin (au point Γ) se décomposent selon les irreps du groupe T d. La bande de conduction est formée d orbitale s et la bande de valence est formée d orbitales p. Ces dernières sont dégénérées en l absence de couplage spin-orbite. Déterminer si une transition optique entre ces deux bandes est permise, 1. par l opérateur dipolaire électrique; 2. par l opérateur dipolaire magnétique. Note : La représentation de l opérateur dipolaire magnétique est celle du moment angulaire.

6 7.4 Densité d états du graphène 6 Solutions 7.1 Structures de bande 7.2 Matériaux à gap direct et indirect 7.3 Densité d états ρ(e) massif = 1 ρ(e) puits = nz 2π ( 2m 2 2 ) 3/2 E E g m π 2 Θ(E E n ) ρ(e) ligne = 1 π ( 2m 2 ) 1/2 nx,n y Θ(E E nx,n y ) E Enx,n y ρ(e) boîte = 2δ(E E n ) 7.4 Densité d états du graphène 1. Les transitions possibles sont de k v à k c et de k v à k c tel que k c = k v et E(±k c ) E(±k v ) = ω 2. Le gap est nul, il s agit d un matériau qui présentera essentiellement des caractéristiques métalliques. Pour un métal, la permittivité est grande et l énergie de liaison est très faible. Les excitons jouent un rôle important dans les matériaux à gap non nul, car l énergie de liaison d un exciton diminue lorsque la permittivité augmente (voir notes de cours). 3. La densité d état par unité de surface est, pour ce système est deux dimensions, L énergie est et, à l aide de k/π si k 0 g(k) = { k/π si k < 0 E = E c + E v == { 2 v f k si k 0 2 v f k si k < 0.

7 7.5 Couplage spin-orbite 7 de dk = { 2 v f si k 0 2 v f si k < 0, on trouve pour la densité d états jointe, E g(e) = 4π 2 v 2. f 4. Le profil d absorption étant proportionnel à g(e), une dépendance linéaire sera sera observée, α(e) E 7.5 Couplage spin-orbite 1. Avec, s x =1/2(s + + s ) s y = i/2(s + s ) l x =1/2(l + + l ) l y = i/2(l + l ) où O + j, m j = j(j + 1) m j (m j + 1) j, m j + 1 O j, m j = j(j + 1) m j (m j 1) j, m j 1 l hamiltonien devient H so = a 2 (s +l + s l + + 2s z l z ). Développé sous forme matricielle dans la base énumérée dans l énoncée, ce même hamiltonien est, H SO = a (7.1)

8 ψ 6 = 1, (7.2) 7.5 Couplage spin-orbite 8 2. Les énergies (valeurs propres) de l hamiltonien sont E 1 = a 2 et E 2 = a 2 2. Les dégénérescences sont égales à 2 et 4, respectivement. 3. Les vecteurs propres sont les suivants ψ 1 = 1 3 0, , 1 2 ψ 2 = 2 3 1, , 1 2 ψ 3 = 1, 1 2 ψ 4 = 2 3 0, , 1 2 ψ 5 = 1 3 1, , Pour identifier le nombre quantique total, il suffira d appliquer les opérateurs J 2 et J z sur ces fonctions d ondes de façon à trouver les J et m j associé à ces fonctions d ondes. J 2 J, m J =(J J + + J 2 z + J z ) J, m J = 2 J(J + 1) J, m J J z J, m J = m j J, m J Ici, les opérateurs sont définis comme la somme des opérateurs associés à l et à s. Par exemple, J 2 ψ 6 =J 2 1, 1 2 =(J J + + J 2 z + J z ) 1, 1 2 =(l + s )(l + + s + ) 1, (l z + s z )(l z + s z ) 1, (l z + s z ) 1, 1 2 =(l z + s z )(l z + s z ) 1, (l z + s z ) 1, 1 2 = 2 ( ) 1, 1 2 =J(J + 1) 2 1, 1 2 donne comme seule solution admissible J = 3/2. Ensuite, avec l opérateur J z, on trouve J z ψ 6 =J 2 1, 1 2 =(l z + s z ) 1, 1 2 = 3 2 1, 1 2 = m J 1, 1 2

9 7.8 Règles de sélection pour le GaAs 9 Ainsi, la fonction d onde ψ 6 correspond à un moment angulaire total J = 3/2 et une projection m J = 3/2. Dans la notation J, m J, on a donc ψ 6 = 3 2, On trouve pour les autres fonctions d onde ψ 1 = 1 2, 1 2 ψ 2 = 1 2, 1 2 ψ 3 = 3 2, 3 2 ψ 4 = 3 2, 1 2 ψ 5 = 3 2, ψ 6 = 3 2, (7.3) 7.6 Structure de bandes d un élément mystère 1. Le niveau de Fermi croise une bande. Il s agit donc d un métal. 2. Les électrons libres auront tendance à écranter l onde électromagnétique de façon à la réfléchir. Ce matériau réfléchira la lumière. Cependant, on remarque aussi que la structure de bande permet des transitions optiques. À faible énergie, le croisement de deux bandes entre les points Γ et M absorbe permet l absorption de la lumière. Il y aura par la suite de l absorption en K et en H. Bien qu il s agisse d un métal, celui-ci ne fera pas très bon miroir. Note : Il s agit du béryllium. Dans le visible, sa réflectance est d environ 50%. 7.7 Structure de bandes du matériau 2D 1. Monocouche : gap direct (le maximum de la bande de valence et le minimum de la bande de conduction sont tous deux au point K de la zone de Brillouin). Bicouche : gap indirect (le maximum de la bande de valence est à Γ et le minimum de la bande de conduction est en K.) 2. Voir ci-dessus. 7.8 Règles de sélection pour le GaAs À l aide de la table des caractères en annexe, on détermine que les représentations des bandes s et p sont respectivement A 1 et T 2. L opérateur dipolaire électrique est de représentation T 2 et l opérateur dipolaire magnétique est de représentation T Le produit des représentations donne T 2 T 2 A 1 = T 2 T 2 = A 1 E T 1 T 2.

10 7.8 Règles de sélection pour le GaAs 10 Comme le produit inclut la représentation A 1, cette transition est permise par l opérateur dipolaire électrique. 2. Le produit des représentations donne T 2 T 1 A 1 = T 2 T 1 = A 2 E T 1 T 2. Comme le produit n inclut pas la représentation A 2, cette transition est interdite par l opérateur dipolaire magnétique.