GRUE PORTUAIRE Résumé de correction Présentation

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1 Date : Nom Prénom : GRUE PORTUAIRE Résumé de correction Présentation La plupart des grues portuaires poursuivent le même but : limiter et éviter le levage des charges L'objectif, une fois la charge sortie de la cale du navire, est de translater celle-ci, horizontalement, sans levage jusqu'aux quais, ce qui diminue les dépenses énergétiques L'étude porte sur le modèle le plus répandu, les grues dites à fléchette Mathieu Rossat / Joseph Moysan 1/13

2 Date : Nom Prénom : La grue proposée (capacité 5 tonnes) se compose d'une tourelle () pivotant sur le bâti (7) mobile en translation sur des rails Le mécanisme de la grue se compose d'une flèche (1) articulée en E sur la tourelle et en B sur la fléchette (2) La biellette (3) articulée en D et A sur () et (2) assure le maintien La manœuvre de la flèche est assurée par un vérin hydraulique, composé d une tige (6) et d un corps (5) Un contrepoids (1) assure l'équilibrage de l'ensemble en compensant le poids de la flèche La charge (8) de centre de gravité G peut monter ou descendre grâce au câble (4) manœuvré en par un treuil situé dans la tourelle Le câble coulisse librement grâce aux poulies placées en B et C Les liaisons en A, B, C, D, E et sont des liaisons pivots de centre de même nom Mathieu Rossat / Joseph Moysan 2/13

3 Date : Nom Prénom : 1 / Quel est le mouvement de 1/? Rotation de centre E 2 / Quel est le mouvement de 3/? Rotation de centre D 3 / Déterminer les trajectoires suivantes : A 3 / I Cinématique Graphique (35min) T = Cercle de centre D de rayon [DA] B 2 / T = Cercle de centre E de rayon [EB] H 5 / 6 T = Droite (H) H 1/ T = Cercle de centre E de rayon [EH] 4 / Que peut-on dire de? Justifier Cette vitesse est nulle Il n y a pas de déplacement en terme de vitesse linéaire au point H entre les pièces 6 et 1 Le mouvement étudié rapproche la fléchette (2) de la tourelle () Pour cela, la tige (6) du vérin rentre dans le corps (5) à la vitesse de 4 cm/s 5 / Tracer sur le schéma ci-dessous le support (direction) des vitesses suivantes : VH 5 / 6, noté SH 5 / 6, Droite (H) VH 1/, noté SH 1/, Droite perpendiculaire à EH passant par H VH 5 /, noté SH 5/, Droite perpendiculaire à H passant par H VB 1/, noté SB 1/ Droite perpendiculaire à EB passant par B, noté SA 3/ Droite perpendiculaire à DA passant par A VA 3 / 6 / Tracer la vitesse VH 6 / 5 (Echelle 1cm : 2cm/s) Mathieu Rossat / Joseph Moysan 3/13

4 S B1/ V A2/ Afin de faciliter la lecture du schéma, représenter : au crayon gris les traits de construction en bleu les directions des vecteurs vitesses en rouge les vecteurs vitesses V B1/ I 2/ S H1/ S H5/ S H6/5 V H6/5 V H1/ V H5/ V C2/ VH 5 / VH 1/ VB 1/ 4 cm/s 56 cm/s 192 cm/s S A2/ VA 2 / VC 2 / 186cm/s 22 cm/s

5 7 / La relation de composition des vitesses permet d écrire : VH 5 / = VH 5 / 6 + VH 6 / Déterminer graphiquement VH 1/ et VH 5 / Pour cela montrer d abord que V H 1/ = V H 6 / On a montré que VH 6/ 1= donc VH 1/ = VH 1/ 6 + VH 6/ 8 / Déterminer graphiquement VB 1/ 9 / Déterminer ω1/ vitesse instantanée de rotation de la flèche (1) par rapport à la tourelle (), sachant que EH = 3m V=R =V / R = 19 rad/s 1 / Montrer que V A 2 / = V A 3 / et V B 2 / = V B 1/ Il n y a pas de déplacement en terme de vitesse linéaire au point A entre les pièces 2 et 3 Il n y a pas de déplacement en terme de vitesse linéaire au point B entre les pièces 2 et 1 11 / A partir du support des vitesses VA 2 /, noté SA 2 / et VB 2 /, noté SB 2 / déterminer le centre instantané de rotation (CIR), noté I 2/ de la fléchette (2) par rapport à () On sait que les vecteurs vitesses sont perpendiculaires aux rayons Pour obtenir le CIR, connaissant le support des vitesses V A2/ et V B2/ il suffit de prolonger les droites (DA) et (EB) On obtient le point I 2/ 12 / Déterminer graphiquement VA 2 / et VC 2 / #$

6 II Statique Graphique (3min) On cherche l effort fournit par le vérin en vue de le dimensionner La grue portuaire est en équilibre Les poids des éléments 1, 2 et 3 sont négligeables devant ceux du {chargement en C} p / 2 qui s applique au point C et a comme intensité 5 N (Capacité maxi de la grue en prenant g=1m/s²) 13 / Isoler {3} et faire le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures En déduire la direction de 3 / 2 Solide soumis à 2 efforts Direction = (AD) 14 / Isoler {2} et faire le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures Déterminer graphiquement les caractéristiques (direction, sens et intensité) des efforts 3 / 2 et 1/ 2 (Echelle 1cm : 2 N) Solide soumis à 3 efforts Efforts concourants Afin de faciliter la lecture du schéma, représenter : au crayon gris les traits de construction en bleu les directions des forces en rouge les vecteurs forces 3/2 P/2 1/2 1/2 3/2 3 / 2 = 94 N P/2 1/ 2 = 1 16 N $

7 15 / Isoler {5+6} et faire le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures En déduire la direction de /1 Solide soumis à 2 efforts Direction = (H) 16 / Isoler {1} et faire le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures Déterminer graphiquement les caractéristiques (direction, sens et intensité) des efforts / 1 et / 1 (Echelle 1cm : 2 N) Solide soumis à 3 efforts Efforts concourants 5+ 6 /1 /1 = 86 N = 1 8 N Afin de faciliter la lecture du schéma, représenter : au crayon gris les traits de construction en bleu les directions des forces en rouge les vecteurs forces 6/1 2/1 /1 17 / Quel effort doit fournir le vérin pour soulever la charge maxi Le vérin doit fournir un effort égal à / 1 soit 86 N 18 / A partir des valeurs de la première partie, déterminer la puissance que doit fournir le vérin P = V = 344 kw %$

8 III Statique Analytique (4min) On souhaite maintenant déterminer la réaction normale (liaison parfaite) au point I et J La grue est animée d un mouvement de translation uniforme 19 / Que cela implique t il? La translation uniforme permet d utiliser les lois de la statique au lieu de celles de la dynamique (que vous n avez pas vu) 1 ère Partie : Route horizontale On considère le problème plan comme définit sur la figure ci-dessous Le poids total de la grue avec une charge en bout est modélisable dans le problème plan considéré par un effort au point G, on le note G Rails ( '! * ) 2 / Isoler la grue et faire le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures On suppose que le contact entre les roues et les rails est parfait (réaction normale) G en G direction y I en I direction y J en J direction y &$

9 21 / Calculer les réactions aux points I et J : I,sol / grue, noté I, et J,sol / grue littérale (Conseil «obligatoire» : aire la somme des moments au point I), noté J, d une manière ext y = M ext, I z = I + J G = - G a + J (a+b) = Application numérique : G = 25 N ; a = 2,5m ; b = 3m J = 113 kn I = 136 kn 2 nd Partie : Route inclinée La grue monte maintenant une légère pente dont l inclinaison est de α =8 Elle est toujours animée d un mouvement de translation uniforme Hypothèses : Au niveau de la roue avant en J, le contact roue / sol est parfait (réaction normale) À l arrière en I, le contact roue / sol est réel On utilisera le modèle de Coulomb pour décrire le frottement au contact sur la roue arrière L objectif de cette partie est de connaître le coefficient de frottement limite de la roue arrière sur les rails noté f = tan( ϕ) +$

10 ( * - '! α = & ) 22 / Isoler à nouveau la grue et faire le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures G en G direction verticale I en I direction (voir figure ci-dessous) J en J direction y Remarque : Au niveau de la roue arrière, le modèle de Coulomb donne le paramétrage du contact en I de la manière suivante : ϕ I * 23 / Ecrire la projection de la résultante du PS suivant les axes * et ainsi que la projection du moment au point I du PS par rapport à l axe,$

11 ext x = ext y = - G sin + I sin = (1) - G cos + J + I cos = (2) M ext,i = = IG G + IJ J a - G sin c a+b c - G cos = + J Attention, exprimer tous les vecteurs dans la base (* ) M ext, I z = - G cos a + G sin c + (a+b) J = (3) sin θ 24 / Déterminer l effort J puis ϕ et enfin I (Indication : = tan θ ) cos θ (3) J = (2) = (1) I = $

12 IV Dimensionnement des structures (15min) Les valeurs numériques sont indépendantes des calculs précédents On considère que le vérin (5+6) (tige H) est en traction, la valeur de l effort est de 4N πd 2 Données : D tige = 16 mm, S= 4 =177 mm², I Gz = πd 4 64 = 2485 mm 4 Pour les calculs, utilisez les unités SI : m, N 1/ Rappelez toutes les sollicitations possibles dans un problème 3D Quelle est la sollicitation en un point M quelconque de la poutre H? 2/ Quel est le nom de la contrainte créée dans la tige? Quelle est la valeur maximale de la contrainte? 3/ Lorsqu une poutre longue est soumise à un effort axial elle peut être soumis au flambement La théorie d Euler dit que la charge à ne pas dépasser, pour une poutre articulée aux deux extrémités vaut P c 2 π EI = 2 où est la longueur de la tige et E le module de Young On prend un coefficient de sécurité de 5 sur cette charge à ne pas dépasser La tige est en acier avec un module de Young de 21 MPa /$

13 Calculez cette valeur limite pour une longueur de 8 mm et concluez s il faut augmenter ou non la section de la tige $$