Principes du codage sans perte
|
|
|
- Sabine Bureau
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Principes du codage sans perte Codage d Huffman,, arithmétique Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 11 Janvier 213 M. Cagnazzo Codage sans perte 1/55
2 Plan Principes 1 Principes 2 Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte 3 4 M. Cagnazzo Codage sans perte 2/55
3 Plan Principes 1 Principes 2 Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte 3 4 M. Cagnazzo Codage sans perte 3/55
4 Introduction La compression sans perte est basée sur les statistiques des données Mots de code courts pour les symboles probables Mots de code longs pour les symboles peu probables Définitions : Alphabet Code : X = {x 1, x 2,...,x M } ensemble des symboles à coder {, 1,...,255} dans le cas de valeurs de luminance alphabet français dans le cas d un texte : application entre X et {, 1}, l ensemble des chaînes de bits de longueur finie. Codes à longueur fixe Codes à longueur variable M. Cagnazzo Codage sans perte 4/55
5 Choix du code Code : C : x i X c i {, 1} Codes à longueur fixe (FLC) Tout mot de code a la même longueur Si on a M = 256 symboles, il nous faut log M = 8 bits pour coder chaque symbole Dans le cas d un texte, M = 26, il nous faut log M = 5 bps (bit par symbole) Codes à longueur variable (VLC) l i : longueur du mode de code c i On peut comprimer sans pertes si : Condition de décodabilité : condition du préfixe Les symboles ne sont pas équiprobables M. Cagnazzo Codage sans perte 5/55
6 Exemple : Compression d un texte français Technique Code à longueur fixe Nombre de symboles 26 Taux de codage (L) 5 bps Rapport de compression 1 Chaque lettre est représentée sur 5 bits Aucune compression est obtenue M. Cagnazzo Codage sans perte 6/55
7 VLC : condition de décodabilité On utilise pas de séparateurs entre les mots de code Codes instantanés et décodables Inégalité de Kraft : il existe un code instantané avec longueurs{l 1,...,l M } si et seulment si : 2 l i 1 Les codes décodables n ont pas des meilleures performances par rapport aux codes instantanés i M. Cagnazzo Codage sans perte 7/55
8 Inégalité de Kraft : Principes de la demonstration Condition du préfix i 2 l i 1 Construction de l arbre binaire de profondeurl max Association entre mots de code et nœuds Pour chaque feuille, on remonte vers la racine : combien de mots de codes peut-on rencontrer? Zéro ou un (condition du prefix) Numéro feuilles = A B = Numéro feuille avec exactement un mot de code entre les ancêtres A = 2 lmax B = M i=1 Numéro feuilles qui descendent de l i-ème mot de code = M i=1 2lmax l i M. Cagnazzo Codage sans perte 8/55
9 Inégalité de Kraft : Principes de la demonstration i 2 l i 1 Condition du préfix Construction de l arbre binaire de profondeurl max Premier mot de code c 1 : prendre une feuille et remonter au niveau l 1 Couper le sous-arbre associé au premier mot de code c 1 Tout nœud survecu n a pas c 1 comme préfix Pour tout nouveau mot de code, on coupe le sous-arbre associé Par consequence, si il reste des feuilles, on pourra trouver un nouveau mot de code M. Cagnazzo Codage sans perte 9/55
10 Inégalité de Kraft : Principes de la demonstration i 2 l i 1 Condition du préfix Raisonnement par récurrence et par construction On a montré comment trouver c 1 Récurrence : si on a trouvé {c i } n 1 i=1, on peut trouver cn, avec n M Combien de feuilles on a éliminé au pas n 1? Pour le mot de code c i on a éliminé 2 lmax l i feuilles ; en total : n 1 n 1 2 lmax l i = 2 lmax 2 l i (1) i=1 i=1 M < 2 lmax 2 l i 2 lmax (2) i=1 On peut donc ajouter c n en remontant d une des feuilles residuelles jusqu au niveau l n M. Cagnazzo Codage sans perte 1/55
11 Inégalité de Kraft Un code est défini par l ensemble des longueurs {l 1,...,l M } De l ensemble des longueurs on construit un arbre De l arbre on construit le code M. Cagnazzo Codage sans perte 11/55
12 Information et entropie Le symbole x i a une probabilité p i d apparaître Longueur moyenne du code : L = p i l i L information associé à x i est I(x i ) = log p i I(x i ) Si p i = 1, I = Si deux symboles sont indépendants, I(x i, x j ) = I(x i )+I(x j ) Entropie de la source : information moyenne des symboles H(X) = i p i log p i M. Cagnazzo Codage sans perte 12/55
13 Entropie d une variable binaire Exemple p = P{X = } H(X) = p log(p) (1 p) log(1 p) q =P{X = 1} = 1 p H(X) P{X=} M. Cagnazzo Codage sans perte 13/55
14 Distribution à entropie maximum On peut montrer que la distribution qui maximise l entropie d une v.a. discrete à M valeurs est le vecteur p = [p1 p 2... p M ] tel que pi = 1 M i {1, 2,...,M} Problème de maximisation avec contrainte : p = arg max p M p i log 1 p i i=1 M i=1 p i = 1 M. Cagnazzo Codage sans perte 14/55
15 Distribution à entropie maximum On peut montrer que la distribution qui maximise l entropie d une v.a. discrete à M valeurs est le vecteur p = [p1 p 2... p M ] tel que pi = 1 M i {1, 2,...,M} Problème de maximisation avec contrainte : p = arg max p M p i log 1 p i i=1 M i=1 p i = 1 J(p) = J p i = ( M M ) p i log p i +λ p i 1 i=1 ( 1 ln 2 + log p i i=1 J p i (p ) = ) +λ p i = λ log e = cnste M. Cagnazzo Codage sans perte 14/55
16 Entropie conjointe Considerons un couple de v.a. X et Y Distribution de probabilité conjointe p i,j = P{X = x i, Y = y j } Entropie conjointe : information moyenne des couples H(X, Y) = i,j p i,j log p i,j Formalement, il n y pas de différence entre l entropie d un couple et l entropie d une variable Z avec les mêmes probabilités (independemment des valeurs) M. Cagnazzo Codage sans perte 15/55
17 Entropie conditionnelle Considerons un couple de v.a. X et Y Soit p j = P{Y = y j } Entropie conditionnelle : H(X Y) = j p j H(X Y = y j ) On montre facilement que : H(X, Y) =H(Y)+H(X Y) H(X)+H(Y X) M. Cagnazzo Codage sans perte 16/55
18 Propriétés de l entropie H(X) > H(X, Y) =H(Y)+H(X Y) H(X)+H(Y X) H(X, Y) H(X)+H(Y) H(X Y) H(X) H(X) log 2 M avec égalité indépendence avec égalité indépendence avec égalité X U M. Cagnazzo Codage sans perte 17/55
19 Code optimal On relâche la condition l i entier Minimisation avec contrainte : l = arg min l i p i l i soumis à i 2 l i = 1 M. Cagnazzo Codage sans perte 18/55
20 Code optimal On relâche la condition l i entier Minimisation avec contrainte : l = arg min l i p i l i soumis à i 2 l i = 1 J(l) = ( ) p i l i +λ 2 l J i 1 = p i (λ ln 2)2 l i = l i i i p i = (λ ln 2) 2 l i 1 = λ ln 2 i i 2 l i = p i l i = log 2 p i L = i p i log 2 p i = H(X) M. Cagnazzo Codage sans perte 18/55
21 Thèoreme de Shannon sur le codage de source Si on introduit à nouveau la condition l i N, on peut montrer que : Thèoreme de Shannon L H(X) avec égalité si et seulement si: i {1, 2,... M}, l i N p i = 2 l i M. Cagnazzo Codage sans perte 19/55
22 Codage entropique Théorème de Shannon: Taux de codage code optimale Entropie de la source du coup le nom Codage Entropique. La relation devient une identité stricte si les probabilités sont dyadiques (puissances négatives de deux) La relation est pratiquement une identité quand il y a un nombre important de symboles dans l alphabet. M. Cagnazzo Codage sans perte 2/55
23 Codage entropique En consequence du Théorème de Shannon, on peut facilement montrer que : H(X) L < H(X)+1 (3) 1 Il suffit de prendre l k = log 2 p k Il est facile de montrer que l inégalité de Kraft est satisfaite Il est aussi facile de prouver l inégalité (3) M. Cagnazzo Codage sans perte 21/55
24 Codage entropique Théorème de Shannon : H(X) L < H(X)+1 L entropie est une excellente approximation du taux de codage optimale Dans la suite on sera souvent amenés à considerer L = H(X) M. Cagnazzo Codage sans perte 22/55
25 Exemple : Compression d un texte français Entropie de la source bps Technique Code à longueur variable Taux de codage (L) bps Rapport de compression Distribution des lettres dans un texte français 12 % Freq A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z M. Cagnazzo Codage sans perte 23/55
26 Plan Principes Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte 1 Principes 2 Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte 3 4 M. Cagnazzo Codage sans perte 24/55
27 Codage de Huffman Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Huffman a découvert comment construire le code optimum pour n importe quelle source. Exemple : Symbole Probabilité A.4 B.2 C.15 D.15 E.5 F.5 6 symboles, 3 bits par symboles sans codage. M. Cagnazzo Codage sans perte 25/55
28 Codage de Huffman Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte A 4% A 4% B 2% B 2% C 15% C 15% D 15% D 15% 25% E 5% E 5% 1 1% 1% F 5% 1 F 5% 1 M. Cagnazzo Codage sans perte 26/55
29 Codage de Huffman Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte A 4% B 2% 1% 35% C 15% 1 1 6% D 15% 1 25% E 5% 1 1% F 5% 1 M. Cagnazzo Codage sans perte 27/55
30 Codage de Huffman Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Symbole Probabilité Code A.4 B.2 1 C D E F L = = 2.3 bits/symbole H =.4 log log log = bits/symbole log M. Cagnazzo Codage sans perte 28/55
31 Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Exemple : Compression d un texte français Technique Huffman Entropie de la source bps Taux de codage (L) 4.41 bps Rapport de compression % Freq Codeword length A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Distribution des lettres dans un texte français Longueur des mots de code dans le code d Huffman M. Cagnazzo Codage sans perte 29/55
32 Codage de Huffman Comment améliorer les performances? Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Le bloc des premiers K symboles du processus aléatoire X i est appellé X K H(X K ) i H(X i) avec égalité si et seulement si les variables de X K sont independentes Codage par blocs : on essaie de reduire la longueur du code mesurée en bits par symbole M. Cagnazzo Codage sans perte 3/55
33 Codage de Huffman Codage par blocs Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Hypothèse : la suite H(X K ) K est convergente Cela est vrai p.e. pour un processus stationnaire Longueur moyenne du code optimum : H(X K ) L < H(X K )+1 H(X K ) K lim K L K = L S < H(X K ) + 1 K K H(X K ) = H(X) K H(X) H(X) L S = lim K L S H(X) est appellé taux entropique M. Cagnazzo Codage sans perte 31/55
34 Codage de Huffman Codage par blocs Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Codage par blocs : L S H(X) H(X) Les meilleures performances sont obtenues quand on code l entier message de K symboles comme un symbole d un alphabet de taille N K Le codage par blocs est avantageux même pour v.a.i.i.d. : cela élimine le bit supplémentaire des distributions non-dyadiques M. Cagnazzo Codage sans perte 32/55
35 Codage de Huffman Codage par blocs Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Codage par contextes : l entropie d un symbole donnés ses K 1 voisins est typiquement largement inférieure à H(X) On peut donc imaginer de coder X k X k 1 dont l entropie est inférieure ou égale à H(X) On peut montrer que, pour un processus stationnaire, lim k H(X k X k 1 ) = H(X) M. Cagnazzo Codage sans perte 33/55
36 Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Exemple : Compression d un texte français K=1 Entropie des lettres bpb bps K=2 Entropie des digrams 7.44 bpb 3.72 bps K=3 Entropie des trigrams bpb bps bpb : bits par bloc ; bps : bits par symbole, bits par lettre A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Distribution des digrams dans un texte français Les trigrams les plus communs : ait ent les 1.59% 1.25%.94% lle des ant.78%.72%.7% que our ien.67%.63%.6% M. Cagnazzo Codage sans perte 34/55
37 Limites du code de Huffman Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte De l exemple précédent, on comprend qu on voudrait aller jusqu à la limite K =longueur du message. C est pratiquement impossible avec Huffman Difficile et coûteux de connaître les probabilités Complexité exponentielle du code avec la taille du bloc Le dictionnaire devrait comprendre tout les possibles messages de K symboles: Tous les possibles textes Toutes les possibles images... M. Cagnazzo Codage sans perte 35/55
38 Limites du code de Huffman Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte De l exemple précédent, on comprend qu on voudrait aller jusqu à la limite K =longueur du message. C est pratiquement impossible avec Huffman Difficile et coûteux de connaître les probabilités Complexité exponentielle du code avec la taille du bloc Le dictionnaire devrait comprendre tout les possibles messages de K symboles: Tous les possibles textes Toutes les possibles images... Le codage arithmétique résout le problème M. Cagnazzo Codage sans perte 35/55
39 Codage arithmétique Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Le codage arithmétique permets de faire un codage par blocs ou par contextes avec complexité linéaire Idée : ne pas chercher le code pour n importe chaîne de n symboles, mais uniquement pour la chaîne à coder Le codeur arithmétique n est pas optimal, mais asymptotiquement optimal L H(X K )+2 L S = L/K lim L H K S = lim K K K = H(X) Faible complexité de codage/décodage (opérations arithmétiques, dont le nom) M. Cagnazzo Codage sans perte 36/55
40 Codage arithmétique: exemple Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Symbole A B C D E F Probabilité Séquence à coder : ACFD A B C D E F M. Cagnazzo Codage sans perte 37/55
41 Codage arithmétique: exemple Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Symbole A B C D E F Probabilité Séquence à coder : ACFD A B C D E F M. Cagnazzo Codage sans perte 37/55
42 Codage arithmétique: exemple Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Symbole A B C D E F Probabilité Séquence à coder : ACFD A B C D E F M. Cagnazzo Codage sans perte 37/55
43 Codage arithmétique: exemple Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Symbole A B C D E F Probabilité Séquence à coder : ACFD A B C D E F M. Cagnazzo Codage sans perte 37/55
44 Codage arithmétique: exemple Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Symbole A B C D E F Probabilité Séquence à coder : ACFD A B C D E F M. Cagnazzo Codage sans perte 37/55
45 Codage arithmétique: exemple Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Symbole A B C D E F Probabilité Séquence à coder : ACFD A B C D E F M. Cagnazzo Codage sans perte 37/55
46 Codage arithmétique Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Pour chaque nouveau symbole, 2 multiplications et 2 addition Codage de la suite de symboles : centre de l interval sélectionné, avec précision inférieure à la demi-taille de l interval. Problème : estimation de P(X K ), en principe avec K =longueur totale du message Exemple précédent : Symboles supposés indépendants, P(X K ) = K i=1 p(x i) Apprentissage des statistiques au cours du codage (adaptivité) M. Cagnazzo Codage sans perte 38/55
47 Codage par contextes Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Estimation de P(X K ): souvent le prochain symbole ne dépende que de peu de voisins. Idée : souvent il suffit connaître un voisinage limité du symbole courant (contexte) H(X K ) = K H(X i X i 1 ) i=1 En théorie, le context est tout le passé : X i 1 Le contexte peut être fait par les quelques lettres précédentes ou les quelques pixels autour du pixel courant Si on a M possibles contextes, c est comme si on avait M codeurs arithmétiques, et si on passe de l un à l autre M. Cagnazzo Codage sans perte 39/55
48 Codage par contextes : Image N/B Soient X et Y deux pixels voisins. Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte X Y N B N.15.5 B.5.75 Probabilités conjointes de X et Y X Y N B N B Probabilités conditionnelles de X donné Y H(X) H(X,Y)/2 H(X Y) HE AE CB AE HE: Huffman Encoder, One Symbol AE: Arithmetic Encoder CB-AE: Context-Based AE M. Cagnazzo Codage sans perte 4/55
49 Codage arithmétique : conclusions Avantages Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Permet d implémenter le codage de longue suites de symboles avec une complexité linéaire Codage par blocs : statistiques d ordre supérieure et distribution dyadiques Codage par contexte : simple modélisation des statistiques d ordre supérieure Adaptivité : sources non-stationnaires M. Cagnazzo Codage sans perte 41/55
50 Codage arithmétique : conclusions Inconvénients Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte Implémentation parfois compliquée Choix des contextes Adaptivité : il faut assez de données pour une estimation robuste Besoin d initialisation M. Cagnazzo Codage sans perte 42/55
51 Plan Principes 1 Principes 2 Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte 3 4 M. Cagnazzo Codage sans perte 43/55
52 Codage avec dictionnaire Dictionnaire des suites de données communes construit au fur et à mesure Capable de s adapter à des signaux non-stationnaires Pas besoin d initialisation (codage universel) À la base des algorithmes populaires de compression sans perte (zip, gzip, bzip, etc.) M. Cagnazzo Codage sans perte 44/55
53 Codage avec dictionnaire: exemple Input Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
54 Codage avec dictionnaire: exemple Input Present Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
55 Codage avec dictionnaire: exemple Input New Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
56 Codage avec dictionnaire: exemple Input Add Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
57 Codage avec dictionnaire: exemple Input Table A B C D E 1 M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
58 Codage avec dictionnaire: exemple Input Present Table A B C D E 1 M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
59 Codage avec dictionnaire: exemple Input Present Table A B C D E 1 M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
60 Codage avec dictionnaire: exemple Input New 1 Table A B C D E 1 M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
61 Codage avec dictionnaire: exemple Input Add 1 Table A B C D E 1 1 M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
62 Codage avec dictionnaire: exemple Input Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
63 Codage avec dictionnaire: exemple Input Present 1 Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
64 Codage avec dictionnaire: exemple Input New 1 Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
65 Codage avec dictionnaire: exemple Input Add 1 Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
66 Codage avec dictionnaire: exemple Input Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
67 Codage avec dictionnaire: exemple Input Present Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
68 Codage avec dictionnaire: exemple Input Present Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
69 Codage avec dictionnaire: exemple Input New Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
70 Codage avec dictionnaire: exemple Input Add Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
71 Codage avec dictionnaire: exemple Input Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
72 Codage avec dictionnaire: exemple Input Prefix Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
73 Codage avec dictionnaire: exemple Input Prefix Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
74 Codage avec dictionnaire: exemple Input Present Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
75 Codage avec dictionnaire: exemple Input Present Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
76 Codage avec dictionnaire: exemple Input Present Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
77 Codage avec dictionnaire: exemple Input New Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
78 Codage avec dictionnaire: exemple Input Add Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
79 Codage avec dictionnaire: exemple Input Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
80 Codage avec dictionnaire: exemple Input Present Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
81 Codage avec dictionnaire: exemple Input New 1 Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
82 Codage avec dictionnaire: exemple Input Add 1 Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
83 Codage avec dictionnaire: exemple Input Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
84 Codage avec dictionnaire: exemple Input Prefix 1 Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
85 Codage avec dictionnaire: exemple Input Prefix 1 Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
86 Codage avec dictionnaire: exemple Input Present 1 Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
87 Codage avec dictionnaire: exemple Input Present 1 Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
88 Codage avec dictionnaire: exemple Input New Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
89 Codage avec dictionnaire: exemple Input Add Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
90 Codage avec dictionnaire: exemple Input Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
91 Codage avec dictionnaire: exemple Input New Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
92 Codage avec dictionnaire: exemple Input Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
93 Codage avec dictionnaire: exemple Input Prefix Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
94 Codage avec dictionnaire: exemple Input Prefix Table A B C D E M. Cagnazzo Codage sans perte 45/55
95 Décodage avec dictionnaire: exemple Table A B C D E 1 Input New M. Cagnazzo Codage sans perte 46/55
96 Décodage avec dictionnaire: exemple Table A B C D E 1 Input New 2 x x M. Cagnazzo Codage sans perte 46/55
97 Décodage avec dictionnaire: exemple Table A B C D E 1 x Input New 2 x x M. Cagnazzo Codage sans perte 46/55
98 Décodage avec dictionnaire: exemple Table A B C D E 1 x Input New 3 xy x xy M. Cagnazzo Codage sans perte 46/55
99 Décodage avec dictionnaire: exemple Table A B C D E 1 y Input New 3 y y M. Cagnazzo Codage sans perte 46/55
100 Décodage avec dictionnaire: exemple Table A B C D E 1 y Input New 4 1z y 1z M. Cagnazzo Codage sans perte 46/55
101 Décodage avec dictionnaire: exemple Table A B C D E z Input New 4 1z 1z M. Cagnazzo Codage sans perte 46/55
102 Décodage avec dictionnaire: exemple Table A B C D E z Input New 5 w 1z 1w M. Cagnazzo Codage sans perte 46/55
103 Décodage avec dictionnaire: exemple Table A B C D E w Input New 5 w 1w M. Cagnazzo Codage sans perte 46/55
104 Décodage avec dictionnaire: exemple Table A B C D E w Input New 5 w 1w M. Cagnazzo Codage sans perte 46/55
105 Décodage avec dictionnaire: exemple Table A B C D E Input New 2 1 M. Cagnazzo Codage sans perte 46/55
106 Run-Length Encoding (RLE) Codage d images B/N Longues suites de zéros et uns Idée : coder la longueur des suites au lieu des valeurs des pixels M. Cagnazzo Codage sans perte 47/55
107 Run-Length Encoding (RLE) Code d Huffmann : alphabet trop grand Code d Huffmann sur les puissances de 2 Chaque longueur est représenté comme somme de puissances de 2 (représentation binaire) Mode horizontale : longueur absolue Mode verticale : différence par rapport à la ligne supérieure (si elle est 3) Pass : noveau block Pass HM +1 1 = Mode verticale : symboles et code d Huffmann M. Cagnazzo Codage sans perte 48/55
108 Run-Length Encoding (RLE) : Exemple HM VM +1-1 HM PASS 4 PASS 8+2 VM HM 4+1 M. Cagnazzo Codage sans perte 49/55
109 -1 Joint Bi-level Image Experts Group Standard ISO/IEC et recommandation ITU-T T.82 Codeur arithmétique basé contexte codage progressive (scalable en résolution) Template de 1 pixels, 2 formes et pixel variable Template à 2 ligne : meilleure vitesse d exécution mais 5% de perte en compression M. Cagnazzo Codage sans perte 5/55
110 -2 Joint Bi-level Image Experts Group Standard ISO/IEC et recommandation ITU-T T.88 Image segmentée en texte, halftones, et autre Texte: Un dictionnaire de symbole est créé et codé Halftone: l image en niveau de gris originale est reconstruite et codée, avec un dictionnaire de halftone patterns Autre: Codage arithmétique basé contexte Les fichiers PDF (version 1.4 et supérieure) peuvent contenir données codées un 2 M. Cagnazzo Codage sans perte 51/55
111 Plan Principes 1 Principes 2 Huffman Codage arithmétique Codage adaptive et basé contexte 3 4 M. Cagnazzo Codage sans perte 52/55
112 Quantification et codage Quantificateur optimal : doit-il être changé en vue du codage sans perte? Quelles sont les performances d un système simple comme un quantificateur uniforme suivi d un codage entropique? M. Cagnazzo Codage sans perte 53/55
113 Quantification et codage Formulation du problème On represente le quantificateur avec un q.u. dont le pas est δ précédé d une non transformation non linéaire, dont la caracteristique est f(x) Il s agit de minimiser la puissance de l erreur de quantification : σq 2 = δ px (x) 12 f 2 (x) dx sous contrainte sur l entropie : H(ˆX) b On peut montrer que en hypothèse d haute résolution f doit être constant M. Cagnazzo Codage sans perte 54/55
114 Quantification et codage On peut montrer que, en hypothèse d haute résolution : Pour un niveau de distortion (EQM) fixé, l entropie minimum des symboles du quantificateur est obtenue avec un quantificateur uniforme Pour une entropie des symboles donnée, la distortion minimum est obtenue avec un quantificateur uniforme Un q.u. suivi d un codeur entropique a un gain de 2.81 db sur un codeur de Lloyd-Max dans le cas de sources Gaussienne i.i.d. La courbe RD est toujours dans la forme D 2 2R M. Cagnazzo Codage sans perte 55/55
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Quantification Scalaire et Prédictive
Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction
Compression et Transmission des Signaux. Samson LASAULCE Laboratoire des Signaux et Systèmes, Gif/Yvette
Compression et Transmission des Signaux Samson LASAULCE Laboratoire des Signaux et Systèmes, Gif/Yvette 1 De Shannon à Mac Donalds Mac Donalds 1955 Claude Elwood Shannon 1916 2001 Monsieur X 1951 2 Où
Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France
Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes
TD : Codage des images
TD : Codage des images Les navigateurs Web (Netscape, IE, Mozilla ) prennent en charge les contenus textuels (au format HTML) ainsi que les images fixes (GIF, JPG, PNG) ou animée (GIF animée). Comment
Programmation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Projet d informatique M1BI : Compression et décompression de texte. 1 Généralités sur la compression/décompression de texte
Projet d informatique M1BI : Compression et décompression de texte Le but de ce projet est de coder un programme réalisant de la compression et décompression de texte. On se proposera de coder deux algorithmes
ISO/CEI 11172-3 NORME INTERNATIONALE
NORME INTERNATIONALE ISO/CEI 11172-3 Première édition 1993-08-01 Technologies de l information - Codage de l image animée et du son associé pour les supports de stockage numérique jusqu à environ Ii5 Mbit/s
1.1 Codage de source et test d hypothèse
Théorie de l information et codage 200/20 Cours 8février20 Enseignant: Marc Lelarge Scribe: Marc Lelarge Pour information Page webdu cours http://www.di.ens.fr/~lelarge/info.html Notations Pour des variables
Transmission d informations sur le réseau électrique
Transmission d informations sur le réseau électrique Introduction Remarques Toutes les questions en italique devront être préparées par écrit avant la séance du TP. Les préparations seront ramassées en
Conversion d un entier. Méthode par soustraction
Conversion entre bases Pour passer d un nombre en base b à un nombre en base 10, on utilise l écriture polynomiale décrite précédemment. Pour passer d un nombre en base 10 à un nombre en base b, on peut
Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Cours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Projet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR
Projet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR Introduction En analyse d images, la segmentation est une étape essentielle, préliminaire à des traitements de haut niveau tels que la classification,
Leçon 01 Exercices d'entraînement
Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =
Livrable 2.1 Rapport d analyse et de restructuration de code monothread des modules P, T, Q et F de l encodage MPEG-4 AVC
Groupe des Ecoles des Télécommunications Institut National des Télécommunications Département ARTEMIS Advanced Research & TEchniques for Multidimensional Imaging Systems Livrable 2.1 Rapport d analyse
Formats d images. 1 Introduction
Formats d images 1 Introduction Lorsque nous utilisons un ordinateur ou un smartphone l écran constitue un élément principal de l interaction avec la machine. Les images sont donc au cœur de l utilisation
Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Cours de Master Recherche
Cours de Master Recherche Spécialité CODE : Résolution de problèmes combinatoires Christine Solnon LIRIS, UMR 5205 CNRS / Université Lyon 1 2007 Rappel du plan du cours 16 heures de cours 1 - Introduction
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Simulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Traitement bas-niveau
Plan Introduction L approche contour (frontière) Introduction Objectifs Les traitements ont pour but d extraire l information utile et pertinente contenue dans l image en regard de l application considérée.
1 Introduction au codage
CélestineOscarDésiréAnatoleGastonEugène 1 Introduction au codage 1.1 Les ensembles L ensemble de tout les ensembles est Dieu lui-même. Kantor Ensemble des parties d un ensemble désigne l ensemble des sous-ensembles
Continuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Résolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Sur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif
Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Commun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Introduction au Data-Mining
Introduction au Data-Mining Alain Rakotomamonjy - Gilles Gasso. INSA Rouen -Département ASI Laboratoire PSI Introduction au Data-Mining p. 1/25 Data-Mining : Kèkecé? Traduction : Fouille de données. Terme
ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D
ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D TITRE : Les Fonctions de Hachage Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant le jury :.10 minutes Entretien avec le jury :..10 minutes GUIDE
Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
I. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Moments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Chapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
OPTIMISATION À UNE VARIABLE
OPTIMISATION À UNE VARIABLE Sommaire 1. Optimum locaux d'une fonction... 1 1.1. Maximum local... 1 1.2. Minimum local... 1 1.3. Points stationnaires et points critiques... 2 1.4. Recherche d'un optimum
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Loi d une variable discrète
MATHEMATIQUES TD N : VARIABLES DISCRETES - Corrigé. P[X = k] 0 k point de discontinuité de F et P[X = k] = F(k + ) F(k ) Ainsi, P[X = ] =, P[X = 0] =, P[X = ] = R&T Saint-Malo - nde année - 0/0 Loi d une
Plus courts chemins, programmation dynamique
1 Plus courts chemins, programmation dynamique 1. Plus courts chemins à partir d un sommet 2. Plus courts chemins entre tous les sommets 3. Semi-anneau 4. Programmation dynamique 5. Applications à la bio-informatique
CAPTEURS - CHAINES DE MESURES
CAPTEURS - CHAINES DE MESURES Pierre BONNET Pierre Bonnet Master GSI - Capteurs Chaînes de Mesures 1 Plan du Cours Propriétés générales des capteurs Notion de mesure Notion de capteur: principes, classes,
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Codage hiérarchique et multirésolution (JPEG 2000) Codage Vidéo. Représentation de la couleur. Codage canal et codes correcteurs d erreur
Codage hiérarchique et multirésolution (JPEG 000) Codage Vidéo Représentation de la couleur Codage canal et codes correcteurs d erreur Format vectoriel (SVG - Scalable Vector Graphics) Organisation de
Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Optimisation Discrète
Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et
Compression Compression par dictionnaires
Compression Compression par dictionnaires E. Jeandel Emmanuel.Jeandel at lif.univ-mrs.fr E. Jeandel, Lif CompressionCompression par dictionnaires 1/25 Compression par dictionnaire Principe : Avoir une
Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
MCMC et approximations en champ moyen pour les modèles de Markov
MCMC et approximations en champ moyen pour les modèles de Markov Gersende FORT LTCI CNRS - TELECOM ParisTech En collaboration avec Florence FORBES (Projet MISTIS, INRIA Rhône-Alpes). Basé sur l article:
ASR1 TD7 : Un microprocesseur RISC 16 bits
{Â Ö Ñ º ØÖ Ý,È ØÖ ºÄÓ Ù,Æ ÓÐ ºÎ ÝÖ Ø¹ ÖÚ ÐÐÓÒ} Ò ¹ÐÝÓÒº Ö ØØÔ»»Ô Ö Óº Ò ¹ÐÝÓÒº Ö» Ö Ñ º ØÖ Ý»¼ Ö½» ASR1 TD7 : Un microprocesseur RISC 16 bits 13, 20 et 27 novembre 2006 Présentation générale On choisit
Arbres binaires de décision
1 Arbres binaires de décision Résumé Arbres binaires de décision Méthodes de construction d arbres binaires de décision, modélisant une discrimination (classification trees) ou une régression (regression
Technique de codage des formes d'ondes
Technique de codage des formes d'ondes Contenu Introduction Conditions préalables Conditions requises Composants utilisés Conventions Modulation par impulsions et codage Filtrage Échantillon Numérisez
Utiliser des fonctions complexes
Chapitre 5 Utiliser des fonctions complexes Construire une formule conditionnelle avec la fonction SI Calculer un remboursement avec la fonction VPN Utiliser des fonctions mathématiques Utiliser la fonction
Les fonctions de hachage, un domaine à la mode
Les fonctions de hachage, un domaine à la mode JSSI 2009 Thomas Peyrin (Ingenico) 17 mars 2009 - Paris Outline Qu est-ce qu une fonction de hachage Comment construire une fonction de hachage? Les attaques
Chap17 - CORRECTİON DES EXERCİCES
Chap17 - CORRECTİON DES EXERCİCES n 3 p528 Le signal a est numérique : il n y a que deux valeurs possibles pour la tension. Le signal b n est pas numérique : il y a alternance entre des signaux divers
Introduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles
Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA
Optimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Data Mining. Vincent Augusto 2012-2013. École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne. Data Mining. V. Augusto.
des des Data Mining Vincent Augusto École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne 2012-2013 1/65 des des 1 2 des des 3 4 Post-traitement 5 représentation : 6 2/65 des des Définition générale Le
Trouver un vecteur le plus court dans un réseau euclidien
Trouver un vecteur le plus court dans un réseau euclidien Damien STEHLÉ http://perso.ens-lyon.fr/damien.stehle Travail en commun avec Guillaume HANROT (INRIA Lorraine) CNRS/LIP/INRIA/ÉNS Lyon/Université
Cryptographie Quantique
Cryptographie Quantique Jean-Marc Merolla Chargé de Recherche CNRS Email: jean-marc.merolla@univ-fcomte.fr Département d Optique P.-M. Duffieux/UMR FEMTO-ST 6174 2009 1 Plan de la Présentation Introduction
Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I
Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Roxane Duroux 1 Cadre de l étude Cette étude s inscrit dans le cadre de recherche de doses pour des essais cliniques
Espérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Interception des signaux issus de communications MIMO
Interception des signaux issus de communications MIMO par Vincent Choqueuse Laboratoire E 3 I 2, EA 3876, ENSIETA Laboratoire LabSTICC, UMR CNRS 3192, UBO 26 novembre 2008 Interception des signaux issus
6 - Le système de gestion de fichiers F. Boyer, UJF-Laboratoire Lig, Fabienne.Boyer@imag.fr
6 - Le système de gestion de fichiers F. Boyer, UJF-Laboratoire Lig, Fabienne.Boyer@imag.fr Interface d un SGF Implémentation d un SGF Gestion de la correspondance entre la structure logique et la structure
Représentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Programmation Linéaire - Cours 1
Programmation Linéaire - Cours 1 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Ouvrages de référence V. Chvátal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983.
INF 232: Langages et Automates. Travaux Dirigés. Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies
INF 232: Langages et Automates Travaux Dirigés Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies Année Académique 2013-2014 Année Académique 2013-2014 UNIVERSITÉ JOSEPH
Fonction de hachage et signatures électroniques
Université de Limoges, XLIM-DMI, 123, Av. Albert Thomas 87060 Limoges Cedex France 05.55.45.73.10 pierre-louis.cayrel@xlim.fr Licence professionnelle Administrateur de Réseaux et de Bases de Données IUT
TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION
TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun
3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Théorie et codage de l information
Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q
UEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Chapitre 10 Arithmétique réelle
Chapitre 10 Arithmétique réelle Jean Privat Université du Québec à Montréal INF2170 Organisation des ordinateurs et assembleur Automne 2013 Jean Privat (UQAM) 10 Arithmétique réelle INF2170 Automne 2013
La classification automatique de données quantitatives
La classification automatique de données quantitatives 1 Introduction Parmi les méthodes de statistique exploratoire multidimensionnelle, dont l objectif est d extraire d une masse de données des informations
«Cours Statistique et logiciel R»
«Cours Statistique et logiciel R» Rémy Drouilhet (1), Adeline Leclercq-Samson (1), Frédérique Letué (1), Laurence Viry (2) (1) Laboratoire Jean Kuntzmann, Dép. Probabilites et Statistique, (2) Laboratoire
Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
CRYPTOGRAPHIE. Signature électronique. E. Bresson. Emmanuel.Bresson@sgdn.gouv.fr. SGDN/DCSSI Laboratoire de cryptographie
CRYPTOGRAPHIE Signature électronique E. Bresson SGDN/DCSSI Laboratoire de cryptographie Emmanuel.Bresson@sgdn.gouv.fr I. SIGNATURE ÉLECTRONIQUE I.1. GÉNÉRALITÉS Organisation de la section «GÉNÉRALITÉS»
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés F BM F BM F BM F BM F B M F B M F B M F B M 20 20 80 80 100 100 300 300
I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés TD 1 : rappels. Exercice 1 Poker simplié On tire 3 cartes d'un jeu de 52 cartes. Quelles sont les probabilités d'obtenir un brelan, une couleur, une paire, une suite,
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Développements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Cryptographie et fonctions à sens unique
Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions
Comme chaque ligne de cache a 1024 bits. Le nombre de lignes de cache contenu dans chaque ensemble est:
Travaux Pratiques 3. IFT 1002/IFT 1005. Structure Interne des Ordinateurs. Département d'informatique et de génie logiciel. Université Laval. Hiver 2012. Prof : Bui Minh Duc. Tous les exercices sont indépendants.
1 Recherche en table par balayage
1 Recherche en table par balayage 1.1 Problème de la recherche en table Une table désigne une liste ou un tableau d éléments. Le problème de la recherche en table est celui de la recherche d un élément
Informatique Générale
Informatique Générale Guillaume Hutzler Laboratoire IBISC (Informatique Biologie Intégrative et Systèmes Complexes) guillaume.hutzler@ibisc.univ-evry.fr Cours Dokeos 625 http://www.ens.univ-evry.fr/modx/dokeos.html
Représentation des Nombres
Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...
La NP-complétude. Johanne Cohen. PRISM/CNRS, Versailles, France.
La NP-complétude Johanne Cohen PRISM/CNRS, Versailles, France. Références 1. Algorithm Design, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Addison-Wesley, 2006. 2. Computers and Intractability : A Guide to the Theory of
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Le modèle de Black et Scholes
Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un
PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE
Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques François Delarue) PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Ce texte vise à modéliser de façon simple l évolution d un actif financier à risque, et à introduire,
6. Hachage. Accès aux données d'une table avec un temps constant Utilisation d'une fonction pour le calcul d'adresses
6. Hachage Accès aux données d'une table avec un temps constant Utilisation d'une fonction pour le calcul d'adresses PLAN Définition Fonctions de Hachage Méthodes de résolution de collisions Estimation
4 Distributions particulières de probabilités
4 Distributions particulières de probabilités 4.1 Distributions discrètes usuelles Les variables aléatoires discrètes sont réparties en catégories selon le type de leur loi. 4.1.1 Variable de Bernoulli
données en connaissance et en actions?
1 Partie 2 : Présentation de la plateforme SPSS Modeler : Comment transformer vos données en connaissance et en actions? SPSS Modeler : l atelier de data mining Large gamme de techniques d analyse (algorithmes)
Arithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot
Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,