ALGE Suites numériques. 2. Suites arithmétiques

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1 Lycée des Métiers LEONARD DE VINCI /2016 ALGÈB/ALYSE ALGE 3 INTRODUCTION AUX SUITES NUMÉRIQUES Introduction «Extraction de sable» La réalisation d un pont suspendu nécessite la consolidation des fondations par extraction du sable pendant 25 jours. L entreprise envisage les cadences d exécution suivantes : 20 m 3 le premier jour ; la difficulté d extraction augmentant avec la profondeur, la quantité de sable extraite diminue de 5 % par jour Quelle quantité de sable extrait-on le dernier jour du chantier? 1. Suites numériques ACTIVITE 1 : «Notion de suite de nombres» 1. La psychologie moderne a généralisé l utilisation des tests dans la sélection de personnel (armée, concours...). On propose ici quelques exemples de suites de lettres, de lettres et de nombres, ou de nombre seulement. Suite : Suite : Suite : A Z B Y... X D... Suite : Suite : 2 C 3 D 5 F 6 G Suite : a. Réaliser les 6 test psychologiques en déterminant les termes manquants. b. Si 5 est le premier terme de la suite, quelle est la valeur du terme de rang 3, c'est-à-dire la valeur du troisième terme de cette suite? Une suite de nombre est un ensemble de nombres qui se suivent, comme par exemple : (1 ; 6 ; 11 ; 16 ; 21 ; 26 ; 31 ; 36 ; 41) Le nombre de terme d une suite est le nombre de nombre que cette suite comporte. a. Combien de termes comporte cette suite?... On appelle u1 le 1 er terme de la suite, puis u2 le 2 ème terme, u3 le 3 ème terme,... soit u n le n ième terme. (1 ; 6 ; 11 ; 16 ; 21 ; 26 ; 31 ; 36 ; 41) u 1 u 2 u 3... b. Quel est le 6 ème terme?... c. Quelle est la valeur de u 5 et u9? u5 =... u9 =... d. Si n = 7, Quelle est la valeur de u n? u n = u... =... e. Si n = 5, Quelle est la valeur de u n-1? u n-1 = u... = u... = Suites arithmétiques ACTIVITE 2 «Construction de marches de piscines» Aborder Analyser/Raisonner Réaliser Un fabricant d escaliers pour piscines imagine une forme semicirculaire dessinée ci-contre. Il prévoit que des marches régulièrement espacées. Sur son premier croquis, il prévoit que : A A = 1 m B B = 1,4 m C C = 1,8 m D D = 2,2 m 1. Quel espacement, en cm, est prévu entre chaque marche? TP MATHS / ACTIVITES 1/8 Valider Communiquer D C B A A B C D

2 2. Avant de construire ce type de modèle, le fabricant a besoin de l étudier grâce à un plan conçu sur le logiciel GeoGebra. a. Placer les points A(0,5 ; 0), B(0,7 ; 0), C(0,9 ; 0) et D(1,1 ; 0) b. Avec la roulette de la souris, zoomer sur l ensemble de ces points. 3. Construire le symétrique de chaque point par rapport à l axe des ordonnées. Pour cela, cliquer sur le bouton «symétrie axiale» puis sur le point A et enfin sur l axe des ordonnées : le point A, symétrique de A, s affiche. Faire de même pour les points B, C et D. 4.a. Tracer le demi-cercle de diamètre [A A] en cliquant sur l outil «Demi-cercle» puis sur A et A. b. Faire de même pour les demi-cercles de diamètre [B B], [C C] et [D D]. Appel n 1 : Faire vérifier la construction 5. Mesurer le périmètre de chaque demi-cercle en cliquant sur le bouton «distance ou longueur» puis sur chacun des demi-cercles : la circonférence s affiche. Périmètre du demi cercle AA :... Périmètre du demi cercle BB :... Périmètre du demi cercle CC :... Périmètre du demi cercle DD : En observant bien les quatre résultats précédents, prévoir (sans utiliser le logiciel), quel serait le périmètre d une marche supplémentaire telle que EE = 2,6 m. On explicitera clairement le raisonnement Construire la marche supplémentaire à l aide du logiciel. Appel n 2 : Faire vérifier la construction, puis enregistrer et transmettre au professeur le fichier sous le nom «ALGE3 AC2 NOM(s).ggb». 8. Confirmer ou infirmer la prévision faite à la question ACTIVITE 3 «Dallage d une place» Aborder Analyser/Raisonner Réaliser Dans un village, une place carrée de 15 m de côté doit être pavée. La partie centrale de la place est un carré de 1,5 m, réservé pour un espace vert. On pose des pavés blancs carrés de 15 cm de côté, joints compris, sur toute la surface à l'exception des diagonales qui seront en pavés noirs de même dimension (voir croquis ci-contre). La première rangée posée est celle qui borde le carré intérieur réservé pour l espace vert. 1. L'étude porte d abord sur un quart de la place. a. Déterminer combien de rangées de pavés blancs sont nécessaires pour daller tout le 1 er quart de la place b. Déterminer le nombre de carreaux blancs de: la 1 re rangée :... la 2 e rangée :... 1TP MATHS / ACTIVITES 2/8 Valider Communiquer la 3 e rangée :... la 4 e rangée :... la 5 e rangée :... c. On obtient alors les cinq premiers termes d une suite (u n). Écrire le début de cette suite : (... ;... ;... ;... ;...)

3 d. Déterminer : u1 =... ; u2 =... ; u3 =... ; u4 =... et u5 =... e. Quelle même opération mathématique permet de calculer les différents termes de la suite à partir du précédent?... f. Écrire une relation : entre u2 et u1 : u2 =... entre u3 et u2 : u3 =... entre u4 et u3 : u4 =... entre u5 et u4 : u5 =... g. Déterminer la valeur de u6 : u 6 = On souhaite utiliser un tableur pour calculer les 45 premiers termes de cette suite. a. Écrire une relation entre u n+1 et u n : u n+1 =... b. Compléter le tableur ci-contre avec la valeur du 1 er terme. c. Comment programme-t-on la cellule B3 pour que le tableur calcule le 2 e terme de la suite à partir du 1 er? d. Comment programme-t-on la cellule B4 pour que le tableur calcule le 3 e terme de la suite à partir du 2 e? e. Utiliser le tableur pour calculer les 45 premiers termes. Appel n 1 : Faire vérifier la programmation des cellules f. Comment programme-t-on la cellule B47 pour que le tableur calcule la somme des 45 premiers termes? [...] g. Utiliser le tableur pour déterminer cette somme Appel n 2 : Faire vérifier la somme, puis enregistrer et transmettre au professeur le fichier sous le nom «ALGE3 AC3 NOM(s).ods». 3.a. Quel est le nombre de pavés blancs nécessaires pour paver le quart de la place?... b. Quel est le nombre de pavés blancs nécessaires pour paver la place?... c. Quel est le nombre de pavés noirs nécessaires pour paver la place?... d. Combien de pavés y-a-t-il sur la place?... ACTIVITE 4 «Quand construire?» Aborder Réaliser 1TP MATHS / ACTIVITES 3/8 Valider Communiquer Le maire d une commune en pleine croissance doit projeter la construction de différentes infrastructures. Il estime que la population de la commune augmente de 350 habitants par an. 1. Sachant qu en 2009, la population de la commune est de habitants, calculer le nombre d habitants en 2010, en 2011, puis en Pour mieux visualiser l augmentation de la population, le maire décide d utiliser un tableur. a. Ouvrir le fichier «Construction.ods», puis compléter le tableau avec les valeurs calculées précédemment. b. Utiliser les fonctionnalités du tableur pour faire calculer le nombre d habitants jusqu en Appel n 1 : Faire vérifier la programmation des cellules c. Sélectionner les deux premières colonnes du tableur, puis utiliser l assistant graphique pour représenter l évolution de la population jusqu en Appel n 2 : Faire vérifier le graphique, puis enregistrer et transmettre au professeur le fichier sous le nom «ALGE3 AC4 NOM(s).ods». d. Que constate-t-on? Le maire sait qu il doit prévoir l ouverture d une école supplémentaire lorsque la population atteindra habitants. En quelle année cette école devra-t-elle être ouverte? Pour construire un nouveau gymnase, il faut que la population atteigne habitants. Le maire doit-il envisager cette construction avant la fin de son mandat en 2013?...

4 ACTIVITE 5 «Comment déterminer si une suite est arithmétique?» Pour couvrir un toit conique, un couvreur dispose des ardoises en rang successifs en partant du bas. La pointe du toit est couverte en zinc. Le nombre d ardoises nécessaires pour chaque rang est donné par les termes d une suite numérique (u n). Le premier rang comporte : u1 = 213 ardoises Le deuxième rang comporte : u2 = 207 ardoises Le troisième rang comporte : u3 = 201 ardoises Le quatrième rang comporte : u4 = 195 ardoises... et ainsi de suite en suivant la même progression 1. Calculer : a. u2 u1 =... b. u3 u2 =... c. u4 u3 =... 1 er rang 2.a. Cette suite est-elle arithmétique?... b. Pourquoi? Quelle est la raison de cette suite?... 4.a. Exprimer u n+1 en fonction de u n : u n+1 =... b. Exprimer u n en fonction de u n 1 : u n = Sachant que le dernier rang comporte 9 ardoises, déterminer à l aide de la calculatrice, le nombre total de rangs à mettre en place pour couvrir le toit.... Exercice 1 : «Extracteur d air» Afin de renouveler l air intérieur d une maison, on utilise un extracteur. Son débit est déterminé en tenant compte du nombre de pièces de l habitation. Les débits d air sont partiellement reportés ci-dessous : Nombre de pièces principales du logement Débits d air extraits en m 3 /h On note u n le terme général de la suite arithmétique tel que u 1 = 45, u 2 = 60 et u 4 = Calculer la raison r de cette suite. 2. En déduire u 3 et u On admet que la valeur, en m 3 /h, du débit d air extrait par l extracteur pour un nombre n de pièces correspond à la suite décrite précédemment. Déterminer alors le débit en m 3 /h de l extracteur nécessaire pour assurer la qualité de l air intérieur d une habitation de 7 pièces. 3. Suites géométriques ACTIVITE 6 «Définition d une suite géométrique» Le logo de l école des ponts est une figure issue des «triangles de Sierpinski» représentés ci-dessous : Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 4 Figure 5 La figure de départ est un triangle équilatéral gris. Pour obtenir la figure suivante, on construit à l intérieur du triangle gris un triangle blanc obtenu en joignant les milieux des côtés du triangle gris de départ. Les figures suivantes s obtiennent par la même construction de triangles blancs dans chaque triangle gris. 1. Quels sont les nombres de triangles gris dans : a. la figure 1 :... ; b. la figure 2 :... ; c. la figure 3 :... d. la figure 4 :... ; e. la figure 5 :... Logo de l école des ponts 2. On obtient alors les cinq premiers termes d une suite (u n). Déterminer : u1 =... ; u2 =... ; u3 =... ; u4 =... et u5 =... 1TP MATHS / ACTIVITES 4/8

5 3.a. Quelle même opération mathématique permet de calculer les différents termes de la suite à partir du précédent?... b. Écrire une relation : entre u2 et u1 : u2 =... entre u3 et u2 : u3 =... entre u4 et u3 : u4 =... entre u5 et u4 : u5 = Déterminer la valeur de u6 : u 6 = Déterminer la valeur de u7 : u7 = Exprimer u n+1 en fonction de u n : u n+1 =... Exercice 2 : Granulométrie Le but d une analyse granulométrique est de déterminer la taille de grains (de sable, par exemple). Cette détermination se fait par tamisage pour les grains de dimensions supérieures à 0,08 mm. Les tamis sont des éléments constitués de toiles ou tôles perforées de trous carrés. La dimension du tamis correspond à la longueur du coté du trou. Les tamis ont des numéros d ordre appelés modules. La taille est donnée en mm. Jeux de tamis Module Tamis (en mm) 20 0, , , , ,200 On admet que les dimensions des tamis forment une suite de nombres géométrique dont la raison est 1, Calculer la dimension des tamis de module En utilisant une calculatrice, calculer les dimensions des tamis jusqu au module 30. tamiseuse électrique 3. On donne ci-dessous les valeurs nominales des tamis.? Comparer aux résultats calculés précédemment, et justifier les écarts constatés. 4. On donne ci-contre l analyse granulométrique d un sable. Préciser de quel type de sable il s agit : Sable à majorité de grains fins Sable normal Sable plutôt grossier Gravier 3/10 Dimension nominales des tamis 1TP MATHS / ACTIVITES 5/8

6 Exercice 3 : Bassin d une piscine Deux frères souhaitent creuser le bassin d une piscine. Il leur faut évacuer 240 m 3 de terre pour placer une piscine de la forme d un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont indiquées sur la figure ci-contre. 2 m 6 m L objectif est de calculer la date de la fin des travaux pour évacuer toute la 20 m terre. Les deux frères évacuent 100 brouettes le premier jour, puis décident de travailler de façon régulière et d évacuer 60 brouettes par jour jusqu à achèvement du travail. Ils commencent le 1 er mars. On note u n le volume total, en m 3, évacué au bout de n jours, à partir du 1 er mars. Ainsi, u 1 est le volume, en m 3, évacué le 1 er mars, u 2 est le volume évacué à la date du 2 mars. 1.a. Sachant qu un brouette correspond à un volume de 0,05 m 3, calculer u 1 puis montrer que u 2 = 8 et u 3 = 11. b. Préciser la nature de la suite de terme général u n. En déduire l expression du terme u n+1 en fonction de u n. 2. On rappelle que le mois de mars compte 31 jours, le mois d avril 30 jours et le mois de mai 31 jours. À l aide de la calculatrice, indiquer à partir de quel jour les deux frères auront évacués les 240 m 3 de terre nécessaire pour creuser le bassin de leur piscine. 3. Vérifier le résultat de la question 2. sachant que le terme de rang n est donné par la relation u n = (n 1). 4. Une fois la piscine en place, les deux frères la remplisse d eau et versent un produit d entretien. En leur absence, le temps chaud, le soleil et une concentration trop faible de produit d entretien donne lieu à une prolifération d algues. Les algues peuvent recouvrir entièrement la surface du fond et des quatre parois de la piscine. L aire de cette surface est égale à 224 m 2. Dans ces conditions, l espèce d algues présente dans la piscine a la faculté d augmenter la surface recouverte de 30 % toutes les heures. Le 1 er août à 12 heures, un voisin scientifique observe que les algues occupent 20 m 2. Il construit un tableau afin de connaître le temps nécessaire pour que le fond et les quatre parois de la piscine soient tapissés d algues. Il note v n la surface, exprimée en m 2, occupée par les algues au bout de n heures, ainsi v 0 = 20. L évolution de la population d algues en fonction de l heure est présentée dans le tableau suivant : Heure n v n 12 h h h 2 33,8 15 h 3 43,94 16 h 4 57,12 17 h 5 74,26 18 h 6 96,54 19 h 7 20 h 8 a. Compléter la 3 e colonne en indiquant le détail des calculs. b. Compléter la 4 e colonne à l aide de la calculatrice (arrondir à 0,001). Que remarque-t-on? c. Quelle est la nature de la suite de terme général v n? Préciser son premier terme et sa raison. d. Exprimer le terme v n+1 en fonction de v n. 5.a. Déterminer la surface recouverte à 21 h ; b. Encadrer, par deux heures entières consécutives, l heure à partir de laquelle le fond et les quatre parois de la piscine sont entièrement tapissés d algues. ACTIVITE 7 «Pourcentages et coefficient multiplicateur» Valeur initiale une augmentation de t % une majoration de t % un intérêt de t % une diminution de t % une remise de t % une retenue de t % on multiplie par : 1 + t 100 k = ( ) on multiplie par : 1 t 100 k = ( ) Valeur finale 1. On applique une augmentation de 7,5 % sur un prix marqué de 130. a. Par quel coefficient faut-il multiplier le prix initial pour obtenir le prix final?... b. Calculer le prix final : On applique une réduction de 20 % sur un prix marqué de 15. Déterminer le coefficient multiplicateur qui permet de passer du prix initial au prix final, et calculer ce prix.... 1TP MATHS / ACTIVITES 6/8 vn+1 vn

7 Exercice 4 : Bonus-Malus d assurance voiture Dans le calcul d une prime d assurance voiture rentre en compte un coefficient appelé Bonus/Malus. Le coefficient 1 est attribué à tout nouveau conducteur. Ensuite, s'il n'a pas d'accident, le coefficient est diminué de 5 % par an. 1.a. Calculer le coefficient de Bonus appliqué la seconde année de conduite sans accident. b. Calculer le coefficient de Bonus appliqué la 3 e année de conduite sans accident. 2. Si on appelle c n le coefficient pour la n ième année de conduite sans accident, choisir la formule qui permet de calculer le coefficient de Bonus pour l'année suivante : c n = 0,95 n 1 c n = 0,95 n c n = 1,05 n 1 c n = 1,05 n 3. Sachant que le coefficient de Bonus ne peut pas être inférieur à 0,5, établir un tableau donnant les valeurs du coefficient selon le nombre d'année sans accident (arrondir à 10 2 près). 4. Au bout de combien d'années peut-on espérer diminuer de moitié le montant de sa prime d'assurance auto? ACTIVITE 8 «Déterminer si une suite est géométrique» Une entreprise de fabrication de fluides frigorigènes s engage à réduire sa production de C.F.C. 1.a. Quelle est la signification de «C.F.C?»?... b. Les CFC présente un danger pour la planète. A quel niveau?... Chaque année, la production doit diminuer de 12 % par rapport à la production de l année précédente. Au cours de l année 2000, la production u1 a été de tonnes. Au cours de l année 2001, la production u2 a été de tonnes. Au cours de l année 2002, la production u3 a été de tonnes. Au cours de l année 2003, la production u4 a été de tonnes. 2. a. Calculer u2 =... u1 b. Calculer u3 =... u2 c. Calculer u4 =... u3 3. Cette suite est-elle géométrique? Quelle est la raison de cette suite? Quelle sera la production en 2010? Exercice 5 : Étude d un projet de parking En 1999, un parking de 800 places est construit en périphérie d un centre ville afin de répondre à des besoins de «désengorgement et de dépollution». La mise en service est prévue pour le 1 er janvier Les responsables du projet observent une fréquentation moyenne de 200 véhicules par jour au cours de cette année Une étude menée en parallèle prévoit une augmentation de 10 % par an de la fréquentation moyenne quotidienne par rapport à l année précédente. Ce modèle prévisionnel est jugé valable pour au moins 10 ans. On désigne par u 0 la fréquentation moyenne quotidienne en 2000, u 1 la fréquentation moyenne en 2001,..., u n la fréquentation moyenne de l année n. Chantier très important du parking de la place Henri Dunant (projet Clermont- Communauté en concession). 1. Calculer u 1, u 2 et u Démontrer que la suite (u n) est une suite géométrique dont on donnera la raison q et pour laquelle on exprimera u n+1 en fonction de u n. 3. Les concepteurs assurent à la municipalité que les données actuelles permettent d envisager une saturation du parking après On-t-ils raison? Justifier la réponse. 1TP MATHS / ACTIVITES 7/8

8 ACTIVITE 9 «Protection de la planète du réchauffement climatique» Aborder Analyser/Raisonner Réaliser «En 2005, les rejets français pour l ensemble des six gaz (CO2, CH4, NO2, HFC, PFC, HF6) s élèvent à 553 millions de tonnes d équivalent CO2. Les émissions globales ont diminué de 1,9 % depuis Au delà du protocole de Kyoto, la loi directive sur l énergie a fixé comme objectif de diviser par quatre les émissions d ici 2050.» (Extrait d un rapport INSEE.) Problématique : Si la baisse était de 1,9 % d une année par rapport à l autre dès 2005, l objectif serait-il atteint en 2050? 1.a. Calculer les rejets en 2006 et en Arrondir à 0,1 million. 1TP MATHS / ACTIVITES 8/8 Valider Communiquer b. Calculer l objectif de rejets à atteindre en Modélisation des rejets par une suite a. Montrer que les rejets de 2005, 2006 et 2007 forment une suite géométrique de raison q = 0,981. b. Vérifier que l on retrouve la raison en utilisant la formule q = 1 p où p est le pourcentage de baisse Génération chronologique des rejets a. Avec un tableur, entrer dans la cellule A1 le pourcentage p de baisse : «1,9». b. Dans la cellule A2, entrer la formule de calcul de la raison q : «= 1 A1/100» c. Générer en colonne B la suite des années : 2005 ; 2006 ; 2007 jusqu à d. Générer en colonne C la suite géométrique définie précédemment, en utilisant «$A$2» pour la raison q, comme indiqué ci-contre. Appel n 1 : Faire vérifier la programmation des cellules e. Sélectionner les colonnes B et C du tableur, puis utiliser l assistant graphique pour représenter l évolution de la pollution jusqu en Appel n 2 : Faire vérifier le graphique, puis enregistrer et transmettre au professeur le fichier sous le nom «ALGE3 AC9 NOM(s).ods». 4. Lecture critique de la décroissance des rejets a. L objectif est-il atteint en 2050? Justifier.... b. Quels seraient les rejets en 2050 si la baisse était de 2 % annuels? c. Quels seraient les rejets en 2050 si la baisse était de 2,1 % annuels? d. Rechercher quel pourcentage de baisse suffirait pour atteindre l objectif.