Exercices de Mécanique 1. Philippe Ribière

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1 Exercices de Mécanique 1. Philippe Ribière Année scolaire 2010/2011

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3 Table des matières 1 Cinématique du point Questions de cours Vrai-Faux de cours Mouvement à accélération constante Accélération subie sur une trajectoire circulaire Le mouvement hélicoïdal. Etude dans les deux systèmes de coordonnées Course de voiture Trajectoire plane Mouvement à accélération centrale Dynamique du point dans un référentiel galiléen Plan du cours Question de cours Vrai-faux de cours La chute libre Partie I Partie II Partie III Le skieur Partie I Partie II Partie III La balle de tennis Partie I Partie II Le plongeur Le ressort et la masse Partie I Partie II Partie III Ressort sur un plan incliné Ressort vertical Le pendule pesant

4 Bille dans un bol Perle sur un cercle. Equilibre stable et instable Poulies et corde Deux ressorts Voiture au sommet d une colline Enroulement d une corde sur une poutre cylindrique Electron dans les plaques d un condensateur Electron dans un champ magnétique Particule chargée dans un champ électromagnétique Particule électrisée dans un champ électromagnétique Approche énergétique Question de cours Vrai-Faux de cours Le skieur. Approche énergétique Partie I Partie II Vitesse atteinte en bas d une descente Le skieur et le remonte-pente Ordre de grandeur dans le sport Saut à l élastique Le ressort vertical Etude énergétique et étude d une position d équilibre Deux ressorts Le pendule pesant Une bille dans un bol Perle sur un cercle. Equilibre stable et instable. D après Oral Jeu d eau Perle sur un cercle, accrochée à un ressort

5 Chapitre 1 Cinématique du point 1.1 Questions de cours. 1. Expliquer brièvement la notion de référentiel. 2. Définir le vecteur position OM, le vecteur déplacement infinitésimale, le vecteur vitesse et le vecteur accélération en coordonnées cartésiennes. 3. Donner puis démontrer la dérivée des deux vecteurs de la base polaire. 4. Définir le vecteur position OM, le vecteur déplacement infinitésimale, le vecteur vitesse et le vecteur accélération en coordonnées cylindriques. 5. Définir la base locale polaire et donner l expression des vecteurs position, vitesse et accélération. 1.2 Vrai-Faux de cours. 1. En mécanique classique, non relativiste, toutes les horloges fonctionnent de la même manière dans tous les référentiels. 2. L accélération est la dérivé seconde de la position par rapport au temps dans un référentiel R galiléen. 3. Pour un mouvement unidimensionnel, la vitesse peut s écrire v = ẋ u x. 4. Si l accélération est portée par le vecteur u z uniquement, alors le mouvement est unidimensionnel. 5. Dans les coordonnées polaires, le vecteur position est porté par le vecteur u r. 6. La dérivée de u r par rapport au temps est portée par le vecteur u θ. 7. Dans les coordonnées polaires, la vitesse est portée par le vecteur u θ. 8. L accélération est nulle implique que la vitesse est une constante. 9. Réciproquement, la vitesse est constante implique que l accélération est nulle. 5

6 Mouvement à accélération constante. On s intéresse à une chute libre d une voiture pour lequel l accélération a = g = g u z où g désigne le champ de pesanteur et u z la verticale ascendante. (Ce résultat sera démontré dans le cours sur la dynamique). La voiture qui tombe part à t = 0 d une altitude h soit un point de coordonnées (0, 0, h) et avec une vitesse initiale horizontale v 0 = v 0 u x. 1. Calculer l expression du vecteur vitesse. 2. Calculer l expression du vecteur position et tracer l allure de la trajectoire. 3. Calculer le temps de chute ainsi que la vitesse de la voiture lors de l impact au sol. 1.4 Accélération subie sur une trajectoire circulaire. Un homme ne peut pas supporter des accélérations de plus de 10g=89,1 m.s Son avion est lancé à 2500 km/h. Calculer la place qu il lui faut dans le ciel pour effectuer un demi tour (trajectoire semi-circulaire) en conservant la même altitude. 2. A titre de comparaison, calculer l accélération que vous subissez dans un manège dont le bras est de 10m et qui effectue un tour toutes les 10 secondes. Réponse: Utiliser les coordonnées polaires, 2R m. 1.5 Le mouvement hélicoïdal. Etude dans les deux systèmes de coordonnées. On considère le mouvement dont les équations horaires sont dans le système de coordonnées cartésiennes : x(t) = r 0 cos(ωt) y(t) = r 0 sin(ωt) z(t) = hωt 1. Quelle est la dimension de r 0, h et ω (qui sont toutes trois des constantes)? 2. Montrer que le projeté orthogonal de M dans le plan Oxy décrit un cercle. 3. Calculer la vitesse et l accélération dans le système de coordonnées cartésiennes. 4. Déterminer les équations horaires du mouvement en coordonnées cylindriques. 5. Calculer la vitesse et l accélération dans le système de coordonnées cylindriques. 6. Calculer la norme de la vitesse et de l accélération dans les deux systèmes. Que remarquez vous? 7. Tracer l allure de la trajectoire.

7 Course de voiture Deux voitures, celle de M. Lièvre et celle de M. Tortue, sont sur la ligne de départ, d une piste rectiligne. La voiture de M. Tortue démarre dès le coup de pistolet parti et elle accélère avec une accélération a 0 = 2m.s 2. M. Lièvre, trop sûr de lui et donc distré, lui ne démarre qu après un temps τ = 3s mais avec une accélération 2.a 0. Déterminer selon la longueur de la piste le vainqueur. Donner en fonction de la distance L parcourue par le lièvre, son temps de parcours depuis le coup de pistolet. 1.7 Trajectoire plane 1. Dessiner la trajectoire de la particule dont le mouvement est décrit par les équations horaires suivantes x(t) = a. cos(ωt) y(t) = b. sin(ωt) 2. Calculer la vitesse et l accélération. Commenter. 3. Calculer l accélération tangentielle et l accélération normale à la trajectoire. 1.8 Mouvement à accélération centrale. Un mouvement est dit à accélération central si M, OM a M = 0, ce qui signifie que l accélération est toujours dirigée vers un point fixe O. ( OM et a M sont donc colinéaires.) On définit alors c = OM v M. 1. Montrer que c est une constante. Que pouvez vous en conclure? 2. Donner l expression de c en fonction des coordonnées cylindriques. Déduire de c = cste une seconde conséquence. 3. On pose u = 1 du. Calculer v et a en fonction de c, u et. r dθ Réponse: 1. d c dt = 0 mvt plan 2. c = r 2 θ uz 3. v = c du dθ u r + cu u θ et a = c 2 u 2 ( d2 u dθ 2 + u) u r

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9 Chapitre 2 Dynamique du point dans un référentiel galiléen 2.1 Plan du cours 2.2 Question de cours. 1. Définir un référentiel galiléen (ou une formulation équivalent : comment caractériser un référentiel galiléen?) 2. Enoncer les trois lois de Newton. 3. Définir la force de gravitation et la force d interaction électrostatique. 4. Définir la force qu exerce le ressort sur une masse ponctuelle. 5. Définir les frottements solides (dans le cas du glissement en première année uniquement). 6. Rappeler l équation différentielle d un oscillateur autour d une position d équilibre stable. Résoudre cette équation. 7. Etudier le mouvement d un oscillateur sur un plan horizontal. 8. Etudier le mouvement du pendule pesant dans l approximation des petits angles. 2.3 Vrai-faux de cours. 1. La masse caractérise l inertie du système, c est à dire sa résistance à une variation de vitesse. 2. La masse est invariante uniquement par changement de référentiel galiléen. 3. Le premier principe de Newton affirme que dans un référentiel galiléen, le mouvement d un point isolé est uniforme. 4. Le poids est une force de contact. 5. Le poids est essentiellement lié à la force d interaction gravitationnel. 6. L intensité de la force d un ressort est proportionnelle à l allongement du ressort. 9

10 En l absence de frottement solide, la réaction du support est perpendiculaire au support et s oppose au poids. 8. En présence de frottement solide, dans le cas du glissement, la force tangentielle résultante est opposée au mouvement. 9. Pour soulever une masse m du sol à l aide d une corde et d une poulie fixée au plafond, il faut exercée une force f dont le module est égale à m.g 2.4 La chute libre. Dans la publicité pour une voiture de marque allemande (avec un éclair pour symbole), des parachutistes poussent une voiture dans le vide, ils sautent alors à leur tour et rattrapent la voiture en chute libre. On supposera que tous (voiture et parachutistes) partent sans vitesse initiale en se plaçant dans le référentiel de l avion (qui est galiléen puisque l avion avance rectilgnenement, à vitesse constante.) Partie I. Etude sans frottement. 1. Etablir l équation vérifiée par z(t). 2. Calculer ż(t) et z(t). 3. Conclusion : les parachutistes peuvent-ils rattraper la voiture? Partie II On suppose maintenant que tous sont soumis, en plus, à la résistance de l air. f = h v. 1. Etablir l équation vérifiée par z(t). 2. Poser v z = ż(t). Donner l équation vérifiée par v z. La résoudre. 3. Calculer x(t) et z(t). 4. Conclusion : les parachutistes peuvent-ils rattraper la voiture sachant que h croit linéairement de la taille de l objet? Partie III On suppose maintenant que tous sont soumis, en plus, à la résistance de l air. f = αv Etablir l équation vérifiée par v z (t). 2. Calculer la vitesse limite v limite 3. Réexprimer l équation vérifiée par v z (t) en fonction de v limite. La résoudre. 4. Conclusion : les parachutistes peuvent-ils rattraper la voiture (α caractérisant l aérodynamisme de l objet)?

11 Le skieur. Un skieur se trouve au sommet d une piste faisant un angle α avec l horizontale et de dénivelée h. A t=0, il part sans vitesse initiale Partie I. Etude sans frottement. 1. Etudier le mouvement lors de la décente. 2. Calculer la vitesse en bas de la pente Partie II. Etude avec un frottement solide de coefficient f. 1. Rappeler ce qu est un frottement solide. 2. Etudier le mouvement lors de la décente. 3. Calculer la vitesse en bas de la pente Partie III. Etude avec un frottement solide de coefficient f et d un frottement fluide f = h v. 1. Etudier le mouvement lors de la décente. 2. Calculer la vitesse en bas de la pente. 2.6 La balle de tennis. Un joueur de tennis tape à instant t = 0 dans une balle (de tennis) de masse m, situé à un mètre du sol, et lui communique une vitesse v 0 horizontale Partie I. Etude sans frottement. 1. En supposant la balle comme ponctuelle et confondue avec son centre de gravité, quel mouvement de l objet n est pas décrit. 2. Etablir l équation vérifiée par ẍ(t) et z(t). 3. Calculer x(t) et z(t). 4. Sachant que le joueur est situé au moment de sa frappe à une distance d=20m de la ligne de fond adverse, calculer la vitesse maximum qu il doit communiquer à la balle 5. Calculer le module de la vitesse et la direction de la vitesse lors de l impact au sol.

12 On admet que la balle repart après rebond comme la lumière est réfléchie sur un miroir. Décrire la vitesse juste après le rebond. Cette description vous semble-t-elle correcte. 7. Sans calcul, décrire le mouvement de la balle après rebond. Est ce réaliste? Partie II On suppose maintenant que le balle est soumise, en plus, à la résistance de l air. f = h v. 1. Etablir l équation vérifiée par ẍ(t) et z(t). 2. Calculer x(t) et z(t). 3. Calculer le module de la vitesse et la direction de la vitesse lors de l impact au sol. Commenter. Réponse: 6. v x = v 0 cos α exp ht v m z = (v 0 sin α + mg ht ) exp mg 7. x(t) = mv h m h h 0 cos α(1 exp ht) z(t) = m(v m h 0 sin α + mg ht )(1 exp ) mgt 8. t h m h s = m ln(1 + hv 0 sin α ) h mg 2.7 Le plongeur. Un homme supposé ponctuel de masse M=80kg saute d une falaise de hauteur h=5m. Pendant cette chute de courte durée, les frottements de l air sont négligés mais une fois dans l eau, les frottements de l eau se mettent sous la forme f = α v. On tient aussi compte de la poussée d Archimède dans l eau, qui est supposée compenser exactement le poids de la personne. Donner la profondeur p atteinte par le plongeur en fonction de h. 2.8 Le ressort et la masse. l 0. On considère une masse m attachée à l extrémité d un ressort de raideur k et de longueur à vide Partie I. Etude horizontale sans frottement (ni solide, ni fluide). Le ressort est, à t=0, allongée d une longueur a et lâchée sans vitesse initiale. 1. Etablir l équation vérifiée par ẍ(t). 2. Calculer x(t). 3. Que dire de la nature du mouvement Partie II. Etude verticale sans frottement.

13 Déterminer la longueur à l équilibre l eq du ressort. Le ressort est, à t=0, à l équilibre est percuté par une bille qui lui communique alors une vitesse v 0 selon la verticale ascendante. 2. On étudie le mouvement autour de la position d équilibre. Etablir l équation vérifiée par z(t). 3. Calculer z(t) Partie III. Etude verticale avec une force de frottement fluide. 1. La position d équilibre est elle changée? 2. On étudie toujours le mouvement autour de la position d équilibre. Etablir l équation vérifiée par z(t). 3. Calculer z(t) en vous inspirant de votre expérience personnel de l expérience. 2.9 Ressort sur un plan incliné. Un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0 est accroché à la partie supérieure d un plan incliné faisant un angle α avec l horizontale. La masse m accrochée à l extrémité basse du ressort est soumise à une force de frottement fluide f = h v. Le ressort est, à t=0, allongée d une longueur a et lâchée sans vitesse initiale. 1. Calculer la longueur à l équilibre du ressort. 2. Obtenir l équation différentielle du mouvement de la masse. 3. En négligeant les frottements, résoudre cette équation. Commenter 4. Les frottements avec l air sont faibles de tel sorte de que le facteur de qualité est très grand Q 100. Donner alors la solution. (Vous ferez les approximations qui s imposent) Ressort vertical. Un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0 est posé verticalement. L altitude z=0 est prise quand le ressort est à vide. Une masse M est posée sur le ressort. 1. Calculer la longueur à l équilibre du ressort. 2. En négligeant les frottements, obtenir l équation différentielle du mouvement de la masse. 3. Résoudre cette équation sachant qu à t=0, le ressort est. Réponse: z + ω0.z 2 = ωo 2 Mg k

14 Le pendule pesant. On s intéresse au balancier d une horloge (ancienne) de salon, formé d une masse m = 10kg, supposé ponctuel, accroché à l extrémité d une tige de longueur l (et de masse négligeable) dans le champ de pesanteur g = 9,81m.s 2. A l instant t = 0, le pendule est lâché sans vitesse initiale d un angle θ Quel paramètre cinématique permet de décrire le mouvement du balancier? Quelle est la base de projection adaptée à l étude? 2. Trouver l équation différentielle dont θ(t) est solution pour un mouvement sans frottement. 3. On fait alors l approximation des petits angles en supposant l angle θ 0 reste faible (< 10 typiquement) de telle sorte que sin(θ) θ et cos(θ) 1. Déterminer alors θ(t). 4. Calculer la force subie par la tige. 5. Proposer des caractéristiques pour le balancier pour que la période du balancier soit la seconde. 6. Le balancier est légèrement décalé et sa période est 1% trop grande, calculer le décalage sur une semaine. 7. Pourquoi est il raisonnable de négliger les frottements? 2.12 Bille dans un bol. Une bille supposée ponctuelle de masse m=100g est placée dans un bol sphérique de rayon a. La bille initialement au repos au fond du bol est percutée par un cuillère qui lui communique la vitesse v 0. Tous les frottements sont négligés. 1. Justifier que la réaction du support N soit normale au support. 2. Trouver l équation différentielle dont θ(t) est solution pour un mouvement sans frottement. 3. On fait alors l approximation des petits angles en supposant l angle θ m ax reste faible de telle sorte que sin(θ) θ et cos(θ) 1. Déterminer alors θ(t). 4. Calculer la réaction du support N Perle sur un cercle. Equilibre stable et instable. Un cerceau circulaire est placé verticalement. Sur ce cerceau de rayon est placée une perle ponctuelle de masse m=10g. figure Etablir l équation différentielle du mouvement de la perle. 2. Chercher les positions d équilibres. 3. Etude de l équilibre en θ = 0. Linéariser l équation différentielle autour de θ = 0. Discuter la stabilité de cette position d équilibre. (Rappel au voisinage de θ = 0, à l ordre 1, sin(θ) θ et cos(θ) 1)

15 Etude de l équilibre en θ = π. Linéariser l équation différentielle autour de θ = π. Discuter la stabilité de cette position d équilibre. (Rappel au voisinage de θ = π, à l ordre 1, sin(θ) θ et cos(θ) 1) Figure 2.1 perle sur un cercle Poulies et corde. 1. Deux personnes d une même équipe (les bleus) tirent chacun avec une force de 100N sur la corde, la force étant dirigé le long de la corde. Calculer la force que doit exercer l équipe adverse (les rouges) pour maintenir l équilibre. Calculer la tension de la corde 2. La corde étant maintenant fixée à un mur, les deux personnes de l équipe bleu tire sur la même corde de la même façon. Quelle est la tension de la corde. 3. Les laveurs de carreaux des buildings New-Yorkais sont installés dans des nacelles et tiennent une corde, liée à la nacelle qui passe par une poulie au sommet de l immeuble. Quelle force doit exercer le laveur de carreau pour rester en équilibre? 4. Deux singes de même masse s amusent sur une corde passée sur une poulie parfaite et souhaite atteindre les bananes sur la poulie. Un singe reste immobile par rapport à la corde alors que le second singe lui grimpe d une longueur L par rapport à la corde. Qui arrivera en premier au sommet de la corde. 5. Un dispositif a trois poulies est réalisé comme suit : deux poulies (n 1 et 3) sont fixés au plafond de la pièce. Alors que la poulie 2 est attachée au sommet d une charge M, initialement posée au sol. Une corde, fixée au sol, passe par la poulie 1 du plafond puis par la poulie 2 proche du sol avant de repasser par la poulie 3 au plafond et de tomber dans la main d un culturiste. Le sportif souhaite soulever la masse M du sol. Quelle force doit il exercer? Commenter.

16 Deux ressorts. Deux ressorts horizontaux (k 1, l 0 1 ) et (k 2, l 0 2 ) sont accrochés de part et d autre d une masse m. Le ressort 1 est fixé à un mur (à gauche) et le ressort 2 est fixé au mur distant de d > l l Calculer la longueur à l équilibre de chaque ressort. 2. Obtenir l équation différentielle du mouvement de la masse. 3. Résoudre cette équation en supposant qu une vitesse v 0 est été communiquée à la masse m à t = Voiture au sommet d une colline. Une voiture qui roule à vitesse constante arrive au sommet d une colline modélisée par un arc de cercle de rayon R et d ouverture angulaire 2α. Cf. figure ci contre. Quelle est la condition sur la vitesse pour éviter que la voiture ne décolle Enroulement d une corde sur une poutre cylindrique. L exercice cherche à comprendre pourquoi Indiana Jones peut se suspendre à son fouet quand celui ci est enroulé sur une poutre. Le fil est considéré de masse négligeable et frotte (frottement solide de coefficient f) sur la poutre. 1. Considérons un élément de fil élémentaire compris entre θ et θ + dθ. Calculer dt où T désigne la tension de la corde. dθ 2. Intégrer cette expression Electron dans les plaques d un condensateur. Un condensateur est constituée de deux armatures de métal, carrées de côté a=1cm, qui sont mises face à face, distantes de e (l une chargée positivement en z = + e, l une chargée négativement 2 en z = e ) soumises à une différence de potentielle U=10V. Il règne alors entre les armatures du 2 condensateur un champ électrostatique E = E u z tel que E = U, en négligeant tous les effets de e bords. Un électron de charge e = 1, C, de masse m = 9, kg, arrive alors entre les plaques avec une vitesse v 0 = v 0 u x. 1. On néglige le poids de l électron. Justifier. 2. Etudier la trajectoire de l électron dans les plaques. 3. Calculer le déplacement de l électron en sortie des plaques du condensateur, ainsi que l angle de la vitesse de l électron par rapport à la direction d incidence. 4. Préciser la trajectoire ultérieure de l électron.

17 Electron dans un champ magnétique. Un électron de charge e = 1, C, de masse m = 9, kg, est placé dans une zone de l espace ou règne un champ magnétique constant B 0 = B 0 u Z. Il est initialement introduit dans cette zone en M 0 = (x = 0, y = R, z = 0) avec une vitesse v 0 = v 0 u x. 1. Rappeler l expression de la force magnétique sur l électron dans le champ magnétique. Que dire de sa puissance? 2. On admet que la trajectoire est circulaire. Calculer alors le lien entre vitesse et rayon sur cette trajectoire Particule chargée dans un champ électromagnétique. On considère un électron de charge e = 1, C, de masse m = 9, kg, soumis à un champ électrique E 0 = E 0 u z et magnétique B 0 = B 0 u z. On admet que l électron peut être étudié en mécanique classique. 1. Rappeler l expression de la force subie par l électron. On négligera le poids devant cette force. 2. Dans un premier temps, étudier le mouvement de l électron soumis à un champ électrique seul E 0 = E 0 u z, sachant qu initialement la vitesse est v = v 0. u x 3. Etudier le mouvement de l électron soumis à un champ magnétique seul B0 = B 0 u z, sachant qu initialement la vitesse est v = v 0. u x. Pour cela, on supposera le mouvement circulaire dans le plan Oxy et on vérifiera la véracité de cette hypothèse. 4. Etudier le mouvement de l électron soumis à un champ électrique E 0 = E 0 u z et magnétique B 0 = B 0 u z. La vitesse initiale v 0 est supposée orthoradiale Particule électrisée dans un champ électromagnétique. Une particule électrisée de masse m et de charge q, assimilable à un point matériel M se trouve dans une région de l espace où règne simultanément un champ électrostatique et un champ magnétique, uniformes et permanents. L axe Oz est choisie parallèle à B et E est dans le plan Oxy. 1. Ecrire les équations différentielles du mouvement. 2. Intégrer ces équations avec pour Conditions Initiales, à t=0, M est en O et v 0 = (v 0x, v 0y, v 0z ). 3. Montrer que x(t) = v 0y /ω+e x /(Bω)+R cos(ωt+φ) et que y(t) = v 0x /ω E x /Bt+R sin(ωt+φ)

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19 Chapitre 3 Approche énergétique 3.1 Question de cours. 1. Enoncer, puis démontrer le théorème de l énergie cinétique après avoir rappeler la définition de la puissance d une force et la définition de l énergie cinétique. 2. Rappeler la définition d une force conservative. Conséquence. 3. Montrer que la force qui s écrit F = kx u x est conservative et dérive d une énergie potentielle. 4. Montrer que le poids est une force conservative. 5. Rappeler l expression de l énergie potentielle de pesanteur, de l énergie potentielle du ressort et de l énergie potentielle électrostatique. Citer une force non conservative. 6. Enoncer puis démonter le théorème de l énergie mécanique. 7. Rappeler les avantages et inconvénient d une approche énergétique. 8. Exposer le lien sur un exemple entre portrait de phase et étude énergétique. 9. Parler des symétries du portrait de phase. 10. Exposer l analogie entre oscillateur électrique et oscillateur mécanique. 3.2 Vrai-Faux de cours. 1. Le travail est une grandeur indépendante du chemin suivi. 2. L énergie est une grandeur indépendante du chemin suivi. 3. Si une force est conservative, elle dérive d une énergie potentielle. 4. L énergie potentielle est définie par la relation suivante de p = δw 5. L énergie mécanique est une grandeur conservative. 6. Le poids et la force du ressort sont des forces conservatives. 19

20 Le skieur. Approche énergétique Un skieur se trouve au sommet d une piste faisant un angle α avec l horizontale et de dénivelée h. A t=0, il part sans vitesse initiale Partie I. Etude sans frottement. 1. Etudier le mouvement lors de la décente. 2. Calculer la vitesse en bas de la pente. Commenter l expression trouvée Partie II. Etude avec un frottement solide de coefficient f. 1. Etudier le mouvement lors de la décente par l équation énergétique. 2. Calculer le travail de la force de frottement solide lors du déplacement. 3. Calculer la vitesse en bas de la pente. I.2 Par un raisonnement énergétique, v = 2gh II2 v = 2gh(1 f.cotanα) 3.4 Vitesse atteinte en bas d une descente. On considère un système ponctuel M de masse m qui part de M 0, sans vitesse. 1. Dans le cas du déplacement sur la demi sphère, calculer v 1 la vitesse au point M 1, en supposant qu il n y ait aucun frottement. 2. Dans le cas du déplacement sur le plan incliné, calculer v 1 la vitesse au point M 1, en supposant qu il n y ait aucun frottement. 3. Comparer et commenter les résultats obtenus. Réponse: v = 2gh 3.5 Le skieur et le remonte-pente. Un skieur de masse M = 80 kg souhaite remonter une pente de 1km de long faisant un angle avec l horizontale de 30. Il s accroche donc un fil, parallèle à la pente, qui exerce sur lui une force de module F. Le skieur est soumis à des frottements solides T. Cette force est dirigée de manière à s opposer au glissement du skieur et son module est tel que T = T = f. N où N désigne la réaction normale au support et f un nombre sans dimension, ici f = 0,05. L axe u X est dirigée selon la pente ascendante. (g = 9,81 m.s 2 ). 1. Faire un schéma faisant apparaître les forces s exerçant sur le skieur (supposé ponctuel). 2. Sachant que le skieur remonte la pente à vitesse constante v = 1 m.s 1, calculer la force F. 3. Calculer le travail de la force F sur la piste.

21 Ordre de grandeur dans le sport. 1. A quelle vitesse (en ordre de grandeur) un homme peut-il courir sur 100m? 2. En supposant que le coureur convertisse toute son E C en E P, quelle hauteur peut-il sauter? (g 10 m.s 2 ) Commenter votre résultat. 3. Que dire du saut à la perche? Réponse: 1. v 10m.s 1 2. h 5m 3.7 Saut à l élastique. Un courageux de masse m=80kg saute à l élastique d un pont de 112m de hauteur. Il est retenu par un élastique de caractéristique suivante (k = 1000S.I., l 0 = 80m). On suppose le mouvement sans frottement. 1. Déterminer la vitesse du courageux juste avant que l élastique ne se tende. 2. Déterminer l allongement maximum de l élastique. 3. Est-ce sans risque pour le sauteur? 3.8 Le ressort vertical. On considère une masse m supposée ponctuelle suspendue à ressort de caractéristique (k, l 0 ) vertical. 1. Déterminer l énergie potentielle totale E P (z) du système à une constante près. (On prendra pour cette question l origine des z à la position de l extrémité du ressort à vide.) 2. Déterminer alors la position d équilibre du ressort, ainsi que l eq. Commenter. 3. On choisit alors d étudier le mouvement par rapport à la position d équilibre. On introduit alors une nouvelle variable Z. Calculer E P (Z) en imposant la référence des énergies potentielles à la position d équilibre. 4. Etudier alors la stabilité de l équilibre. Réponse: 1. E P (z) = mgz+ 1 2 kz2 +cste 2. avec de P ) dz eq = 0, on a l e q = l 0 + mg > l k 0 3. E P (Z) = 1 2 kz2. 4. d2 E P ) dz 2 eq = k > 0 équilibre stable, cohérent avec des oscillations sinusoïdales attendues. 3.9 Etude énergétique et étude d une position d équilibre. Une particule ponctuelle M de masse m est astreinte à se déplacer suivant l axe u x, et elle est soumise à la force F = F (x) u x avec F (x) = ( kx + a x 2 ).

22 Que vous évoque la force F? 2. Quelle est la position d équilibre du point M? 3. Montrer que F (x) dérive d une énergie potentielle E P (x). 4. Dessiner E P (x) et discuter graphiquement les solutions. 5. (Question plus difficile mais essentielle.) Déterminer la période des petites oscillations autour de la position d équilibre. Réponse: 1. Un ressort et une force newtonienne 2. x eq = ( a k )( 1/3) 3. F (x) = de P dx E P (x) = 1 2 kx2 + a + cste 4. Etat lié, mouvement borné 5. T = 2π 3k. x m 3.10 Deux ressorts. Deux ressorts horizontaux (k 1, l 0 1 ) et (k 2, l 0 2 ) sont accrochés de part et d autre d une masse m. Le ressort 1 est fixé à un mur (à gauche) et le ressort 2 est fixé au mur distant de d > l l Exprimer l énergie potentielle totale du système à une constante près en fonction des constantes et de la distance z repérée par rapport à la position d équilibre. 2. Calculer la longueur à l équilibre de chaque ressort. 3. Commenter la stabilité de cette position d équilibre. 4. Obtenir l équation différentielle du mouvement de la masse. 5. Résoudre cette équation en supposant qu une vitesse v 0 est été communiquée à la masse m à t = Le pendule pesant. Une masse ponctuelle m est placée à l extrémité d un fil de longueur l, lui même fixé au plafond. Le pendule ainsi constitué est écarté de la verticale à t=0 d un angle θ 0 et est lâché sans vitesse initiale. 1. Déterminer la vitesse de la masse m pour un angle θ quelconque. 2. Exprimer la tension du fil F en fonction de θ, θ 0, m et g. 3. Quand la corde risque-t-elle de ne plus être tendue? Réponse: 1. v = 2gl(cos θ cos θ 0 ) 2. F = mg(3 cos θ 2 cos θ 0 ) 3.12 Une bille dans un bol. Une bille, assimilée à un point matériel est déposée dans un bol sphérique, de rayon R, à t = 0 en un point M 0 (repéré par un angle θ 0 ). Cette bille se déplace sans frottement aucun. 1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, trouver l équation dont est solution θ(t). d où

23 Dans l hypothèse des petits mouvements, simplifier et résoudre cette équation. 3. Quel est l allure du portrait de phase correspondant au mouvement décrit dans la question précédente. (Préciser le sens de parcours de la trajectoire)? 4. Retrouver l équation établie au 2 par une étude énergétique. 5. Commenter alors l allure du portrait de phase de la figure??. Réponse: 1. θ + g R sin(θ) = 0 2. θ(t) = θ 0 cos(ω 0 t) 3. Ellipse Figure 3.1 Portrait de phase : bille dans un bol 3.13 Perle sur un cercle. Equilibre stable et instable. D après Oral. Un cerceau circulaire est placé verticalement. Sur ce cerceau de rayon est placée une perle ponctuelle de masse m=10g. Figure Etablir l équation différentielle du mouvement de la perle par la méthode énergétique. 2. Chercher les positions d équilibres. 3. Etude de l équilibre en θ = 0. Discuter la stabilité de cette position d équilibre. Retrouver l équation différentielle du mouvement autour de cette position d équilibre et donner l allure de la solution. 4. Etude de l équilibre en θ = π. Discuter la stabilité de cette position d équilibre. Retrouver l équation différentielle du mouvement autour de cette position d équilibre et donner l allure de la solution.

24 Jeu d eau. Figure 3.2 Perle sur un cercle Dans un parc aquatique, un enfant de masse m, initialement au sommet du ballon quasiment immobile, glisse sur le ballon de rayon a. 1. Pourquoi peut on considérer ce mouvement comme sans frottement? 2. Etudier le mouvement de l enfant sur le ballon. Donner l expression de θ 2 en fonction de θ. 3. Quel est l angle pour lequel l enfant perd le contact avec le ballon? 4. Etudier le mouvement ultérieur. 5. Calculer la vitesse à laquelle l enfant touche l eau. Commenter. Réponse: 2. θ 2 = 2g a (1 cos θ) 3. θ 0 = arccos 2/3 4. v = 2ga 3 ( 2 3 u x u z) 5. v f = 2g2a 3.15 Perle sur un cercle, accrochée à un ressort. Une perle m supposée ponctuelle est glissée sur une tige circulaire de rayon R et suspendue à ressort de caractéristique (k, l 0 ) attaché en A, le sommet de cette piste circulaire. 1. Déterminer l énergie potentielle totale E P (θ) du système à une constante près. 2. Déterminer la ou les positions d équilibre. 3. Etudier alors la stabilité de l équilibre selon la valeur de p = kl 0 /mg. Définir p critique. 4. Dessiner l allure de l énergie potentielle selon la valeur de p = kl 0 /mg pour p > p C et p < p C. 5. Commenter alors le portrait de phase donné figure 3.3 pour p > p C (figure a) et p < p C (figure b). (la variable u des graphiques désigne θ) Réponse: 1. E P (z) = mgr(1 cos(θ)) + 1k( (R + R cos(θ)) R 2 sin 2 (θ) l 0 ) 2 + cste cette expression se simplifie 2. Calculer de P ) 3. Calculer d2 E P ) dθ dθ 2 eq, distinguer deux cas selon la valeur de p = kl 0 /mg.

25 25 Figure 3.3 Portrait de phase : perle sur un cercle, accrochée à un ressort.