La théorie du choix social. une brève présentation... Thierry Champion
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- Chrystelle Gaudet
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1 La théorie du choix social une brève présentation... Thierry Champion Laboratoire IMATH (Institut de Mathématiques de Toulon et du Var), Université de Toulon
2 Plan de l exposé Introduction : théorie du choix social? Exemples de méthodes de choix social : scrutins nationaux; méthode de Condorcet; méthode de Borda. Théorème d impossibilité d Arrow : hypothèses; exemples de Condorcet; autre hypothèse : monotonie. Jugement majoritaire Et un peu de vote stratégique.
3 Bibliographie un livre : MAJORITY JUDGEMENT, Measuring, Ranking, and Electing, Michel Balinski and Rida Laraki, MIT Press. un article de recherche : A theory of measuring, electing and ranking, Michel Balinski and Rida Laraki, Proceedings of the National Academy of Sciences USA, vol. 104, no. 21, et quelques discussions avec Rida Laraki
4 Introduction définition par Balinski et Laraki : The Theory of Social Choice concerns methods for amalgamating the appreciations or evaluations of many individuals into one collective appreciation or evaluation.
5 Introduction définition par Balinski et Laraki : The Theory of Social Choice concerns methods for amalgamating the appreciations or evaluations of many individuals into one collective appreciation or evaluation. Applications : décisions ou élections politiques, classement de candidats par un jury...
6 Introduction définition par Balinski et Laraki : The Theory of Social Choice concerns methods for amalgamating the appreciations or evaluations of many individuals into one collective appreciation or evaluation. Applications : décisions ou élections politiques, classement de candidats par un jury... Travaux et résultats célèbres par : Jean-Charles, chevalier de Borda ( ) Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet ( ) Kenneth Arrow (1921-) : le théorème d impossibilité d Arrow
7 Introduction - premier exemple trois systèmes de vote pour l élection des députés : système français : majorité à deux tours; système anglais : majorité à un tour. système australien : vote par liste classée.
8 Introduction - premier exemple trois systèmes de vote pour l élection des députés : système français : majorité à deux tours; système anglais : majorité à un tour. système australien : vote par liste classée. Exemple : quel fruit gagne? nombre de votants préférences 1 Ananas > Banane > Cerise 7 Ananas > Cerise > Banane 7 Banane > Cerise > Ananas 6 Cerise > Banane > Ananas
9 Le gagnant de Condorcet Définition (Lull 1299, Condorcet 1789): le gagnant de Condorcet, si il existe, est le candidat qui gagne contre tous les autres en un contre un.
10 Le gagnant de Condorcet Définition (Lull 1299, Condorcet 1789): le gagnant de Condorcet, si il existe, est le candidat qui gagne contre tous les autres en un contre un. Exemple: nombre de votants préférences 1 Ananas > Banane > Cerise 7 Ananas > Cerise > Banane 7 Banane > Cerise > Ananas 6 Cerise > Banane > Ananas... Quel fruit est le gagnant de Condorcet?
11 Le paradoxe de Condorcet Un autre exemple, par Condorcet lui-même : nombre de votants préférences 23 Pticachou > Bulzibar > Cartapuce 2 Bulzibar > Pticachou > Cartapuce 17 Bulzibar > Cartapuce > Pticachou 10 Cartapuce > Pticachou > Bulzibar 8 Cartapuce > Bulzibar > Pticachou... y a-t-il un gagnant de Condorcet?
12 La méthode de Borda Définition (Cusanus 1433, Borda 1784): On suppose qu il y a k candidats. Chaque votant classe les candidats, et donne k points au candidat qu il classe premier, k points à celui qu il classe deuxième,... 1 point à celui qu il classe dernier. Le score d un candidat est celui obtenu en additionnant tous les points qu il reçoit : k n x n = kx k + (k 1) x k x 2 + x 1 n=1 où x n représente le nombre de fois où le candidat reçoit n points. Le gagnant de Borda est le candidat qui a le plus de points.
13 La méthode de Borda Exemple: nombre de votants préférences 1 Ananas > Banane > Cerise 7 Ananas > Cerise > Banane 7 Banane > Cerise > Ananas 6 Cerise > Banane > Ananas
14 La méthode de Borda Exemple: nombre de votants préférences 1 Ananas > Banane > Cerise 7 Ananas > Cerise > Banane 7 Banane > Cerise > Ananas 6 Cerise > Banane > Ananas on obtient le classement : Cerise (47) > Banane (42) > Ananas (37)
15 La méthode de Borda Exemple: nombre de votants préférences 23 Pticachou > Bulzibar > Cartapuce 2 Bulzibar > Pticachou > Cartapuce 17 Bulzibar > Cartapuce > Pticachou 10 Cartapuce > Pticachou > Bulzibar 8 Cartapuce > Bulzibar > Pticachou
16 La méthode de Borda Exemple: nombre de votants préférences 23 Pticachou > Bulzibar > Cartapuce 2 Bulzibar > Pticachou > Cartapuce 17 Bulzibar > Cartapuce > Pticachou 10 Cartapuce > Pticachou > Bulzibar 8 Cartapuce > Bulzibar > Pticachou on obtient le classement : Bulzibar (129) > Pticachou (118) > Cartapuce (113)
17 Un autre paradoxe de Condorcet un exemple par Condorcet : votants premier choix A A A A A A B B B C C C second choix B B C C D D A C D A B B troisième choix C D B D B C D D A B A D dernier choix D C D B C B C A C D D A
18 Un autre paradoxe de Condorcet un exemple par Condorcet : votants premier choix A A A A A A B B B C C C second choix B B C C D D A C D A B B troisième choix C D B D B C D D A B A D dernier choix D C D B C B C A C D D A Le gagnant de Borda est C alors que le gagnant de Condorcet est A!!
19 Un autre paradoxe de Condorcet un exemple par Condorcet : votants premier choix A A A A A A B B B C C C second choix B B C C D D A C D A B B troisième choix C D B D B C D D A B A D dernier choix D C D B C B C A C D D A Le gagnant de Borda est C alors que le gagnant de Condorcet est A!! Si D abandonne, le gagnant de Borda est A!!!
20 Théorème d impossibilité d Arrow : le cadre Kenneth Arrow (1921-) : Social choice and individual values, K. Arrow, Yale University Press, 1951
21 Théorème d impossibilité d Arrow : le cadre Kenneth Arrow (1921-) : Social choice and individual values, K. Arrow, Yale University Press, 1951 Données : chaque votant v possède un ordre de préférences strictes : B > v A > v C La collection de ces votes forme un profil de préférences.
22 Théorème d impossibilité d Arrow : le cadre Kenneth Arrow (1921-) : Social choice and individual values, K. Arrow, Yale University Press, 1951 Données : chaque votant v possède un ordre de préférences strictes : B > v A > v C La collection de ces votes forme un profil de préférences. Objectif : mettre au point une fonction de classement ou classement social : B > S A > S C
23 Théorème d impossibilité d Arrow : le cadre Hypothèses Universalité : la fonction de classement doit être définie pour tous les profils.
24 Théorème d impossibilité d Arrow : le cadre Hypothèses Universalité : la fonction de classement doit être définie pour tous les profils. Unanimité : A > S B. si A > v B pour tous les votants, alors
25 Théorème d impossibilité d Arrow : le cadre Hypothèses Universalité : la fonction de classement doit être définie pour tous les profils. Unanimité : A > S B. si A > v B pour tous les votants, alors Indépendance aux alternatives non pertinentes (IIA) : le fait que A > S B ne dépend que du classement relatif de A et B pour les votants.
26 Théorème d impossibilité d Arrow : le cadre Hypothèses Universalité : la fonction de classement doit être définie pour tous les profils. Unanimité : A > S B. si A > v B pour tous les votants, alors Indépendance aux alternatives non pertinentes (IIA) : le fait que A > S B ne dépend que du classement relatif de A et B pour les votants. Absence de dictateur : la fonction de vote n est pas déterminée par les préférences de l un des votants.
27 Exemples - méthode de Condorcet nombre de votants préférences 23 Pticachou > Bulzibar > Cartapuce 2 Bulzibar > Pticachou > Cartapuce 17 Bulzibar > Cartapuce > Pticachou 10 Cartapuce > Pticachou > Bulzibar 8 Cartapuce > Bulzibar > Pticachou méthode de Condorcet : Ptitcachou > S Bulzibar > S Cartapuce > S Pticachou
28 Exemples - méthode de Condorcet nombre de votants préférences 23 Pticachou > Bulzibar > Cartapuce 2 Bulzibar > Pticachou > Cartapuce 17 Bulzibar > Cartapuce > Pticachou 10 Cartapuce > Pticachou > Bulzibar 8 Cartapuce > Bulzibar > Pticachou méthode de Condorcet : Ptitcachou > S Bulzibar > S Cartapuce > S Pticachou La méthode de Condorcet ne satisfait pas l Universalité.
29 Exemples - méthode de Bordat number rank 1 A A A A A A B B B C C C rank 2 B B C C D D A C D A B B rank 3 C D B D B C D D A B A D rank 4 D C D B C B C A C D D A méthode de Condorcet : A > S C > S B > S D méthode de Borda : C > S B > S A > S D
30 Exemples - méthode de Bordat number rank 1 A A A A A A B B B C C C rank 2 B B C C D D A C D A B B rank 3 C D B D B C D D A B A D rank 4 D C D B C B C A C D D A méthode de Condorcet : A > S C > S B > S D méthode de Borda : C > S B > S A > S D si D abandonne, la méthode de Borda donne : A > S B > S C
31 Exemples - méthode de Bordat number rank 1 A A A A A A B B B C C C rank 2 B B C C D D A C D A B B rank 3 C D B D B C D D A B A D rank 4 D C D B C B C A C D D A méthode de Condorcet : A > S C > S B > S D méthode de Borda : C > S B > S A > S D si D abandonne, la méthode de Borda donne : A > S B > S C La méthode de Borda ne vérifie pas l Indépendance aux alternatives non pertinentes (IIA).
32 Le théorème d impossibilité d Arrow Théorème (Théorème d impossibilité d Arrow) Dès qu il y a au moins 3 candidats et 2 votants, il n existe pas de méthode de classement qui satisfait les principes suivants : Universalité, Unanimité, Indépendance aux alternatives non pertinentes, Etre non dictatorial.
33 Preuve par Geanakoplos (2005) On suppose qu une fonction de classement vérifie Universalité, Unanimité, Indépendance aux alternatives non pertinentes, alors elle est dictatoriale.
34 Preuve par Geanakoplos (2005) On suppose qu une fonction de classement vérifie Universalité, Unanimité, Indépendance aux alternatives non pertinentes, alors elle est dictatoriale. Etape 1 On considère un profil de préférence. Si un candidat B est soit premier soit dernier pour tous les votants, alors il en est de même pour le classement social. Preuve par l absurde!
35 Preuve par Geanakoplos (2005) Etape 2 Il existe un profil Φ, un votant d et un candidat B, pour lesquels le classement social classe B dernier, mais en changeant uniquement son vote d peut faire passer B en premier.
36 Preuve par Geanakoplos (2005) Etape 2 Il existe un profil Φ, un votant d et un candidat B, pour lesquels le classement social classe B dernier, mais en changeant uniquement son vote d peut faire passer B en premier. Etape 3 Le votant d impose sa préférence entre les choix A et C à la fonction de classement pour tous les candidats A et C differents de B : A > d C A > S C
37 Preuve par Geanakoplos (2005) Etape 2 Il existe un profil Φ, un votant d et un candidat B, pour lesquels le classement social classe B dernier, mais en changeant uniquement son vote d peut faire passer B en premier. Etape 3 Le votant d impose sa préférence entre les choix A et C à la fonction de classement pour tous les candidats A et C differents de B : Etape 4 A > d C A > S C Le votant d impose sa préférence entre A et B à la fonction de classement pour tout candidat A.
38 Autre propriété souhaitable : la monotonie Exemple: A A B C C B C C B A C B A A B Qui est élu (dans le système majoritaire à deux tours)?
39 Autre propriété souhaitable : la monotonie Exemple: A A B C C B C C B A C B A A B Qui est élu (dans le système majoritaire à deux tours)? Presque pareil : B A B C C A C C B A C B A A B Qui est élu?
40 Jugement majoritaire Balinski - Laraki, 2007 Pour pallier aux défauts précédents : évaluer (i.e. noter) les candidats plutôt que de les classer. Utiliser ensuite l évaluation (les notes) pour classer les candidats.
41 Jugement majoritaire Balinski - Laraki, 2007 Pour pallier aux défauts précédents : évaluer (i.e. noter) les candidats plutôt que de les classer. Utiliser ensuite l évaluation (les notes) pour classer les candidats. Cette méthode satisfait : universalité unanimité indépendance aux alternatives non pertinentes (en théorie) absence de dictateur la monotonie
42 Jugement majoritaire
43 Jugement majoritaire Definition La note majoritaire d un candidat est la médiane de ses notes. Dans le cas d un nombre pair de votants, on choisit la plus petite des deux notes médianes.
44 Jugement majoritaire Definition La note majoritaire d un candidat est la médiane de ses notes. Dans le cas d un nombre pair de votants, on choisit la plus petite des deux notes médianes. Cette méthode satisfait : universalité unanimité indépendance aux alternatives non pertinentes (en théorie) absence de dictateur la monotonie
45 Vote stratégique - un exemple Adhésion à l association de Yassine, Fanny et Marie Ehouarn et Carla veulent adhérer à l association Yassine, Fanny et Marie votent en deux tours : tour 1 : lequel des deux est susceptible d adhérer? tour 2 : plutôt celui choisi au tour 1 ou personne?
46 Vote stratégique - un exemple Adhésion à l association de Yassine, Fanny et Marie Ehouarn et Carla veulent adhérer à l association Yassine, Fanny et Marie votent en deux tours : tour 1 : lequel des deux est susceptible d adhérer? tour 2 : plutôt celui choisi au tour 1 ou personne? Préférences : Yassine Fanny Marie 1er choix Ehouarn Carla 2nd choix Ehouarn Ehouarn 3ème choix Carla Carla
47 Pour aller plus loin La page personnelle de Rida Laraki, sur laquelle on peut trouver plusieurs articles (dont celui cité au début de cet exposé) et références sur le thème du choix social. Un lien vers une petite vidéo montrant par l exemple que divers modes de scrutins amènent des résultats électoraux différents (voir les premiers exemples de cet exposé!).
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