Nom : Groupe : Enseignant(e) : Des polygones aux polyèdres

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1 e Nom : Groupe : Enseignant(e) : Des polygones aux polyèdres Les polygones réguliers et les différents solides fascinent les mathématiciens et les mathématiciennes depuis plus de 2000 ans. Platon, Euclide, Euler, Descartes se sont tous intéressés aux polygones réguliers ou aux solides. Quels solides connais-tu? Si tu devais peindre un objet en forme de polygone régulier, serais-tu capable de calculer l aire de la surface à couvrir? Dans ce panorama, tu découvriras comment faire le développement d un solide, comment reconnaître un solide et comment calculer l aire d un polygone régulier, d un prisme droit ou d une pyramide droite. Tu détermineras la mesure manquante d un polygone ou d un solide d après son aire.

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3 Les unités de longueur du système international d unités Km hm dam m dm cm mm Exemples : a) 123cm = m b) 34,5km = dm c) 0,76hm = dm Les unités d aire du système international d unités Km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm Exemples : a) 4200cm 2 = m 2 b) 0,005km 2 = dm 2 c) 0,76hm 2 = dm 2 2

4 RAPPEL : Les formules d aire La somme des angles dans les polygones Rectangle La hauteur est toujours perpendiculaire à la base choisie. b : base h : hauteur Formule pour l aire du rectangle A = b h Carré c : côté Formule pour l aire du carré A = c 2 (c c) Parallélogramme La hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie ou à son prolongement. b : base h : hauteur Triangle Prolongement de la base Chacun des côtés d un triangle peut être désigné comme base. La hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie ou à son prolongement. b : base h : hauteur Formule pour l aire du parallélogramme A = b h Formule pour l aire du triangle : A = b h 2 3

5 Losange Les diagonales des losanges se croisent toujours perpendiculairement. d : petite diagonale D : grande diagonale Formule pour l aire du losange : A = D d 2 Trapèze Les côtés parallèles sont appelés les bases. La hauteur est toujours perpendiculaire aux bases. h: hauteur b: petite base B : grande base Formule pour l aire du trapèze : A = (B + b) h 2 Formules pour calculer les angles intérieurs des polygones La somme des angles intérieurs de tous les polygones peut s obtenir à l aide de l équation suivante : S : La somme des angles intérieurs n : Nombre de côtés du polygone S = (n 2) 180 4

6 Apothème d un polygone régulier L apothème est le segment perpendiculaire mené du centre d un polygone régulier au milieu d un des côtés de ce polygone. Nom des polygones réguliers selon le nombre de côtés Nombre de côtés Nom du polygone régulier Polygone à 13 côtés Polygone à côtés 5

7 Aire d un polygone régulier Formule pour calculer l aire d un polygone régulier : A c a 2 n Où c : mesure du côté a : mesure de l apothème n : nombre de côtés Démarche TFRRU obligatoire. Exemples : Calcule l aire des polygones réguliers ci-dessous. a) b) 6

8 Aire d un polygone décomposable Décomposer la figure complexe en figures connues. 1) Addition d aire 2) Soustraction d aire Exemples : Calcule la surface grise des deux figures suivantes : a) b) 7

9 Classification des solides Un solide est une portion d espace limitée par une surface fermée. Solides Corps ronds Polyèdres Sphères Cônes Cylindres Prismes Pyramides Cette année, on étudiera : Les cylindres droits Les prismes droits Les pyramides droites On peut décrire un solide à l aide de faces, d arêtes et de sommets. Face Surface plane ou courbe délimitée par des arêtes. Arête Ligne d intersection entre deux faces d un solide. Sommet Point commun à au moins deux arêtes d un solide. 8

10 Prisme droit Un prisme droit est un polyèdre ayant deux bases isométriques et parallèles et dont les faces latérales sont des rectangles. Deux bases Faces latérales en forme de rectangles Pyramide droite Une pyramide est un polyèdre constitué d une seule base ayant la forme d un polygone et dont les faces latérales sont des triangles ayant un sommet commun, appelé apex. Une seule base Faces latérales en forme de triangles 9

11 Prisme régulier C est un prisme droit dont la base est un polygone régulier. Pyramide régulière Une pyramide régulière est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier. On identifie un prisme selon la forme de sa base. 10

12 Développement d un polyèdre Le développement d un polyèdre est la figure plane obtenue par la «mise à plat» de la surface du polyèdre. Chacune des faces doit être reliée à au moins une autre face par une arête commune. Voici un autre développement possible pour le prisme à base pentagonale : Voici un autre développement possible pour la pyramide droite à base carrée : 11

13 1 Qui suis-je? Je suis un solide : EXERCICES - Les prismes et les pyramides a) dont l une des faces est un pentagone et les 5 autres sont des triangles. b) dont la surface est composée de 6 faces carrées. c) qui a autant de faces que de sommets. d) qui a 12 sommets, 6 faces rectangulaires perpendiculaires à ses bases et 18 arêtes. 2 Dessine le développement de chacun des polyèdres ci-dessous. (Échelle 1 : 10) a) b) 3 Donne le nom et dessine le développement correspondant à chacune des descriptions cidessous. a) Un solide dont deux des faces sont des triangles isométriques et parallèles, et les trois autres faces sont des rectangles. Nom : b) Un solide dont l une des faces est un carré et les quatre autres faces sont des triangles isométriques. 12 Nom :

14 Prisme Hauteur La hauteur d un prisme droit est la distance entre les deux bases du prisme. Aire latérale Dans un prisme droit, les faces latérales sont des rectangles Aire totale d un prisme Dans un prisme : 2 bases et 1 aire latérale. Ex : Calcule l aire totale de ce prisme. 13

15 Pyramide Hauteur La hauteur d une pyramide droite est la distance entre l apex et la base de la pyramide. Apothème d une pyramide C est le segment abaissé perpendiculairement de l apex sur un des côtés de la base. Il correspond à la hauteur du triangle formant une face latérale. Aire latérale Dans une pyramide, les faces latérales sont des triangles. Aire totale d une pyramide Dans une pyramide : 1 base et 1 aire latérale. Ex : Calcule l aire totale de cette pyramide. 14

16 EXERCICES Aire totale de prismes et de pyramides Calcule l aire totale des solides suivants : #1. 2,3 dm 12 cm #2 7,2 cm 5 cm #3 10 m 3 m 4 m 15

17 Aire d un solide décomposable Pour calculer l aire d un solide décomposable, on peut le décomposer en solides plus simples. Mais attention!!! Certaine faces de ces solides plus simples ne font pas partie de l aire totale du solide, donc on ne doit pas les calculer. 16

18 Déterminer une mesure manquante On peut utiliser l algèbre pour déterminer une valeur manquante. On remplace dans la formule de l aire les valeurs connues et on isole la valeur manquante. (Méthode de la balance.) Mettre des titres significatifs pour chacune des étapes. a) Quelle est la mesure de l apothème si l aire est de 100,44 cm 2? a =? 5,4cm b) L aire totale de cette figure est de 49,2 cm 2. Trouve l apothème de l octogone. 3cm 2cm a =? 17

19 c) Quelle est la hauteur de ce prisme si l aire totale est de 139,2cm 2. 5cm 4cm 5cm 6cm d) Quelle est la mesure d un côté de la base si l aire latérale est de 243,2 cm 2. a = 12,8cm C =? 18