1 ère STMG - STATISTIQUES

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1 1 ère STMG - STATISTIQUES Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page JGCUAZ.FR rubrique mathématiques) a été conçu pour aider les élèves de 1 ère STMG en mathématiques. Il contient le cours (définitions, théorèmes, démonstrations) et 11 exercices corrigés. La progression proposée est celle que je pratique dans mes classes. Au fur et à mesure, j'ai inséré des remarques, conseils et points méthode, sur la base de mon expérience d'enseignant en lycée. Ce document n'a pas la prétention de se substituer à l'assiduité nécessaire au cours, mais pourra permettre au lecteur de rattraper une absence, de réviser une notion et/ou de préparer une évaluation, le temps de recherche des exercices (et non pas une lecture immédiate du corrigé, même si celuici est écrit "juste en dessous"!) étant une condition nécessaire à la réussite. La navigation peut s'effectuer de manière interactive pour ceux qui utilisent la version PDF de ce document. Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page JGCUAZ.FR où vous trouverez mon adresse électronique (qui est JGCUAZ@HOTMAIL.COM à la date du 21/12/2016) Egalement disponible une page facebook Montpellier, le 21/12/2016 Jean-Guillaume CUAZ, professeur de mathématiques, Lycée Clemenceau, Montpellier depuis 201 Lycée Militaire de Saint-Cyr, de 2000 à ère STMG - Statistiques - Introduction Page 1/16 Version du 21/12/2016

2 CALCUL DE MOYENNES Le nombre de buts inscrits par un célèbre club de football lors des 8 journées de ligue 1 est donné ci-dessous : 1,2,,0,1,2,0,0,1,2,4,2,1,,4,1,0,0,2,1,0,2,1,0,0,1,1,2,1,0,0,0,1,2,0,1,0,1 On désire connaître le nombre moyen de buts qui ont été marqués par match. Pour cela deux solutions s'offrent à nous : 1 er calcul Ce nombre moyen de but est égal à : COMMENTAIRE : ,1 8 Le calcul peut être long et "risqué", surtout s'il y a beaucoup de valeurs but par match 2 ème calcul On dépouille la série statistique, pour obtenir le tableau des effectifs : Nombre de but Effectif Le nombre moyen de but est alors égal à : ,1 8 but par match Définition : On considère une série statistique composée des valeurs, x,... x pondérées par les nombres, p,... p. p1 2 n x1 2 n La moyenne de cette série statistique est alors égale à : x1 p1+ x2 p xn p p + p +... p 1 2 n n On la note souvent x 1 ère STMG - Statistiques Page 2/16 Version du 21/12/2016

3 CALCUL DE MOYENNES - EXERCICES Exercice n 1 (correction) Les 5 élèves d'une classe ont composé et le tableau ci-dessous donne la répartition des notes. Note Effectif Déterminer la moyenne de ce devoir. Exercice n 2 (correction) 2 Répartition du nombre de supermarchés en France suivant la surface en m : Surface [400 ;800[ [800 ;1000[ [1000 ;2500] Effectif Déterminer la surface moyenne d'un supermarché Exercice n (correction) Un relevé des durées des communications téléphoniques effectués dans un central téléphonique a fourni les informations consignées dans le tableau suivant (l'unité de durée est la minute) Intervalle de durée [0;2[ [2;4[ [4;6[ [6;8[ [8;10[ [10;12[ Effectif ) Calculer la durée moyenne d'un appel. 2) On regroupe les classes par deux, ce qui revient à considérer les classes [0;4[, [4,8[ et [8;12[. Calculer la durée moyenne d'un appel pour cette nouvelle série ) Quelle conclusion pouvez-vous formuler? Exercice n 4 (correction) Une étude statistique a révélé que le nombre moyen d'enfants par femme était d'environ 2,2. 1) Combien d'enfants y-a-t'il en moyenne dans un groupe de 50 femmes? 2) On désire effectuer un sondage sur 1100 enfants. Combien de femmes doit-on interroger environ? 1 ère STMG - Statistiques Page /16 Version du 21/12/2016

4 CALCUL DE MOYENNES - CORRECTION Correction de l'exercice n 1 (retour à l'énoncé) La moyenne de cette classe vaut ,9 5 Correction de l'exercice n 2 (retour à l'énoncé) On remplace chaque intervalle par son milieu. La série statistique devient alors : Surface Effectif Sa moyenne vaut alors Correction de l'exercice n (retour à l'énoncé) 1) Pour calculer la moyenne de cette série statistique, on prend en compte le milieu des classes : Intervalle de durée [0;2[ [2;4[ [4;6[ [6;8[ [8;10[ [10;12[ Milieu des classes Effectif La durée moyenne d un appel vaut donc minutes, soit 5 minutes et secondes. La durée moyenne d un appel vaut donc 5 minutes, 52 secondes et 8 dixièmes 2) La nouvelle série statistique est donc ,7 m ,88 60 = 52,8 Intervalle de durée [0;4[ [4;8[ [8;12[ Effectif 14+16= = =0 Pour calculer la moyenne de cette série statistique, on prend en compte le milieu des classes : Intervalle de durée [0;4[ [4;8[ [8;12[ Milieu des classes Effectif La durée moyenne d un appel calculée à partir de cette série vaut donc x = = = minutes ) Selon la manière de regrouper les communications téléphoniques (donc seulement la présentation de la série statistique!), les résultats peuvent être différents x = = = 5, ère STMG - Statistiques Page 4/16 Version du 21/12/2016

5 Correction de l'exercice n 4 (retour à l'énoncé) Une étude statistique a révélé que le nombre moyen d'enfants par femme était d'environ 2,2. 1) Combien d'enfants y-a-t'il en moyenne dans un groupe de 50 femmes? Il y a environ Il y a 50 2,2 = 110 enfants 2) On désire effectuer un sondage sur 1100 enfants. Combien de femmes doit-on interroger environ? On doit interroger environ ,2 = femmes 1 ère STMG - Statistiques Page 5/16 Version du 21/12/2016

6 ECART - TYPE Considérons les notes de deux élèves A et B : Elève A : 2,7,9,1,16,19 et Elève B : 10,10,11,11,12,12 Ces deux élèves ont même moyenne 11. Comment les différencier? Comment exprimer par un calcul le fait que pour l'élève B, les 6 notes sont très rapprochées de la moyenne 11, alors que dans l'élève A, les 6 notes sont très dispersées (de 2 à 19!)? Grace à une notion statistique appelée écart-type Définition : L'écart type d'une série statistique mesure la dispersion des valeurs de la série autour de la moyenne. Il se note σ (lettre grecque SIGMA) et s'obtient à l'aide de la calculatrice. Dans l'exemple ci-dessus, l'écart type du premier élève vaut : σ A 5,7 L'écart type du second élève vaut : σ B 0,8 Règle : Plus l'écart type est important, plus les valeurs de la série statistique sont dispersées autour de la moyenne. 1 ère STMG - Statistiques Page 6/16 Version du 21/12/2016

7 ECART - TYPE - EXERCICES Exercice n 5 (correction) Le tableau suivant donne les températures moyennes par mois à Paris et à Pékin en degrés Celsius. Mois J F M A M J J A S O N D Pékin Paris ) Calculer la moyenne et l'écart-type des températures mensuelles pour chacune de ces villes. 2) Comparer et analyser les résultats obtenus. Exercice n 6 (correction) Les dix meilleures performances de deux coureurs de 100 m (appelés A et B) sont donnés cidessous : A 9,9 10, ,5 9,8 10,2 10, ,1 B 10, 10,4 10,6 10,5 10,1 10, 10, ,1 En calculant, pour chaque coureur, la moyenne des temps et l'écart-type de la série, comparer le niveau de performance et la régularité de ces coureurs. Exercice n 7 (correction) On a mesuré le diamètre, en millimètres, de 100 pièces métalliques : Diamètre 24,1 24, 24,5 24,7 24,9 25,1 25, 25,5 25,7 25,9 Nombre de pièces ) Déterminer le diamètre moyen x de ces pièces. 2) Déterminer l'écart type σ des diamètres. ) On décide de réviser la machine de fabrication si au moins 20 % des pièces ont un diamètre qui n'appartient pas l'intervalle x σ; x+ σ. Doit-on réviser cette machine? 1 ère STMG - Statistiques Page 7/16 Version du 21/12/2016

8 Exercice n 8 (correction) Deux tireurs à l'arc s entraînent au tir à la cible. Chaque fois qu'ils tirent une flèche, ils peuvent marquer 50, 0, 20, 10 ou 0 point(s). On suppose qu'ils ont réalisé chacun 0 tirs. Leurs résultats sont donnés dans le tableau suivant : Points Tireur A Tireur B ) Calculer la moyenne des résultats du tireur A 2) Calculer l'écart-type des résultats du tireur A ) Calculer la moyenne des résultats du tireur B 4) Calculer l'écart-type des résultats du tireur B 5) Quel est le tireur le plus performant en moyenne? Justifier 6) Quel est le tireur le plus régulier? Justifier 1 ère STMG - Statistiques Page 8/16 Version du 21/12/2016

9 ECART - TYPE - CORRECTION Correction de l'exercice n 5 (retour à l'énoncé) 1) Ville de Pekin : La moyenne des températures de la ville de Pekin est égale à : x1 = = = L écart-type des températures vaut σ1 1,95 Ville de Paris : La moyenne des températures de la ville de Paris est égale à : x = = = 11, L écart-type des températures vaut σ 2 5,68 2) Les calculs précédents permettent d établir quelques remarques : En moyenne il fait plus chaud à Pekin qu à Paris Le climat est plus «modéré» à Paris qu à Pekin car les températures sont moins «étirées» autour de la moyenne Correction de l'exercice n 6 (retour à l'énoncé) Grâce à la calculatrice, on établit que : - La moyenne des temps du coureur A est 10,19 et son écart-type est d'environ 0, - La moyenne des temps du coureur B est 10,1 et son écart-type est d'environ 0,25 On en conclut que le coureur A possède un meilleur niveau mais que le coureur B est plus régulier. 1 ère STMG - Statistiques Page 9/16 Version du 21/12/2016

10 Correction de l'exercice n 7 (retour à l'énoncé) On a mesuré le diamètre, en millimètres, de 100 pièces métalliques : Diamètre 24,1 24, 24,5 24,7 24,9 25,1 25, 25,5 25,7 25,9 Nombre de pièces On utilise la calculatrice : Saisie des données Demande de calcul Résultats 1) x = 24,946 2) σ 0,856 ) L'intervalle x σ; x+ σ est : [ 24,946 0,856;24, ,856] = [ 24,5604;25,16] Le nombre de pièces dont le diamètre n'appartient pas à l'intervalle [ 24,5604;25,16 ] est =. Ces pièces représentent plus de 0 % des pièces. Il faut donc réviser la machine. Correction de l'exercice n 8 (retour à l'énoncé) 1) Calculer la moyenne des résultats du tireur A Pour le tireur A : x A = 29 2) Calculer l'écart-type des résultats du tireur A Pour le tireur A : σ A 14,7 ) Calculer la moyenne des résultats du tireur B Pour le tireur B : x B = 29 4) Calculer l'écart-type des résultats du tireur B Pour le tireur B : σ B 1,7 5) Quel est le tireur le plus performant en moyenne? Justifier Les deux tireurs ont globalement le même niveau car xa = x 6) Quel est le tireur le plus régulier? Justifier Le tireur B est plus régulier que le tireur A car σb < σ A B 1 ère STMG - Statistiques Page 10/16 Version du 21/12/2016

11 MEDIANE ET QUARTILES Définition : La médiane et les quartiles Q 1 et Q d'une série statistiques partagent cette série en quatre parties d'environ 25 % de l'effectif total. On les détermine à l'aide de la calculatrice. Définition : L'intervalle interquartile d'une série statistique est Q; Q. Il contient au moins 50 % des valeurs de la série. Son amplitude, Q Q 1 est appelée écart interquartile. [ ] 1 1 ère STMG - Statistiques Page 11/16 Version du 21/12/2016

12 STATISTIQUES ET CALCULATRICES Les 2 élèves d une classe ont obtenu les notes suivantes lors d un devoir : Note Effectif On désire déterminer la médiane et les quartiles de cette série. Les captures d'écran présentées ci-dessous peuvent être légèrement différentes de celles obtenues sur votre calculatrice (différentes marques, version, langue...) On utilise le MODE STATISTIQUE de la calculatrice. Appuyer sur la touche Statistiques (STAT) Le menu EDIT permet de saisir les donnée statistiques Le mode CALC permet d'effectuer les calculs Sélectionner le mode EDIT pour saisir les données. L1 2 Remplir les colonnes et L avec les données de la série L 2 statistique (les effectifs vont dans ) Appuyer sur la touche Statistiques (STAT) Sélectionner le mode CALC pour effectuer des calculs On effectue un calcul à partir d'une série statistique à une variable qui se trouve dans, avec des effectifs qui se trouvent dans L. L1 2 On doit donc saisir 1 VarStats L, L 1 2 On obtient les résultats (descendre un peu le curseur...) Q 1 = 9 Médiane = 11 Q = 14 1 ère STMG - Statistiques Page 12/16 Version du 21/12/2016

13 Exercice n 9 (correction) MEDIANE ET QUARTILES - EXERCICES On considère une série statistique de valeurs extrêmes 7 et 17, de médiane 12, et telle que Q = 14. Dire si les affirmations concernant cette série sont vraies, fausses ou si on ne peut pas le savoir 1) Au moins 50 % des valeurs de la série appartiennent à l'intervalle 2) Au moins 25 % des valeurs de la série appartiennent à l'intervalle [ 9;14] [ 12;14] Q 1 = 9 et ) L'étendue est le double de l'écart interquartile. Exercice n 10 (correction) Dans un lycée on étudie les moyennes trimestrielles du premier trimestre de deux classes appelées respectivement Jaune et Rouge. Partie 1 Les 25 élèves de la classe Jaune ont obtenu les moyennes trimestrielles suivantes au premier trimestre : ; 4 ; 5 ; 7 ; 7 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10 ; 11 ; 11 ;12 ;12 ;12 ; 12 ;12 ;1 ;1 ; 1 ;14 ; 15 ; l5 ; 16 ; Déterminer la médiane Me, le premier quartile Q 1 et le troisième quartile Q de cette série statistique de moyennes trimestrielles. 2. Calculer la moyenne trimestrielle x de la classe Jaune. Partie 2 Les indicateurs de la classe Rouge permettant de résumer la série statistique des moyennes du premier trimestre sont les suivants : Minimum ; premier quartile Q 1 = 8; Médiane Me = 10 ; Troisième quartile Q = 12 ; Maximum = Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, fausses ou indécidables? (Indécidable signifie que l on ne peut pas conclure avec les éléments connus.) Justifier votre réponse dans chacun des cas. a. 50 % des élèves de la classe Rouge ont une note comprise entre 10 et 12. b. 75 % des élèves de la classe Rouge ont une note inférieure ou égale à 12. c. Au moins 50 % des élèves de la classe Rouge ont une note inférieure ou égale à la note médiane de la série de la classe Jaune. 1 ère STMG - Statistiques Page 1/16 Version du 21/12/2016

14 Exercice n 11 (correction) Sur une route nationale, les gendarmes effectuent un contrôle de vitesse. Ils ont relevé les vitesses suivantes : Vitesse Km/h [ 50;60 [ [ 60;70 [ [ 70;80 [ [ 80;90 [ [ 90;100 [ [ 100;110 [ [ 110;120 [ [ 120;10 [ [ 10;140 [ Effectif ) Calculer la vitesse moyenne des automobilistes contrôlés. 2) Déterminer la médiane et les quartiles Q 1 et Q de la série. ) Les gendarmes ne dressent un procès verbal d'infraction qu'aux conducteurs de véhicules roulant à une vitesse d'au moins 110 km/h. Quel est le pourcentage d'automobilistes sanctionnés? 1 ère STMG - Statistiques Page 14/16 Version du 21/12/2016

15 MEDIANE ET QUARTILES - CORRECTION Correction de l'exercice n 9 (retour à l'énoncé) 1) VRAI car au moins 50 % des valeurs se trouvent dans l'intervalle [ Q; Q ] = [ 9;14] 2) VRAI car au moins 25 % des valeurs se trouvent dans l'intervalle [ Me; Q ] = [ 12;14] ) VRAI pour cette série car l'écart interquartile vaut Q Q1 = 14 9 = 5 tandis que l'étendue vaut Max - min = 17-7 (Mais attention, ce n'est pas vraie pour toutes les séries statistiques!) 1 Correction de l'exercice n 10 (retour à l'énoncé) Partie 1 Grâce à la calculatrice : On saisit les notes dans la liste On "commande" le calcul en L 1 et les effectifs dans la liste L 2 tenant compte des deux listes On obtient les mêmes résultats : 1) Médiane = 12, Q 1 = 10 et Q = 1 2) x = 11 Partie 2 a) FAUX CAR Me = 10 et Q = 12 donc seulement 25 % des élèves ont une note comprise entre 10 et 12. b) VRAI car Q = 12. c) VRAI car la médiane de la série de la classe Jaune vaut 12 et car Q = 12. Ainsi, au moins 75 % des élèves de la classe rouge, donc au moins 50 % des élèves de la classe Rouge ont une note inférieure ou égale à la note médiane de la série de la classe Jaune. 1 ère STMG - Statistiques Page 15/16 Version du 21/12/2016

16 Correction de l'exercice n 11 (retour à l'énoncé) On remplace chaque intervalle par son milieu Vitesse Km/h Effectif et on utilise la calculatrice... 2) Déterminer la médiane et les quartiles Q 1 et Q de la série. On lit ci-dessus que Q 1 =75, Médiane = 95 et Q =105 ) Les gendarmes ne dressent un procès verbal d'infraction qu'aux conducteurs de véhicules roulant à une vitesse d'au moins 110 km/h. Quel est le pourcentage d'automobilistes sanctionnés? Il sont 1, soit un pourcentage de ,5% 200 = 1 ère STMG - Statistiques Page 16/16 Version du 21/12/2016