Images bimodales : binarisation. Morphologie mathématique. Binarisation : choix du seuil. Binarisation : choix du seuil. Choix d un seuil global

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1 Morphologie mathématique Images bimodales : binarisation Cas particulier important par ses applications : Vision industrielle, temps réel Binarisation d images Notions de morphologie mathématique Squelettisation Choi du seuil Global ou adaptatif, et dans ce cas, subdivision statique ou dynamique Transparent Transparent Binarisation : choi du seuil Binarisation : choi du seuil Choi d un seuil global Choi d un seuil global Transparent 3 Transparent 4

2 Images bimodales : binarisation Binarisation : histogramme Eemple de choi du seuil : histogramme critère statistique : décision bayésienne, inertie minimale, critère structurel : stabilité des régions, régularité topologique Transparent 5 Transparent 6 Binarisation : histogramme Binarisation : utilisation de l histogramme histogramme ecluant les zones frontières (gradient élevé) puis lissage de l histogramme et etraction du min entre les deu pics Transparent 7 Transparent 8

3 Binarisation : utilisation de l histogramme Binarisation : critère bayésien Hypothèse : classes C et C N et N : effectifs m et m : moyennes des gaussiennes Vb : Variance des gaussiennes : même variance car bruit stationnaire On recherche le seuil S qui minimise la probabilité d erreur : Transparent 9 Transparent Binarisation : critère bayésien Perreur = Pe. P( C ) + Pe. P( C ) avec : ( S m ) Pe = ep ds π V b S Vb C S ( S m ) Pe = ep ds π V b Vb m S m dperreur ( S m) ( S m) = PC ( )ep + PC ( )ep = ds π V Vb V b b ( S m) ln( PC ( )) V b ( S m) = ln( PC ( )) V S m + m V P( C ) ln b = + m m P( C) Par itérations successives, estimation de mi, P(Ci), d où calcul de S b C Pe S Binarisation : critère bayésien m + m V P( C ) ln b = + m m P( C) ()- On initialise S=moyenne des ndg de l image ()- On réalise le seuillage deu classes C et C (3)- On en déduit m, m, P(C ),P(C ) et V b (4)- A partir de ces nouvelles valeurs, on re-calcule S (5)-Retour en jusqu à stabilisation Transparent Transparent 3

4 Images bimodales : critère structurel Images bimodales : critère structurel La compacité donne une estimation de la régularité de l image. Compacité: C = 4 π Surface / Périmètre Propriétés : -invariante en rotation -Invariante en translation -Invariante au changement d échelle Eemple Pour le disque C= Pour le carré C=4π/6 Pour le rectangle (.5) C=4π/5 Cercle de N piels C= Favorise les formes compactes Cercle de rayon R Et N fausses alarmes R + N Cf = ( R + N) N piels isolé C=/N Cercle de rayon R Et N lacunes R N Cl = ( R + N) Privilégie les fausses alarmes / lacunes : Cl < Cf < Transparent 3 Transparent 4 Morphologie mathématique Image source seuil=75 Critère=.475 C est une théorie ensembliste seuil=8 critère=.565 seuil=9 critère=.383 S Notations et définitions Objets : X = { / = } Fonds : ~X = { / = } Élément structurant : S caractérisé par ses dimensions et sa forme Son centre est le point d application de l opération locale S* Transparent 5 Transparent 6 4

5 Morphologie mathématique Morphologie mathématique Dilatation morphologique X S = { / S X Φ} = { / {S X } X} Dilaté Objet initial Érosion morphologique X S = { / S X } = { / S ~X Φ} érodé Objet initial Transparent 7 Transparent 8 Eemple de dilatation Morphologie mathématique Opérations duales ~( X S ) = ~X S point application de B Relations d inclusion X S X X S Itérations d opérations avec le même élément structurant ( X S) S = X (S S*) ( X S) S = X (S S*) Transparent 5

6 Morphologie mathématique Algorithme basé sur la convolution Interprétation avec un élément structurant particulier S : disque centré en, de rayon ( symétrique S=S*) formes : S8 si 8-conneité V8 S4 si 4-conneité V4 dilatation : =, si point de VN = = Croissance de piel érosion : =, si point de VN = = contraction de piel L itération de ces opérations conduit à des croissances ou contractions de piel. Dilatation X S = { / S X Φ} X S = ( S * Image) Objet Erosion initial X S = { / S X } X S = ( S * Image) = Card(S) Objet initial Transparent Transparent Algorithme basé sur les distances (chamfer) Dilatation : Seuillage des distances des piels du fond au objets : {=} { = / distance() <= } 3 Érosion : Seuillage des distances des piels des objets au fond { = / distance() < } = Objet initial 3 Transparent 3 Algorithme de Chamfer d= Pour simplifier, on ramène à des valeurs entières : fois la distance euclidienne erreur de 3% par défaut fois la distance euclidienne erreur de 8% par eès 4 L algorithme procède en deu balayages :sens vidéo puis inverse vidéo Il cumule le chemin de coût minimum de proche en proche d= Transparent 4 6

7 Balayage en sens vidéo : Cd Cv Cd Ch3 p Balayage en inverse vidéo : p Cd Cv Ch3 Cd Algorithme de Chamfer Dp = Min( D(i)+C(i) ) i=...3 avec Cv = Ch = ou 3 Cd = 3 ou 4 respectivement Dp = Min ( Dp, D(i)+C(i) ) i=...3 Remarque : Si Ch = Cv = Cd = > Dinf Si Ch = Cv = et Cd = infini --> D Transparent 5 Algorithme de Chamfer, eemple Transparent 6 Cascade d opérations Ouverture : Fermeture : X S = ( X S ) S X S = ( X S ) S Applications : Objets à lacunes lacunes comblées proportions dilatation érosion fermeture Objets et fausses alarmes lacunes comblées proportions érosion dilatation ouverture Transparent 7 7

8 Eemple Eemple Binarisation Image source Érosion Dilatation Image source Transparent 9 Transparent 3 Eemple Eemple : détection des composants Image source Ouverture (érosion puis dilatation) Fermeture (dilatation puis érosion) Érosion de l image L élément structurant est de taille 43 Dilatation avec le même élément structurant Report sur l image initiale Transparent 3 Transparent 3 8

9 X - ( X S ) Sélection d objets de petite taille face à S Contours intérieurs ou etérieurs : X - ( X S ) Contour intérieur ( X S ) X Contour etérieur Image binaire Contours etérieurs Transparent 33 Transparent 34 Amincissement et épaississement Amincissement : Érosion avec un disque de rayon et conservation de la conneité Épaississement : Dilatation dans les mêmes conditions Amincissement L élimination du piel central ne modifie pas la conneité locale Point bordure nord : V8 : : état indifférent, ou Les autres configurations correspondant au bordures E, W, S s en déduisent Attention : Les bandes de largeur piels sont détruites du fait du parallélisme du traitement les détecter et ne pas modifier le point central pour et idem en vertical Transparent 35 Transparent 36 9

10 Amincissement Épaississement Application : amélioration de contours d objets minces (caractères, ) La mise à du point central, point de bordure nord étend la conneité locale. Gris : images source Blanc : puis amincissements Transparent 37 E, W, S s en déduisent. Attention, la conneité globale n est pas conservée. Transparent 38 Épaississement Squelettisation Application : Détermination itérative (jusqu à la stabilisation) de l enveloppe convee d un objet isolé. Graphe caractéristique de la forme d un objet binaire qui peut permettre de le reconstituer (transformation réversible). Deu définitions similaires dans R : Lieu des centres des disques de rayon maimum inscrits dans l objet. Le rayon en chaque point permet de reconstruire l objet. Ae médian, ensemble des points équidistants de bords de l objet. Cette définition correspond à l état stable obtenu par amincissements itératifs Blanc : image source Gris : enveloppe convee = Transparent 39 Transparent 4

11 Squelettisation Propriétés : invariance présumée en rotation sensibilité au détails (irrégularité des bords, lacunes) Eemple : Gris : image source, blanc : squelette Squelettisation Pré-traitements et lissage des irrégularités : élimination des lacunes en 4 conneité : lissage des points saillants : Transparent 4 Transparent 4 Squelettisation Squelettisation Plusieurs algorithmes de squelettisation algorithmes parallèles : images source destination algorithmes séquentiels : propagation des modifications in situ algorithmes basés sur les maima locau des distances Algorithme parallèle Image source Image destination itérations d amincissement jusqu à stabilisation Les configurations du voisinage sont invariantes lors du balayage La conservation des bandes de largeur introduit une dissymétrie Transparent 43 Transparent 44

12 Squelettisation Squelettisation Algorithme séquentiel Modification dans l image source Le balayage introduit une causalité : les modifications se font dans l image elle-même. Des érosions successives conduisent à la stabilisation en un nombre de cycles qui dépend de l épaisseur de l objet. La prise en compte des transformations antérieures fournit un squelette plus symétrique Configurations essentielles, point de bordure «est» si tous les et z à si tous à et au moins un z à si au moins à si et z ont au moins un point isolé à conserver point d etrémité l élimination du point central rompt la conneité locale rupture de conneité z z z Les points non essentiels sont marqués et sont éliminés en fin d itération Transparent 45 Transparent 46 Déroulement des itérations Initialisation : iter=, Squelettisation Itérations tant que des points sont modifiés, 3 sous cycles - test des points bordure E et W, essentiels = iter, non essentiels = Mrk - test des points non modifiés N et S, essentiels = iter, non essentiels = Mrk - points d etiquette Mrk éliminés ( ), iter = iter+ en fin d itération, squelette = point > La valeur d un point squelette indique l itération à laquelle il fut déclaré essentiel, donc, l épaisseur locale de l objet (possibilité de reconstruction) Transparent 47 Squelettisation Maima locau des distances au fond Principe Calcul des distances des points objet au fond (chamfer) Seuillage éventuel pour éliminer des irrégularités locales Recherche des maima locau directionnels (lignes de crêtes) 3 3 Maima locau directionnels squelette non connee Introduction d une tolérance sur les tests a b c maimum si b > a et b > c a b c d maimum si b > a et b = c et c > d Avantages Temps de calcul indépendant de l épaisseur des objets ( passes pour le calcul des distances + pour rechercher les maima directionnels ) Transparent 48

13 Squelettisation Eemple Squelettisation Eemple Squelettisation Image originale Algo parallèle sans régularisation Algo parallèle avec régularisation Chaque composante sans trou est réduite à piel Les trous sont entourés d une courbe Algo séquentiel Algo ligne de crête Transparent 49 Transparent 5 Morphologie multi-niveau Érosion mathématique La morphologie mathématique a aussi été définie pour des images codées en niveau de gris. Par simplicité, nous allons définir les opérations morphologique dans le cas D. Soit f() une fonction. On appelle le sous graphe de f, le sous-ensemble défini par : SG( f ) = {(, t)/ t f ( ) } t f() Soit g() un élément structurant. L érodé de f par g est défini par : ( f Θ g)( ) = inf { f( y) g( y+ ) } y Soit, en terme de sous-graphe : SG( f Θ g) = {(, t)/ SG( g) SG( f )} g() SG(f) Transparent 5 Transparent 5 3

14 Dilatation et gradient mathématique Dilatation et érosion (vue D) Soit g() un élément structurant. Le dilaté de f par g est défini par :( f g)( ) = ma { f( ) + g( + y) } g() Le gradient est défini par : gradient = dilaté érodé *ma( g( )) Transparent 53 Transparent 54 Eemple Eemple Image originale Image érodée erode Transparent Transparent 56 4

15 Eemple Eemple Image originale Image dilatée dilate Transparent Transparent 58 Eemple Gradient gradient Transparent 59 Transparent 6 5

16 Eemple : filtrage (passe bas) Eemple : filtrage (passe bas) Transparent 6 Transparent 6 Eemple : restauration de documents imprimés Eemple : segmentation de circuits imprimés A B B circuit imprimé A B squelette Transparent 63 Transparent 64 6

17 Eemple : segmentation (gradient morphologique) Eemple : segmentation (gradient morphologique) A B - A B A B - A B Transparent 65 Transparent 66 7