Chapitre VI. Connexions et fonctions numériques

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre VI. Connexions et fonctions numériques"

Transcription

1 Chapitre VI Connexions et fonctions numériques Concepts : -> Extension aux fonctions -> Opérateurs connexes -> Géodésie numérique -> Nivellements et auto-dualité Applications : -> Etude des extrema -> Préservation des contours -> Filtres forts -> Segmentation J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 1

2 Passage au Numérique Trois passages du du binaire au au numérique sont à envisager. La La géodésie C'est le le plus simple. Dilatation et et érosion étant croissantes, il il suffit de de définir les les opérations numériques via via leurs correspondantes binaires, appliquées seuil par seuil. Les applications Ce Ce ne ne sont plus les les mêmes qu'en binaire. Priorité est est donnée ici ici au au traitement des extrema et et à la la préservation des contours. La La connexité La La tâche est est plus difficile. Il Il faut :: --soit généraliser le le concept de de connexion aux treillis complets, et et trouver des connexions adaptées aux fonctions numériques -- soit partir des fonctions pour induire des connexions ensemblistes sur sur leurs supports. On On ne ne présentera ici ici que ce ce second point de de vue, plus simple, mais moins puissant. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 2

3 Treillis de Fonctions (rappel) E étant un un ensemble arbitraire, et et T désignant R, R, Z ou ou une de de leurs parties fermées, les les fonctions f f :: E T forment à leur tour un un treillis,, noté T E,, pour l'ordre produit :: f f g ssi ssi f(x) g(x) pour tous x E,, et et où où le lesup et etl'inf dérivent des sup et etinf infnumériques, i.e. i.e. (( ff i )(x) i = ff i (x) i (x) (( ff i )(x) i = ff i (x) i (x).. On On convient de de noter 0 à la la fois le le minimum dans T et et dans T E Dans T E,, les les fonctions impulsions :: k x,t (y) x,t (y) = t t si si x = y ;; k x,t (y) x,t (y) = 0 si si x y sont sup-génératrices i.e. i.e. tout f f :: E T est est un un supremum d'impulsions. La La démarche précédente s' s' étend directement aux produits de de treillis de de type T, T, c'est à dire aux fonctions multivariées (( e.g. couleur). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 3

4 Treillis des partitions (rappel) Définition :: On On appelle Partition d un espace E toute application D: D: E σ(e) telle que (i) (i) x E,, x D(x) (ii) (ii) (x, (x, y) y) E, E, soit D(x) = D(y) soit D(x) D(y) = Les partitions de de E forment un untreillis γ pour l ordre selon lequel D D' D' quand chaque classe de de D est est incluse dans une classe de de D'. D'. Le Le plus grand élément de de γ est est E lui-même, et et le le plus petit celui qui pulvérise E en en la la totalité de de ses ses points. Le sup des deux types de cellules est le pentagone où leurs frontières coïncident. Leur inf, plus simple, s obtient par intersection des cellules. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 4

5 Connexions induites par des fonctions But :: Soit φ une connexion sur surσ(e) et et f f :: E T. T. Nous voulons construire un un critère régional σ sur sur f f tel tel que :: (i) (i) x E,, f(x) vérifie σ ;; (ii) (ii) A, A, B φ,, avec A B,, si si ff vérifie σ sur A et et sur B, B, alors f f vérifie σ sur A B.. Résultat :: Une telle propriété génère une sous-classe φ σ de de φ qui est est une seconde connexion sur sur σ(e). En En particulier, φ σ partitionne l espace E classes maximales vérifiant le le critère σ. σ. Exemple :: Les zones où où ff est est constante. Les composantes connexes de σ(r 1 ) according φ σ sont soit - les segments en rouge; - ou, ailleurs, les points. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 5

6 A x z y Connexion lisse B T λ λ{ { x y f E Connexion lisse :: E = R n n,, muni de de la la connexité par arcs,, et et la la fonction f f :: E T est est fixée. la la classe φ σ(r n n )) composée i) i) des singletons, plus de de l l ensemble vide ;; ii) ii) de de tous les les ouverts Y σ(r n n )) tels que f f est est k-lipschitz le le long de de tous les les chemins inclus dans Y, Y, constitue une seconde connexion sur sur σ(r n n ), ), appelée connexion lisse. Implémentation :: Soit H(x) est est le le cercle unité de de Z 22 au au point x. x. La La partition associée à φ admet pour classes non ponctuelles les les composantes connexes de de X = { x ΥE ;; sup{ f(x) --f(y), y Υ H(x)} k } J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 6

7 Exemple de connexion lisse (I) Commentaire : Les deux phases de la micrographie ne peuvent pas être séparées par seuillage. Les connexions lisses les classent selon leur rugosité. a) Image initiale: micrographie électronique de roche b) connexion lisse de paramètre 7 c) connexion lisse de paramètre 6 (- en sombre, les composantes connexes ponctuelles - en blanc, chaque particule est base d un cylindre) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 7

8 Connexion par sauts Connection par sauts :: E = R n n,, muni de de la la connexité par arcs,, et et la la fonction f f :: E T est est fixée. La La classe φ σ(r n n )) composée :: i) i) des singletons, plus de de l l ensemble vide ;; ii)de tous les les ensembles connexes contenant un un minimum, et et où où les les valeurs de de f f sont à moins de de k au au dessus du du minimum ;; constitue une seconde connexion sur sur σ(r n n ), ), appelée connexion par sauts à partir des minima.. De De la la même manière, on on peut partir des maxima, ou ou prendre l intersection des deux connexions.. k { T m 0 Y Composante connexe dans la connexion par sauts de valeur k à partir des minima. f E J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 8

9 Exemple de connexion par sauts a) Image initiale : section polie de grains d alumine b) connexion par sauts d amplitude 12: - en sombre, ensemble des composantes connexes ponctuelles - en blanc, bases (connexes) des cylindres c) Skiz de la réunion des points sombres de l image b) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 9

10 Opérateurs connexes Définition :: Un Un opérateur ψ :: T E E T T E E sur sur les les fonctions numériques est est dit dit connexe (( pour pour un un critère σ) σ) quand la la partition de de E par par ψ(f) ψ(f) est est plus plus grande que que celle celle de de E par par f. f. a) b) c) d) Trois images mosaïques, dues à C. Vachier, obtenues par fusion des régions de la LPE du gradient de a): b) par dynamique ; c) selon les aires ; d) par volumes. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 10

11 Opérateurs connexes, planaires, et croissants A partir d ici, nous considérons uniquement i i )) les les critères portant sur sur les les zones plates des fonctions ;; ii ii )) les les opérateurs ψ :: T E T T E qui sont planaires et et croissants.. Propriétés de de base :: Tout opérateur connexe binaire (resp. et et croissant) induit sur sur T E,, via via les les section planes, un un unique opérateur connexe (resp. et et croissant) (( H. H. Heijmans ));; En En particulier, les lesdémarches géodesiques s étendent au au cas numérique ;; Leurs éventuelles propriétés d être des filtres forts, de de constituer des semigroupes, etc.. sont transmises aux opérateurs connexes induits sur sur T E.. On On remarquera qu une opération peut être anti-extensive sur sur T E,, et et extensive sur sur le le treillis γ des partitions (les ouvertures par reconstruction, par ex.). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 11

12 Dilatations Géodésiques Numériques (I) Soient f,g f,g deux fonctions numériques de der dd dans R, R, telles que g f. f. La La dilatation géodésique binaire de de taille λ appliquée seuil par seuil aux sections de de f f marquées par celles de de g induit sur sur f f une dilatation δ f,λ f,λ (g) (g) (S.Beucher). En En d autres termes (L.Vincent), le le sous-graphe de deδ f,λ f,λ (g) (g) est est formé des points du du sous-graphe de de f f reliés au au sous-graphe de de g par un un chemin: -- non descendant; -- de de longueur λ. λ. f g δ f,λ (g) dilatation géodésique numérique de g relativement à f J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 12

13 Dilatations Géodésiques Numériques (II) La La version digitale part de de la la dilatation géodésique de de taille unité δ f (g) f (g) = inf inf (g (g + B, B, f) f) que l'on itère n fois pour obtenir la la taille n δ f f,n(g) = δ (n) f (n) f (g) (g) = δ f f (δ (δ f f......(δ (δ f f (g))). Les érosions euclidienne et et digitale se se déduisent des dilatations correspondantes par la la dualité ε f (g) f (g) = m --δ f (m f (m--g) g),, différente du du cas géodésique binaire. f g ε f,λ (g) érosion géodésique numérique de f relativement à g J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 13

14 Reconstruction Numérique L'ouverture de de f f par reconstruction selon g, g, est est le le supremum des dilatation géodésiques de de g dans f, f, considéré comme fonction de de f: f: γ rec rec (f (f;; g) g) = {δ f,λ (g) f,λ (g),, λ>0 } avec pour fermeture duale pour le le négatif ϕ rec rec (f (f;; g) g) = m --γ rec rec (m- f f ;; m- m-g) g) Trois exemples sont très utiles: -L' érosion-reconstruction; -Leswamping, reconstruction d'une fonction marquée par ses ses maxima; -L' ouverture par contraste, qui mène à l'extraction des maxima. f g γ rec (f ; g) Reconstruction numérique de g dans f J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 14

15 Erosion-Reconstruction Objectif : Préservation des contours Alors que l'ouverture par érosion-dilatation modifie les contours des éléments, l'ouverture par reconstruction les restitue sans changement s'ils n'ont pas été éliminés par le filtrage. Dans cette reconstruction : - la référence est le signal original, Elément structurant :B Dilatation - le marqueur est un érodé de la référence: Original Erosion Reconstruction Ouverture morpho. γ rec ( f ; ε B (f) ) = {δ f (n) (ε B (f)), n > 0 } Ouverture par reconst. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 15

16 Application à l'examen du fond de l oeil Commentaire: Le but est d' extraire et de localiser les anévrismes. Les opérateurs par reconstruction garantissent qu'on retire exclusivement les pics petits et isolés ( étude de F. Zana et J.C. Klein) a) Image initiale b) fermeture par c) différence a) moins b) dilatation-reconstruction suivie d'un seuillage suivie d'ouverture par érosion- reconstruction J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 16

17 Swamping (reconstruction par marqueurs) Objectif : Reconfigurer les maxima d'une fonction par ouverture connexe ( par reconstruction) Moyens : On utilise des marqueurs i.e. une fonction à 2 niveaux (0,m) qui identifie les pics à garder. Le procédé de reconstruction crée une fonction égale à l'originale dans les zones d'intérêt et élimine les extrema non marqués Le résultat fournit la plus grande fonction f et possédant des maxima aux points marqués. On le nomme le swamping de f par ouverture (S.Beucher, F.Meyer), cf. la version par fermeture in X-6. Rec. marqueur: m Swamping de f par le marqueur m f J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 17

18 Exemple de swamping: ouverture de contraste Objectif : Les ouvertures morphologiques ou par érosion-reconstruction éliminent les composantes en fonction de leur structure spatiale (taille, forme). Le but du filtre de contraste est d'éliminer les composantes de faible contraste (M.Grimaud). Moyens : Original Cette transformation s'interprète au C moyen d' une reconstruction où: Résultat - la référence est le signal original; - le marqueur de l'ouverture est le signal original diminué d'une constante c. γ rec (f ; f-c) = {δ f (n) (f-c), n > 0 } J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 18

19 Maxima et Ouverture de Contraste Un Un point x du du graphe de de f f est est sur sur un un maximum quand aucun chemin qui le le joint aux autres points du du graphe n'est strictement ascendant. Les maxima sont des parties connexes plates entourées de de points situés tous plus bas. Ils Ils sont donc obtenus par résidus de de l'ouverture de de contraste, lorsque la la valeur du du décalage est est Plus généralement, le le résidus associé au au décalage c extrait les les maxima entourés d'une zone descendante de de hauteur 8c. 8c. On On les les nomme maxima étendus (S. (S. Beucher). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 19

20 Filtres forts par reconstruction Proposition(J.Serra): Soit γ rec rec une ouverture par reconstruction sur sur T E qui ne ne crée pas de de pores, et et soit ϕ rec rec la la fermeture duale pour le le complément d une ouverture de de ce ce type (( mais pas nécessairement γ rec rec ). ). Alors :: ν = ϕ rec rec γ rec rec et et µ = γ rec rec ϕ rec rec sont des filtres forts. [[ Tout pore de de X, X, d abord bouché par ϕ rec rec (X),, puis restitué par γ rec rec (X) devient pore de de X γ rec rec ϕ rec rec (X), et et il il n y en en a pas d autres d où µ(ι µ(ι µ) µ) = µ.] µ.] En En particulier, ΙΙ γ rec rec ϕ rec rec est est une ouverture (appréciée pour son top-hat quand on on l étend aux fonctions numériques, cf. cf. IV-9). Proposition (J.Crespo, J.Serra) :: Soient {γ {γ rec rec i et {ϕ rec i } et {ϕ rec i } i une granulométrie et et une anti-granulométrie du du type précédent, alors :: 1) 1) Les filtres alternés séquentiels associés N ii et et M ii sont forts;et 2) 2) Les deux opérateurs Ψ n ={ϕ i γ i i, i, 1 i n} et et Θ n = {γ {γ i ϕ i i, i, 1 i n} sont aussi des filtres forts. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 20

21 Semi-groupes de filtres par reconstruction Proposition (Ph. Salembier, J.Serra): Soit γ rec rec une ouverture par reconstruction sur sur E et et ϕ une fermeture qui ne ne crée pas de de composantes connexes. Alors :: ϕ γ rec rec γ γ rec rec ϕ (( γ rec rec ϕγ rec rec = ϕ γ rec rec ϕ γ rec rec ϕ=γ rec rec ϕ) ϕ) [ϕγ rec rec est est invariant pour γ rec rec car carϕ, ϕ, extensive, ne ne peut qu élargir les les composantes connexes déjà existantes de de γ rec rec (X) ]] Proposition (Ph. Salembier, J.Serra): Soit {γ {γ rec rec i } i une granulométrie et et {ϕ {ϕ i } i une anti-granulométrie des types précédents.. Alors :: 1) 1) pour tout i, i, les les deux produits de de composition ν i i rec i et i rec i = ϕ i γ rec i et µ i = γ rec i ϕ i i vérifient i les les relations j i j i ν i ν i j = j ν j et j et µ i µ i j = j µ jj [On a toujours j i j i µ j j µ i i µ j j.. De De plus, ici ici γ rec rec j j =γ rec i rec j j =γ rec i j rec j j γ rec i i rec j ϕ j =γ rec i γ rec j ϕ j =γ rec i ϕ j γ rec j ϕ j γ rec i ϕ i γ rec jj ϕ j j ]] 2) 2) En En conséquence, les les A.S.F. associés N i et i et M i forment i le lesemi groupe N j N j i =N i i N i j = j N sup(i,j) ; sup(i,j) ; M j M j i =M i i M i j = j M sup(i,j) sup(i,j) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 21

22 Exemple d une pyramide de F.A.S connexes Connexion par zones plates ( i.e. ϕ = 0 ). Chaque contour est préservé ou supprimé, mais jamais déformé : la partition initiale croit par action des filtres successifs, qui sont forts et forment un semi groupe FAS de taille 8 FAS de taille 4 Image initiale FAS de taille 1 (éléments structurants hexagonaux) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 22

23 Adjacence On On dérive des ouvertures par marqueur un un opérateur auto-dual, nommé nivellement, du du à F.Meyer. Introduisons d abord la la notion d adjacence :: Adjacence (J. (J. Serra): Soit φ une connexion sur sur σ(e). Les ensembles X,Y σ(e) sont dits adjacents quand X Y est est connexe, alors que X et et Y sont disjoints. Pour la la connexion digitale définie M par l ouverture de de carré 2x2,, le le marqueur ponctuel M de de la la figure X bien qu qu adjacent à aucun grain de de l ensemble X, X, l est à X lui-même. Protection contre l adjacence :: la la connexion φ protège de de l adjacence, quand pour tout élément M σ(e) et et toute famille {B {B i i ;i I} dans φ, φ, il il est est équivalent que M ne ne soit adjacent à aucun des B ii ou ou à leur réunion B B i. i. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 23

24 Nivellements Etant donné un un ensemble marqueur M, M, considérons A σ(e) et et soit ~ γ M (A) la la réunion des grains de de A qui rencontrent M ou ou qui lui lui sont adjacents (disjoints de de M mais dont l union avec un un grain de de M est est connexe) ~ ϕ M (A) la la réunion de de A et et des pores inclus dans M, M, et et non adjacents à M cc Définition (F. (F. Meyer) :: On On appelle nivellement λ le lesupremum d activité λ = γ M ϕ M i.e. i.e. λ(a) A = γ M A, A, et et λ(a) A c c = ϕ M A c c ;; λ agit sur sur A comme l ouverture γ M,, et et sur sur A cc comme la la fermeture ϕ M.. Auto-dualité: L application (A,M) λ (A,M) de de σ(e) σ(e) σ(e) est est autoduale. Si Si M dépend lui lui même de de A, A, i.e. i.e. M= µ(a), alors le le nivellement, en en tant que fonction de de A seulement, est est auto-dual ssi ssi µ l est déjà. L extension du du nivellement aux fonctions numériques se se note (( f f,, g )) Λ (( f f,, g )) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 24

25 Propriétés des nivellements Voici quelques propriétés des nivellements qui justifient leur intérêt: Proposition(F.Meyer): le le nivellement (A,M) λ (A,M) est est une application croissante de de σ(e) σ(e) σ(e) qui admet l expression equivalente: λ = γ M (( ϕ M ) ) Proposition(G.Matheron): Les deux applications ~ A λ Μ (A),, à M fixé, et et ~ M λ Α (M),, à A fixé, sont idempotentes (et (et sont donc des filtres connexes sur sur σ(e) )).. Proposition(J.Serra): Le Le nivellement A λ Μ (A) est est un un filtre fort, produit commutatif de de ses ses deux primitives, i.e. i.e. λ = γ M 1 ϕ M = ϕ M 1γ M ssi ssila la connexion φ protège de de l adjacence ;; λ vérifie alors la la relation de de stabilité γ x ( x ( I λ )) = γ x γ x γ x λ, x λ, préservant le le sens des variations grains/pores J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 25

26 Exemple Image initiale : Joueur de fifre, de E. MANET Marqueurs : filtres alternés carrés de taille 2 (non auto-dual) Image initiale, pels dont en zones plates Nivellement selon ϕ γ zones plates : Nivellement selon γ ϕ zones plates : J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 26

27 Dualité pour les fonctions Notons 0 et et m les les extrema numériques (( i.e. i.e. ceux de de l l axe des gris T ). ). L involution qui remplace l opération de de complément f m --f f.. Or Or il il vient pour le le nivellement Λ m --Λ (( m --f f,, m -g -g)) = Λ (( f, f, g )) (1) (1) ce ce qui signifie que l l application f, f, g Λ(f, g) g) est est toujours auto-duale. De De plus, si si g se se déduit de de f f par une opération auto -duale, i.e. i.e. g = g(f), avec m -g -g(( m --f f )) = g (( f f )) (2) (2) (convolution, médiane), alors le le nivellement f f Λ(f, g(f)) est est auto-dual. On On remarquera que la la rel. (2) (2) est est différente de de l invariance par involution g (( m --f f )) = g (( f f )) Cette dernière, vérifiée par le le module du du gradient, or or par les les extrema étendus, par exemple, n entraine pas l auto-dualité de de f f Λ(f). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 27

28 Exemple de dualité Marqueur : réunion des maxima et minima de dynamique 8 h ( invariance pour le complément). Image initiale zones plates: h = 80 zones plates : J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 28

29 Nivellements comme fonctions du marqueur Etudions l application M λ A (M) quand le le marqueur M varie, à A fixé. L ensemble A génère l ordre 9 A de de la la A-activité, sur sur σ(e), par les les relations M A M 22 Si Si M 11 rencontre A ou ou lui lui est est adjacent, alors M 22 rencontre A ou ou lui lui est est adjacent et et si si M 22 rencontre A cc ou ou lui lui est est adjacent, alors M 11 rencontre A cc ou ou lui lui est est adjacent.. M 1 M2 A Proposition (J. (J. Serra): Si Si M 11 9 A M 22 il il vient λ M1 M1 λ M2 M2 (A) = λ M2 M2 λ M1 M1 (A) = λ M2 M2 (A) Cette pyramide granulométrique permet de de doser l activité des marqueurs. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 29

30 Exemple de Pyramide Marqeur (auto-dual): image initiale, après avoir attribué zéro aux h-extrema Image initiale zones plates : Nivellement pour h = 50 zones plates : Nivellement pour h = 80 zones plates : J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 30

31 Exemple de réduction de bruit Marqueur (auto-dual) : Convoluée gaussienne de taille 5 de l image initiale a) Image initiale, plus points de bruit b) Convolution gaussienne of a) c) Nivellement de a) par b) zones plates : J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 31

32 Références Sur la la géodésie :: Les éléments essentiels de de la la géodésie numérique ont été été découverts par S.Beucher et et F.Meyer dans les les années 80, et et publiés dans {BEU90} et et {MEY90}. L.Vincent {VIN93}, P. P. Soille {SOI91} et et C.Vachier {VAC95} y l ont complétée d importantes contributions algorithmiques. Sur les les opérateurs connexes :: Dans {MEY90} et et {SAL92}, la la reconstruction est est utilisée pour modifier l homotopie d une fonction, en enmulti-résolution. L ouverture par contraste est est introduite dans {GRI92}. Les pyramides d opérateurs connexes apparaissent dans{ser93, ils ils servent pour la la compression et et le le filtrage des séquences dans {MGT96}, {SAL96}, {PAR94}, {CAS97} et et {DEC97}. Les nivellements sont dus à F.Meyer {MEY98}, cf cfaussi {MAT97} et et {SER98b}. Sur les les connexions pour les les fonctions (( ch. XVIII): La La notion de de connexion sur sur un un treillis, avec application aux fonctions, est est due à J.Serra {SER98a et et b}. b}. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho VI. 32

Chapitre V. Connexions ensemblistes

Chapitre V. Connexions ensemblistes Chapitre V Connexions ensemblistes Connexions : -> Définition et Propriétés -> connexions dérivées -> Geodésie et ouverture par reconstruction Applications : -> analyse individuelle -> corrections de bords

Plus en détail

Chapitre IX SKIZ et Ligne de partage des eaux

Chapitre IX SKIZ et Ligne de partage des eaux Chapitre IX SKIZ et Ligne de partage des eaux SKIZ euclidien et géodésique Fonction distance Ligne de partage des eaux Définition et propriétés Algorithmes J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course

Plus en détail

Connexions et segmentation d image

Connexions et segmentation d image Connexions et segmentation d image Jean Serra Centre de Morphologie Mathématique, Ecole des Mines de Paris, 35, rue Saint-Honoré, 77305 Fontainebleau (FRANCE) janvier 2002 Abstract A new class of set connections

Plus en détail

OPERATEURS MORPHOLOGIQUES

OPERATEURS MORPHOLOGIQUES OPERATEURS MORPHOLOGIQUES Ensembles caractéristiques et éléments structurants Érosion et dilatation Ouverture et fermeture Application au filtrage Extraction de contours, remplissage de régions Épaississement,

Plus en détail

Master IMA - UMPC Paris 6 RDMM - Année 2009-2010 Fiche de TP

Master IMA - UMPC Paris 6 RDMM - Année 2009-2010 Fiche de TP Master IMA - UMPC Paris 6 RDMM - Année 2009-200 Fiche de TP Préliminaires. Récupérez l archive du logiciel de TP à partir du lien suivant : http://www.ensta.fr/~manzaner/cours/ima/tp2009.tar 2. Développez

Plus en détail

TP5 - Morphologie mathématique

TP5 - Morphologie mathématique TP5 - Morphologie mathématique Vincent Barra - Christophe Tilmant 5 novembre 2007 1 Partie théorique 1.1 Introduction La morphologie mathématique [1] est un outil mathématique permettant au départ d explorer

Plus en détail

Traitement bas-niveau

Traitement bas-niveau Plan Introduction L approche contour (frontière) Introduction Objectifs Les traitements ont pour but d extraire l information utile et pertinente contenue dans l image en regard de l application considérée.

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

Chapitre VIII : Amincissements

Chapitre VIII : Amincissements Chapitre VIII : Amincissements Transformations: en "tout ou rien" amincissement épaississement Homotopie Homotopie et connexité dans le cas digital Amincissement et épaississement homotopiques Transformation

Plus en détail

Morphologie mathématique : introduction. Morphologie mathématique : introduction

Morphologie mathématique : introduction. Morphologie mathématique : introduction Morpologie matématique 2D et 3D Application en analyse d image Morpologie matématique : introduction Téorie de traitement non linéaire de l information introduite en France dans les années 60 par G. Materon

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Chapitre X : Segmentation

Chapitre X : Segmentation Chapitre X : Segmentation Paradigme de de Segmentation Morphologique Contraintes sur les les Minima :: Swamping (Exemple des électrophorèses) Contraintes sur les les Maxima :: conditionnalisation (Exemple

Plus en détail

PLAN Analyse d images Morphologie et Segmentation

PLAN Analyse d images Morphologie et Segmentation PLAN Analyse d images et Segmentation L.Chen, J.Y.Auloge. INTRODUCTION. DEFINITIONS 3. VISION HUMAINE ET SYSTEMES DE COULEURS 4. ECHANTILLONNAGE ET QUANTIFICATION. TRANSFORMATIONS D IMAGES 6. AMELIORATION

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

III Caractérisation d'image binaire

III Caractérisation d'image binaire III Caractérisation d'image binaire 1. Généralités Les images binaires codent l'information sur deux valeurs. Rarement le résultat direct d'un capteur, mais facilement obtenues par seuillage dans certains

Plus en détail

Exercice Chapitre 4 Traitement d images binaires par Morphologie Mathématique

Exercice Chapitre 4 Traitement d images binaires par Morphologie Mathématique Exercice Chapitre 4 Traitement d images binaires par Morphologie Mathématique L analyse par morphologie mathématique vise à modifier la structure et la forme des objets de l image, par exemple, pour séparer

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Informatique visuelle - Vision par ordinateur. Pré-traitement d images

Informatique visuelle - Vision par ordinateur. Pré-traitement d images Informatique visuelle - Vision par ordinateur Pré-traitement d images Elise Arnaud elise.arnaud@imag.fr cours inspiré par X. Descombes, J. Ros, A. Boucher, A. Manzanera, E. Boyer, M Black, V. Gouet-Brunet

Plus en détail

Morphologie mathématique 2

Morphologie mathématique 2 Morphologie mathématique RDMM - MR IMA UPMC P6 Morphologie Mathématique : Chapitre COMPLEMENTS THEORIQUES ET PRATIQUES FILTRAGE MORPHOLOGIQUE I Compléments théoriques et pratiques (a) Fondements algébriques

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

Bases du traitement des images. Détection de contours. Nicolas Thome. 19 octobre 2009. Plan Modélisation Filtrage Approches continues Post-Traitements

Bases du traitement des images. Détection de contours. Nicolas Thome. 19 octobre 2009. Plan Modélisation Filtrage Approches continues Post-Traitements Détection de contours Nicolas Thome 19 octobre 2009 1 / 61 Introduction Rôle primordial de la détection de contours en vision 1 Réduction d'information Information de toute l'image résumée dans le contours

Plus en détail

Généralités sur les graphes

Généralités sur les graphes Généralités sur les graphes Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Notion de graphe 3 1.1 Un peu de vocabulaire.......................................... 3 1.2 Ordre d un graphe,

Plus en détail

Bases du traitement des images. Détection de contours

Bases du traitement des images. Détection de contours Détection de contours Dominique.Bereziat@lip6.fr Contributions: N. Thome, D. Béréziat, S. Dubuisson Octobre 2015 1 / 76 Introduction Rôle primordial de la détection de contours en vision 1 Réduction d

Plus en détail

Théorie des ensembles

Théorie des ensembles Théorie des ensembles Cours de licence d informatique Saint-Etienne 2002/2003 Bruno Deschamps 2 Contents 1 Eléments de théorie des ensembles 3 1.1 Introduction au calcul propositionnel..................

Plus en détail

Géométrie discrète Chapitre V

Géométrie discrète Chapitre V Géométrie discrète Chapitre V Introduction au traitement d'images Géométrie euclidienne : espace continu Géométrie discrète (GD) : espace discrétisé notamment en grille de pixels GD définition des objets

Plus en détail

Détection de contours

Détection de contours Traitement Détection de s Plan? Dérivées d une image Bibliographie Cours de traitement Elise Arnaud - Edmond Boyer Université Joseph Fourier Cours de traitement Alain Boucher Cours de traitement T Guyer

Plus en détail

Chapitre III : Ouvertures, Fermetures

Chapitre III : Ouvertures, Fermetures J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho III. 1 Chapitre III : Ouvertures, Fermetures Ouvertures et Fermetures par adjonction Ouvertures et Fermetures algébriques Application : Granulométries

Plus en détail

Intervalles Cours. Intervalles Cours. SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

Intervalles Cours. Intervalles Cours. SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) Intervalles Cours CHAPITRE 1 : Notion d intervalle 1) Définition 2) Représentations d intervalles 3) Vocabulaire 4) Notations d ensembles CHAPITRE 2 : Intersection d intervalles 1) Définition 2) Intervalles

Plus en détail

Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel

Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel Master ICA Spécialité IHS Année 2007/2008 Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel I) Relations binaires 1. Généralités Définition 1 : Une relation binaire d un ensemble E vers

Plus en détail

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi Cours d analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5 1.2 Relations d ordre..................................

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

Exemple de filtrage non-linéaire : le filtrage médian

Exemple de filtrage non-linéaire : le filtrage médian Exemple de filtrage non-linéaire : le filtrage médian Le filtrage médian est une opération non-linéaire : médiane { x m + y m } médiane { x m } + médiane { y m } sauf exception exemple sur des séquences

Plus en détail

Théorie des graphes. Introduction. Programme de Terminale ES Spécialité. Résolution de problèmes à l aide de graphes. Préparation CAPES UCBL

Théorie des graphes. Introduction. Programme de Terminale ES Spécialité. Résolution de problèmes à l aide de graphes. Préparation CAPES UCBL Introduction Ces quelques pages ont pour objectif de vous initier aux notions de théorie des graphes enseignées en Terminale ES. Le programme de Terminale (voir ci-après) est construit sur la résolution

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Vision par Ordinateur

Vision par Ordinateur Vision par Ordinateur James L. Crowley DEA IVR Premier Bimestre 2005/2006 Séance 6 23 novembre 2005 Détection et Description de Contraste Plan de la Séance : Description de Contraste...2 Le Détecteur de

Plus en détail

Points fixes de fonctions à domaine fini

Points fixes de fonctions à domaine fini ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D ADMISSION 2013 FILIÈRE MP HORS SPÉCIALITÉ INFO FILIÈRE PC COMPOSITION D INFORMATIQUE

Plus en détail

TP2 Opérations et filtres

TP2 Opérations et filtres TP2 Opérations et filtres 1. Opérations arithmétiques Mettre en place les fonctions Min et Max sur 2 images en niveaux de gris. Min() conserve entre 2 images les pixels de luminance minimum, Max() conserve

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Chapitre I Notions de Base

Chapitre I Notions de Base Chapitre I Notions de Base - Traitement d image - Treillis - Résidus - Mesures J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Cours Morpho I. 1 Traitement d' Images (I) => L'analyse d'images peut se diviser

Plus en détail

L analyse d images regroupe plusieurs disciplines que l on classe en deux catégories :

L analyse d images regroupe plusieurs disciplines que l on classe en deux catégories : La vision nous permet de percevoir et d interpreter le monde qui nous entoure. La vision artificielle a pour but de reproduire certaines fonctionnalités de la vision humaine au travers de l analyse d images.

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

GEODESIE et TRANSFORMATIONS GEODESIQUES. Serge BEUCHER CMM Mines ParisTech

GEODESIE et TRANSFORMATIONS GEODESIQUES. Serge BEUCHER CMM Mines ParisTech GEODESIE et TRANSFORMATIONS GEODESIQUES Serge BEUCHER CMM Mines ParisTech Introduction En MM, les éléments structurants peuvent être définis de différentes manières: Par leur géométrie De façon explicite

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1. Soit f : A B une application. Prouver que (a) A f 1 fa pour tout A A, avec égalité si f est injective; (b) ff 1 B B pour tout B B, avec égalité si f est surjective; Preuve.

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

Champs d hyperplans. En particulier son rang en un point p, qui est le double du plus grand entier k tel que

Champs d hyperplans. En particulier son rang en un point p, qui est le double du plus grand entier k tel que Champs d hyperplans Un champ d hyperplans coorientable (resp. coorienté) sur une variété V m est le noyau ξ d une 1-forme différentielle non singulière α bien définie à multiplication près par une fonction

Plus en détail

Comparaison d images binaires reposant sur une mesure locale des dissimilarités Application à la classification

Comparaison d images binaires reposant sur une mesure locale des dissimilarités Application à la classification 1/54 Comparaison d images binaires reposant sur une mesure locale des dissimilarités Application à la classification Étienne Baudrier CReSTIC vendredi 9 décembre 2005 2/54 Contexte programme national de

Plus en détail

Notes de cours. Cours introductif sur la théorie des domaines. Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique

Notes de cours. Cours introductif sur la théorie des domaines. Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique Notes de cours Cours introductif sur la théorie des domaines Paul-André Melliès Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique 1 Ensembles ordonnés Definition 1.1 (ensemble

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

Lissage et filtrage linéaire

Lissage et filtrage linéaire Lissage et filtrage linéaire TP de traitement d images :MMIS A Un système d enregistrement d image ne restitue pas l image de manière parfaite : des informations parasites apparaissent et viennent s ajouter

Plus en détail

Le polycopié de cours, les notes manuscrites, et les calculatrices sont autorisés.

Le polycopié de cours, les notes manuscrites, et les calculatrices sont autorisés. Université d Orléans Deug MASS, MIAS et SM Unité MA. Probabilités et Graphes Examen partiel du 5 décembre durée: h Le polycopié de cours, les notes manuscrites, et les calculatrices sont autorisés. Le

Plus en détail

I Arbres binaires. Lycée Faidherbe 2014-2015. 1 Rappels 2 1.1 Définition... 2 1.2 Dénombrements... 2 1.3 Parcours... 3

I Arbres binaires. Lycée Faidherbe 2014-2015. 1 Rappels 2 1.1 Définition... 2 1.2 Dénombrements... 2 1.3 Parcours... 3 I Arbres binaires 2014-2015 Table des matières 1 Rappels 2 1.1 Définition................................................ 2 1.2 Dénombrements............................................ 2 1.3 Parcours.................................................

Plus en détail

M2 MPRO. Optimisation dans les Graphes 2014-2015

M2 MPRO. Optimisation dans les Graphes 2014-2015 M2 MPRO Optimisation dans les Graphes 2014-2015 Programmation linéaire et problèmes d'optimisation dans les graphes 1 Problèmes d'optimisation dans les graphes : quelles méthodes pour les résoudre? Théorie

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

BJ - RELATIONS BINAIRES

BJ - RELATIONS BINAIRES BJ - RELATIONS BINAIRES Définitions Soit A et B deux ensembles non vides, et G une partie de A B. On dit qu un élément x de A est relié à un élément y de B par une relation binaire de graphe G, si le couple

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

LE PROBLEME DU FLOT MAXIMAL

LE PROBLEME DU FLOT MAXIMAL LE PROBLEME DU FLOT MAXIMAL I Exemple d introduction Deux châteaux d'eau alimentent 3 villes à travers un réseau de canalisations au sein duquel se trouvent également des stations de pompage. Les châteaux

Plus en détail

Analyse d images. L analyse d images regroupe plusieurs disciplines que l on classe en deux catégories :

Analyse d images. L analyse d images regroupe plusieurs disciplines que l on classe en deux catégories : Analyse d images La vision nous permet de percevoir et d interpreter le monde qui nous entoure. La vision artificielle a pour but de reproduire certaines fonctionnalités de la vision humaine au travers

Plus en détail

Analyse d images, vision par ordinateur. Partie 6: Segmentation d images. Segmentation? Segmentation?

Analyse d images, vision par ordinateur. Partie 6: Segmentation d images. Segmentation? Segmentation? Analyse d images, vision par ordinateur Traitement d images Segmentation : partitionner l image en ses différentes parties. Reconnaissance : étiqueter les différentes parties Partie 6: Segmentation d images

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Connexité et Segmentation

Connexité et Segmentation Connexité et Segmentation Exposé à la journée ISS du 5 février 1998 Jean SERRA Ecole des Mines de Paris J.Serra Ecole des Mines de Paris ( 1998 ) Connexité et Segmentation 1 La connexité en mathématiques

Plus en détail

Relations binaires sur un ensemble.

Relations binaires sur un ensemble. Math122 Relations binaires sur un ensemble. TABLE DES MATIÈRES Relations binaires sur un ensemble. Relations d équivalence, relation d ordre. Table des matières 0.1 Définition et exemples...................................

Plus en détail

TOPOLOGIE. une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ; définition : diamètre : diam(x)=min{ r R

TOPOLOGIE. une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ; définition : diamètre : diam(x)=min{ r R TOPOLOGIE 1) DISTANCE, ESPACES MÉTRIQUES a : distances : d'après le cours de M. Nicolas Tosel professeur en MP* au Lycée du Parc, Lyon Année 2004 2005 une distance est une application d de E dans R + telle

Plus en détail

Groupes et Actions de groupes. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes.

Groupes et Actions de groupes. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Groupes et Actions de groupes On présente ici des notions de base de théorie des groupes pour l agrégation interne. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Un groupe (G, ), ou plus simplement G, est

Plus en détail

Segmentation de maillages 3D à l aide de méthodes basées sur la ligne de partage des eaux

Segmentation de maillages 3D à l aide de méthodes basées sur la ligne de partage des eaux Segmentation de maillages 3D à l aide de méthodes basées sur la ligne de partage des eaux Sébastien Delest Thèse dirigée par Hubert Cardot et Romuald Boné Université François Rabelais de Tours 26 novembre

Plus en détail

B03. Ensembles, applications, relations, groupes

B03. Ensembles, applications, relations, groupes B03. Ensembles, applications, relations, groupes Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 6 janvier 2006 Table des matières 1 Calcul propositionnel 2 2 Ensembles 5 3 Relations 7 4 Fonctions, applications

Plus en détail

Filtrage et EDP. Philippe Montesinos. EMA/LGI2P - Site EERIE. Parc Scientifique G. Besse - 30035 Nîmes Cedex 1- France http://www.lgi2p.ema.

Filtrage et EDP. Philippe Montesinos. EMA/LGI2P - Site EERIE. Parc Scientifique G. Besse - 30035 Nîmes Cedex 1- France http://www.lgi2p.ema. Filtrage et EDP Philippe Montesinos EMA/LGI2P - Site EERIE Parc Scientifique G. Besse - 30035 Nîmes Cedex 1- France http://www.lgi2p.ema.fr 1 Plan 1. Rappels: - Les analyses multi-échelles. - Méthodes

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Systèmes d'informations Géographiques - Graphes

Systèmes d'informations Géographiques - Graphes Systèmes d'informations Géographiques - Graphes Institut National des Sciences Appliquées - Rouen Département Architecture des Systèmes d'information michel.mainguenaud@insa-rouen.fr Graphe et Spatialisation!

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Les théorèmes de Gerschgorin et de Hadamard

Les théorèmes de Gerschgorin et de Hadamard Localisation des valeurs propres : Quelques propriétés sur les disques de Gerschgorin. Jean-Baptiste Campesato 22 septembre 29 Gerschgorin est parfois retranscrit en Gershgorin, Geršgorin, Hershhornou

Plus en détail

Chapitre III : Détection de contours

Chapitre III : Détection de contours Chapitre III : Détection de contours La détection de contour et la segmentation des images sont probablement les domaines qui ont reçu la plus grande attention de la part de la communauté de traitement

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

2 Hiérarchies de partitions

2 Hiérarchies de partitions Hiérarchie de partitions pour la simplification et la segmentation d images couleur O. Lezoray C. Meurie P. Belhomme A. Elmoataz LUSAC EA 2607, IUT SRC, 120 Rue de l exode, 50000 SAINT-LÔ, FRANCE {o.lezoray,cyril.meurie,p.belhomme,elmoataz}@chbg.unicaen.fr

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Exercices sur la morphologie mathématique

Exercices sur la morphologie mathématique Exercices sur la morphologie mathématique Isabelle Bloch Octobre 2006 1 Propriétés d opérations morphologiques 1.1 Exercice 1 Les affirmations suivantes sont elles vraies ou fausses? vraie fausse 1 l érosion

Plus en détail

Figure 1 : image de cubes en éponge et leur visualisation en 3D.

Figure 1 : image de cubes en éponge et leur visualisation en 3D. DÉRIVATION DES IMAGES : CALCUL DU GRADIENT DE SHEN-CASTAN. 1 OBJECTIF DE CE TRAVAIL. Beaucoup d algorithmes de traitement ou d analyse d images sont basés sur un opérateur de dérivation spatiale, ou plus

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

Définitions. Numéro à préciser. (Durée : )

Définitions. Numéro à préciser. (Durée : ) Numéro à préciser (Durée : ) On étudie dans ce problème l ordre lexicographique pour les mots sur un alphabet fini et plusieurs constructions des cycles de De Bruijn. Les trois parties sont largement indépendantes.

Plus en détail

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau

Plus en détail

Relations Binaires Relations d équivalence sur un ensemble

Relations Binaires Relations d équivalence sur un ensemble Relations Binaires Relations d équivalence sur un ensemble MPSI 2 1 Généralités Soit E un ensemble non vide. Définition 1..1 On appelle relation binaire sur E le couple (E, G où G est un graphe de E dans

Plus en détail

Exercices sur la morphologie mathématique

Exercices sur la morphologie mathématique Exercices sur la morphologie mathématique Isabelle Bloch 1 Propriétés d opérations morphologiques Les affirmations suivantes sont elles vraies ou fausses? 1 l érosion d une fonction est croissante par

Plus en détail

Graphes planaires. Classes de graphes & Décompositions

Graphes planaires. Classes de graphes & Décompositions Classes de graphes & Décompositions Détails des démonstrations dans les livres suivants : [West] Introduction to Graph Theory, D. West [Diestel] Graph Theory, R. Diestel 2010-2011 : définition Définition

Plus en détail

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F.

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Espaces vectoriels Convention 1. Dans toute la suite, k désignera un corps quelconque. Définition 2.

Plus en détail

Maîtrise de la segmentation d images en microscopie

Maîtrise de la segmentation d images en microscopie Maîtrise de la segmentation d images en microscopie Morphologie Mathématique Ligne de partage des eaux «Watershed» Alain Dieterlen Groupe LAB.EL, Laboratoire MIPS Université de Haute Alsace, Mulhouse,

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

Morphologie mathématique. Séverine Dubuisson. Fondements du Traitement d Images novembre 2006

Morphologie mathématique. Séverine Dubuisson. Fondements du Traitement d Images novembre 2006 Fondements du Traitement d Images novembre 2006 du cours 1 2 3 4 5 6 7 Extensions aux images en niveaux de gris Définition La morphologie est une branche de la biologie traitant des formes et structures

Plus en détail

Analyse d images numériques en microscopie

Analyse d images numériques en microscopie Analyse d images numériques en microscopie Yves Usson Reconnaissance et Microscopie Quantitative, Laboratoire TIMC UMR5525 CNRS Institut d Ingénierie et d Information de Santé (IN3S), La Tronche Traitement

Plus en détail

Chapitre I. Calcul vectoriel. Nous nous placerons dorénavant toujours dans une base orthonormée directe.

Chapitre I. Calcul vectoriel. Nous nous placerons dorénavant toujours dans une base orthonormée directe. Chapitre I INTRODUCTION ATHÉATIQUE I.A. I.A.1. Calcul vectoriel Produit vectoriel Plaçons-nous dans un espace vectoriel euclidien à trois dimensions. En faisant subir des rotations identiques aux trois

Plus en détail

TERI : Traitement et reconnaissance d'images

TERI : Traitement et reconnaissance d'images TERI : Traitement et reconnaissance d'images Cours Master 2 IAD Isabelle Bloch - ENST / Département Signal & Images Florence Tupin - ENST / Département Signal & Images Antoine Manzanera ENSTA / Unité d'électronique

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail