Chemin de longueur optimale. Graphe sans circuit

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "Chemin de longueur optimale. Graphe sans circuit"

Nadine Favreau
il y a 6 ans
Total affichages :

1 Chemin de longueur optimale Graphe sans circuit 9 8

2 Résultat : Dans un graphe orienté sans circuit il existe au moins un sommet de degré intérieur nul. Mise en niveau d un graphe sans circuit - Prendre k =, étiqueter par les sommets ayant un degrés intérieur nul. - Tant qu il y a des sommets non étiquetés, répéter les deux étapes suivantes : - Etiqueter par k tous les sommets n ayant pas un prédécesseur non étiqueté. - Faire k=k+ EXEMPLE Résultat de la mise en niveau 9 8

3 9 8 Niveaux Ordre topologique X={x,x,.., x n } l ensemble des sommets du graphe sans circuit G. L ordre x i, x i,.., x in sera dit ordre topologique Si pour tout arc x il x ik de G Alors l<k N.B. Si on commence par étiqueter les sommets par l algorithme de mise en niveau et puis on numérote les sommets des niveaux consécutifs, on obtient un ordre topologique.

4 Graphe valué G=(X,U) est un graphe A chaque arc u de U est associée une valeur l(u) réelle. Graphe Valué Ainsi étant donné un chemin de G µ= [u, u,., u p ] on définit sa longueur par : L(µ) = l(u )+l(u )+.+l(u p ) problèmes se posent P - Étant donné sommets x 0 et x n de X, déterminer un plus court (long) chemin entre x 0 et x n. P - Étant donné un sommet x 0 de X, déterminer un plus court (long) chemin de x 0 à tout autre sommet de X. P - Déterminer un plus court (long) chemin entre tout couple de sommets de X. Condition nécessaire pour l existence d un chemin de longueur «optimale» entre deux sommets x i et est qu il n existe pas un chemin entre x i et contenant un circuit absorbant. Pour la recherche d un plus court (resp. long) chemin, un circuit C sera dit absorbant si L(C)<0 (resp. L(C)>0).

5 Algorithme de Ford (Problème P) G=(X,U) un graphe valué avec X={x 0,x,x,.., x n } Déterminer la longueur du plus court chemin de x 0 à tout autre sommet x i de G On associe à tout sommet x i une pondération λ i Initialisation : Prendre λ 0 =0 et λ i =! pour tout i! 0. Itération de base: Étant donné l arc x i de G Si λ i ) < λ j Alors faire λ j = λ i ) Répéter l itération de base jusqu à la stabilisation de toutes les pondérations λ i. Remarque. On démontre qu à la fin de l algorithme, la pondération λ i représente la longueur du plus court chemin du sommet x 0 au sommet x i. En plus, ce résultat est valable indépendamment des signes des valeurs des arcs. Remarque. Si on effectue à l initialisation # i =!" et on remplace la condition de l itération de base par : «Si λ i ) > λ j Alors faire λ j = λ i )» λ i représentera alors la longueur du plus long chemin. Remarque. L algorithme de Ford est général, mais ne précise pas l ordre du parcourt des arcs du graphe. Le parcourt des arcs de G peut se réaliser en visitant tous les sommets de G (dans un ordre donné) et puis en parcourant les arcs incidents vers l extérieur (ou l intérieur) de chaque sommet visité. L efficacité de cet algorithme dépend de l ordre de visite des sommets de G.

6 Cas d un graphe sans circuit Remarque : Si x 0 est un point entré de G et si l on parcourt les sommets de G dans un ordre topologique, les pondérations se stabilisent à la fin du premier parcourt. L algorithme de FORD devient : - Prendre λ 0 = 0 - Parcourir les sommet de G suivant un ordre topologique. Pour chaque sommet x i visité faire " i = MIN (" k + l(x k & x i )) x k #$ % (x i ) Prédécesseurs de x i Algorithme de DIJKSTRA Valable lorsque les valuations des arcs sont positives. Étant un sous ensemble A de sommets. Etape 0 Prendre A=X, λ 0 =0 et λ i =! pour tout i! 0. Etape. Soit i 0!A tel que Etape. Faire A = A-{x i }, Si A= Φ Alors FIN. 0 Etape. pour tout arc x i! avec! Faire Revenir à l étape. j! i0 = MIN! " A 0 A (" j, i + l( x 0 i x 0 j " = MIN "! Remarque : Il n est pas possible de transformer cet algorithme en un algorithme pour la détermination les longueurs des plus longs chemins. j ))

7 Détermination des chemins optimaux Afin de déterminer les chemins optimaux, on modifie l algorithme de Ford de la manière suivante : - Définir un tableau : TAB [0..n] de type entier ; prendre TAB[0]=0; - L itération de base devient : étant donné l arc x i de G Si λ i ) < λ j Alors faire {λ j = λ i ) ; Tab[j]=i} La procédure qui permet de trouver le chemin optimal de x 0 à x i s écrit: Définir k entier ; prendre k=i ; Tant que k! Tab[k] faire Imprimer x k fin Tant que Imprimer x 0 ; Cette procédure liste les sommets du chemin optimal dans le sens inverse de x i à x 0 Méthode matricielle (Recherche des plus courts chemins entre tout couple de sommet de G) Construire une suite de matrice (n n) M 0, M,, M n k On note par v ij les éléments de la matrice M k. Initialisation : Prendre Calcule des éléments de M k à partir de ceux de M k- : Pour k = à n calculer les éléments de M k par : Remarque : n! ij chemin de x i à dans G! v k ij = MIN v k" ij, v k" k" ik + v kj % v 0 ij = l(x " x ) si x " x i j i j # U & ' $ sinon ( ) représente la longueur du plus court

Documents pareils

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe

Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d