Filtrage et traitement du signal

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1 RICM 2 - OPTION COMMUNICATION MULTIMEDIA Filtrage et traitement du signal James L. Crowley et Antoine Roue Cours RICM-2- HR20MTS deuxième semestre 2000/2001 Séance 3 : 30 janvier 2001 Numérisation des Signaux Formule du Jour :... 1 Echantillonnage des Signaux... 2 Le modèle général d'un échantillonneur idéal...3 La Transormée de Fourier d'une suite de deltas...4 Schéma de l'échantillonage...6 Théorème de Shannon...7 Rappel du modèle idéal d'un échantillonneur...9 Schématiquement Filtre Anti-repliement Conversion Analogique Numérique...12 Les paramètres d'un quantiication Méthodes de conversion A/N Conversion Numérique-analogique Schèma d'un dispositi de traitement numérique du signal s(t) A/N DFT F(ω) IDFT N/A F{s(t)} Formule du Jour :

2 La Fréquence Nyquist : N = e 2 =

3 Echantillonnage des Signaux Soit un signal continu : t Si l'on veut traiter un signal par voie numérique à l'aide d'un calculateur, il aut le représenter au préalable par une suite de valeurs numériques ponctuelles prélevées régulièrement ou irrégulièrement. Un tel prélèvement est appelé échantillonnage. Une échantillonage représent un signal par une suite de valeurs ponctuelles : t La représentation numérique des échantillons requiert une opération complémentaire de quantiication et de codage, dont la nature et les conséquences sont examinées dans le prochaine séance. L'ensemble réalise une onction de conversion analogique-numérique A/N, (Dite Analog to Digital ou A/D en Anglais) x(n) t Reversibilité : Seules les conditions théoriques, irréalisables paraitement dans la pratique (voir théorème de Paley-Wiener), permettent une reconstitution exacte du signal analogique à partir de ses échantillons. La procédure d'échantillonnage introduit toujours une distorsion quil convient de limiter à un niveau acceptable. 3-3

4 Le modèle général d'un échantillonneur idéal Le modèle général d'un échantillonneur idéal est : x ei (t) δ Te (t) x ei (t) =. δ Τe (t) = δ(t n ) n= par convention on dit que = 1, et que x ei (n) = x ei (n ) On peut assimiler théoriquement la suite idéale d'échantillons prélevés avec une cadence ixe e = 1 T à un signal x ei (t) obtenu par la multiplication du signal e analogique par une onction d'échantillonnage idéalisée : Le onction peigne ("Unit Impulse Train" or "Sampling Function") e i (t) = δ Τe (t) = δ(t n ) = n=- n=- δ(t n e ) 3-4

5 La Transormée de Fourier d'une suite de deltas La transormée de Fourier d'une onction peigne est une onction peigne, de poids e = 1. {δ Τe (t)} = { n=- δ(t n e )} = e δ e () = e k= La orme de la transormée de Fourier X e () = X e (ω/2π) devient : X e () = X() * e δ e () = e X( k e ) k= δ( k e ) Note : Une échantillonnage en temps implique une périodicité en réquence. En général, le spectre X(ω) du signal échantilloné est noté entre π ω π. et le spectre X() du signal échantilloné est noté entre Demonstration : Par suite de Fourier : δ(t n ) = n=- α n e jnω ο t n=- (x) = α n e jn2π o x n=- ω o = 2π les coeicients sont determiné par l'integrale dans la periode [ - 2, 2 ]. α n = 1 /2 δ(t) e jnω ο t dt = 1 - /2 Donc : δ(t n ) = 1 T n=- e n=- e jnω ο t = 1 e j n(2π/ ) t n=- ou bien δ(t n ) = 1 δ(t) e jn(2π/ )t (Rétard en phase par n 2π ) 3-5

6 { n=- δ(t n )} = 1 n=- {e j2π n/ } = 1 n=- δ(ω 2πn ) { δ(t n )} = n=- 1 n=- δ(ω 2πn ) ou en avec e = 1 { δ(t n 1 )} = e n=- e n= δ( n e ) = e δ e () 3-6

7 Schéma de l'échantillonage Spectre d'un échantillonneur idéal : X() 2 e 0 e e 2 e Spectre du signal analogique : X() Spectre du signal après échantillonnage (idéalisé) : Replié autour du réquence de Nyquist. X() N = e 2 = N e N 0 N e 2 N 2 e 3-7

8 Théorème de Shannon Un signal analogique ayant une largeur de bande inie limité à 2F hz ne peut être reconstitué exactement à partir de ses échantillons x(n t) que si ceux-ci ont été prélevés avec une période = 1 1 e 2F. Spectre du signal analogique : X() F N F F F N Pour que la répétition périodique de ce spectre ne déorme pas le moti répété, Il 1 aut et il suit que la réquence de répétition e = T (la réquence e d'échantillonnage) soit égale ou supérieure à 2 ois la réquence maximum F du signal. F N = e 2 3-8

9 Exemple : Pour une sinusoïde, Cos(2π o t), la réquence d'échantillonnage minimale est deux échantillons par cycle. = λ 2 = ou = o 2T (Cycle/échantillon) e Soit une réquence d'échantillonage e. Si la réquence du signal, o, est supérieure à e 2 e c-à-d : si o = 2 + tel que > 0 par : alors, la séquence d'échantillons est assimilée à une suite de réquence alias tel que : alias = e 2. c-à-d : E 2 { Cos( 2πt ( e 2 + ))} = Cos( 2πt ( e 2 )) 3-9

10 Rappel du modèle idéal d'un échantillonneur Le modèle général d'un échantillonneur idéal E 2 {} est : x ei (t) x ei (t) =. δ Τe (t) = δ Te (t) δ(t n ) n= par convention on dit que = 1, et que x ei (n) = x ei (n ) La transormée de Fourier d'une onction peigne est une onction peigne, de poids e = 1 T. e {δ Τe (t)} = { n=- δ(t n e )} = e δ e () = e k= δ( k e ) La orme de la transormée de Fourier X e () = X e (ω/2π) devient : X e () = X() * e δ e () = e X( k e ) k= Note : Une échantillonnage en temps implique une périodicité en réquence. En général, le spectre X(ω) du signal échantilloné est noté entre π ω π. et le spectre X() du signal échantilloné est noté entre

11 Schématiquement Spectre d'un échantillonneur idéal : X() 2 e 0 e e 2 e Spectre du signal analogique : X() Spectre du signal après échantillonnage (idéalisé) : Replié autour du réquence de Nyquist. X() N = e 2 = N e N 0 N e 2 N 2 e 3-11

12 Filtre Anti-repliement Ain d'éviter ce repliement de spectre, Il est indispensable d'introduire un préiltrage du signal analogique avant de procéder à l'échantillonnage. g (t) x e (n ) δ (t) Le iltre Anti-repliement (ou iltre de garde) parait serait un iltre passe-bas idéal de bande passante B = e 2. Tout iltre anti-repliement réel comporte une bande de transition qui reporte la bande passante limite B M au delà de la bande passante eective. Spectre Réel Spectre Idéel F max F max Nous allons voir dans les séances suivants qu'on spéciie les caractéristique d un iltre avec un gabarit en donnant des paramètres: δ p : ω p ω a : δ a : L ondulation en bande passant Dernière réquence passante première réquence atténuée L ondulation en bande atténuée. H(ω) 1 + δ p 1 δ p 1 δ a ω ω p ω c ω a 1 + δ a π 3-12

13 Conversion Analogique Numérique Tout système de traitement de signaux aisant appel à un ordinateur ou à un processeur numérique spécialisé implique necessairement une opération préliminaire de conversion analogique-numérique (A/N). L'inormation traitée est restituée sour orme analogique par une conversion Numérique-analogique (N/A) (dit digital to analog ou A/D en Anglais). x(n T) t n T V 4q 3q 2q q 0 1q 2q x(n) t La conversion analogique numérique implique également après échantillonnage une opération qui consiste à remplacer la valeur exacte analogique de léchantillon par la plus proche valeur approximative extraite dun ensemble ini de valeurs discrètes. Cette opération s'appelle la quantiication. ("digitizing" en anglais). Chacune de ces valeurs discrètes est exprimée par un nombre sous orme binaire, par un codage approprié. Ce nombre est compris entre deux valeurs limites qui ixent la plage de conversion. Chaque nombre x q (n), représente un ensemble de valeurs analogiques contenues dans un intervalle de largeur q appelé "pas de quantiication". Lorsque la plage de conversion est subdivisé en pas de quantiication égaux, on parle de quantiication uniorme. 3-13

14 Les paramètres d'un quantiication Les paramètres d'un quantiication uniormes sont : q : Le pas de quantiication (en volts) V : Le plage de quantiication (en volts) B : le nombre de bits de la representation numérique Nombre de valeurs representé 2 B = V q 3-14

15 Méthodes de conversion A/N 1) Méthodes Indirect : VCO La valeur de la tension du signal d entrée est convertie en une réquence par une oscilateur commandé en tension. en anglais : Voltage Controlled Oscillateur (VCO). La réquence est proportionnelle à la tension. Ensuite on compte le nombre de passage à zéro pendant T. 2) Convertiseeur parallèle. (Anglais Flash Converteur ). La tension x(n T) d entré est comparé à 2 B 1 valeurs du type : k U 0 2 B déduite d une tension de réérence U 0. Le résultat est traduite en mot binaire par un décodeur logique. U 0 (tension de réérence) R + 2 n 1 comparateurs R R + décodeur Logique Sortie numérique (codée en binaire) + R + R Utiliser pour la vidéo, radar, etc. Avantage : Rapide est simple. Inconvenance : Manque de précision. 3-15

16 3) Approximation sucessive La tension d entrée est comparé successivement à une succesion de 2 B 1 valeurs de réérence pondérées k U 0 2 N. C est un système bouclé qui inclut un convertisseur numérique-analogique : + Σ + Horloge et logique de commande interne } Sortie numérique Convertisseur N/A Tension de Réérence U 0 Conversion Numérique-analogique Un convertisseur numérique-analogique est un dispositi produisant une grandeur de sortie y qui possède 2 N valeurs distinctes. Il est à loi uniorme si ces valeurs sont régulièrement réparties sur une plage de valeurs allant de zéro à 2 N q selon la loi : y = q (d 1 2 B-1 + d 2 2 B d B 2 0 ) où q est le pas de quantiication. Des interrupteurs commandés par les variables binaires d k (d k = 0 interrupteur ouvert, d k = 1 interrupteur ermé) contrôlent le passage de courants pondérés I 0 / 2 N provenant de source de cournat dépendant d une réérence I 0 vers un point de sommation. 3-16

17 I 0 /2 d 1 I 0 /4 d 2 I = d 1 I 0 /2 + d 2 I 0 / d B I 0 /2 B I 0 /2 B d B Dans la pratique, tous les interrupteurs ne réagissent pas exactement au même instant. Il ne résulte des parasites de commutations ( Glitches en anglais) qui doivent être éliminés par iltrage. 3-17