Cours d optique géométrique Réalisé par: Mohammed BELLIOUA

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1 Cours d optique géométrique Réalisé par: Mohammed BELLIOUA Willebrord Snell ( ) Réflexion (2 ème loi) Réfraction (3 ème loi) René Descartes ( )

2 SOMMAIRE CHAPITRE I : NOTIONS FONDAMENTALES DE L OPTIQUE GEOMETRIQUE CHAPITRE II : MIROIRS ET DIOPTRES CHAPITRE III : SYSTEMES CENTRES CHAPITRE IV : ETUDE DE QUELQUES INSTRUMENTS D OPTIQUE.

3 Chapitre I : I. Introduction II. III. IV. Propriétés de la lumière, propagation dans un milieu. Les lois de Snell-Descartes Stigmatisme V. Condition de Gauss VI. Espace objet, espace image, caractère réel ou virtuel des objets et des images VII. Phénomène de mirage VIII. Les fibres optiques IX. Étude du prisme

4 L optique Ce que perçoit l œil I. Introduction I.1. Bref Historique (Modèle géométrique) Modèle géométrique : La lumière se propage en lignes droites IV siècle avant J-C : Euclide;, notions sur les rayons lumineux XI siècle : Alhazan, expériences avec des lentilles minces et des miroirs 1610 : Galilée, lunette astronomique : Snell-Descartes, loi de la réfraction : Fermat; principe du temps minimum de propagation

5 (Modèle ondulatoire) Modèle ondulatoire : la lumière est une onde électromagnétique XVII siècle ou (17 e siècle) : Huygens, compatibilité entre modèle ondulatoire et modèle géométrique 1801: Young, travaux sur les interférences : Fresnel, interférences et diffraction : Maxwell et Hertz, onde électromagnétique (variation dans le temps et de l'espace, E et H) 20 ème siècle : complémentarité optique physique mécanique quantique, électromagnétisme

6 I.2. Postulat de l optique géométrique La lumière (l énergie lumineuse) est décrite par un ensemble de rayons lumineux indépendants (faisceau lumineuse). Ces rayons lumineux sont caractérisés par une direction de propagation u et une vitesse de propagation v. Ces rayons lumineux se propagent en ligne droite dans tout milieu homogène et transparent à une vitesse qui dépend du milieu.

7 II. Propriétés de la lumière, propagation dans un milieu. II.1. Fréquence, période, longueur d onde Une lumière monochromatique (d une seule couleur) caractérisée par trois nombres : Sa fréquence ν exprimée en Hertz (Hz), qui est la fréquence de variation du champ électrique ; Sa période T exprimée en seconde (s), on a : T=1/ν Sa longueur d onde λ exprimée en mètre (m), on a λ=ct=c/ν où c est la célérité de la lumière dans le vide.

8 Remarque 1: La lumière visible, s étend sur des longueurs d ondes allant de 380 nm (violet) à 780 nm (rouge) environ (1nm=10-9 m). Remarque 2: la grandeur physique qui caractérise une onde lumineuse (une couleur) est la fréquence : la vitesse de propagation de la lumière n est pas toujours égale à c et donc la longueur d onde changera selon cette vitesse de propagation. Mais généralement, on caractérise une couleur par sa longueur d onde dans le vide. II.2. Vitesse de propagation L onde électromagnétique, donc la lumière, se propage dans le vide à la vitesse c= m.s 1.

9 L optique l c = l n c = 3 x 10 8 m/s Vitesse de la lumière

10 II.3. Indice de réfraction d un milieu C est le rapport entre la célérité de la lumière dans le vide (c) et la vitesse à laquelle elle se propage dans le milieu (v) considéré :n=c/v (1) n sans dimension. Ainsi l indice le plus petit qui existe est 1 et n > 1. Exemple d indice de réfraction de certains milieux Vide 1 Eau 1.3 Verre 1.5 Diamant 2.42 Remarque : l indice de réfraction dépend de la couleur de la lumière.

11 II.4. Dispersion de la lumière, milieux dispersifs l indice optique d un milieu dépend de la fréquence de la vibration qui s y propage, un tel milieu est appelé milieu dispersif. Exemples : Milieu transparent dispersif : Le verre est un milieu dispersif pour les ondes lumineuses puisque le bleu (de grande fréquence) se propage moins vite que le rouge (de petite fréquence). L indice du verre pour le bleu est plus grand que l indice du verre pour le rouge. L eau est un milieu dispersif ce qui permet l observation d arc-en-ciel. Milieu non dispersif : L air n est pas un milieu dispersif pour les ondes sonores puisque toutes les fréquences se propagent à la même vitesse (environ 340m.s 1 ).

12 II.5. Milieu et longueur d onde La longueur d onde du milieu est : Les longueurs d ondes dans un milieu sont comprimées. Remarque Plus la fréquence de la vibration est grande (plus sa longueur d onde est petite), plus la vitesse de propagation est faible, plus l indice du milieu est grand. Loi de Cauchy λ milieu = V ν Tc = T V = n = λ vide n Pour la propagation de la lumière visible dans le verre, cette loi donne l évolution de l indice d un verre en fonction de la longueur d onde : (3) n λ = A + B λ 2 avec A et B des constantes positives qui dépendent du milieu, λ0 la longueur d'onde dans le vide de la radiation. (2)

13 II.6. Principe de Fermat (principe du moindre temps) Le chemin suivi par la lumière est celui qui prend le moins de temps. Exemple : Le trajet en ligne droite (1) est plus long que le trajet (2) car on se déplace moins vite dans l eau que sur le sable

14 III. Les lois de Snell-Descartes Lorsque la lumière arrive sur la surface de séparation (ou dioptre) entre deux milieux d'indice de réfraction différents, on constate qu'une partie de la lumière est réfléchie et que l'autre partie est transmise. plan d incidence La normale à la surface est la perpendiculaire au plan tangent en I (point d'incidence) à la surface S. Le plan d'incidence est le plan formé par le rayon incident et la normale. S rayon incident I normale n 1 n 2

15 1 ère loi : Les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d incidence. 2 ème loi ou loi de la réflexion : "L'angle de réflexion i 1 est égal à l'angle d'incidence i 1 " Si on oriente les angles par rapport à la normale, on écrit : i 1 = - i 1 3 ème loi ou loi de la refraction: Pour un rayon lumineux monochromatique, on a : S rayon incident i 1 I i 1 rayon réfléchi i 2 rayon n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2 Normal réfracté Réfringence : Un milieu est d autant plus réfringent que son indice de réfraction est important n 1 n 2

16 La réfraction (suite)

17 Deux des trois lois de Snell-Descartes Réflexion (2 ème loi) Réfraction (3 ème loi)

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19 Application: 1- Réfraction limite (i 2l ): n 2 > n 1. Le rayon se dirige vers le milieu le plus réfringent donc le rayon réfracté se rapproche de la normale, i 2 < i 1. Si le rayon incidence est confondu avec la normale (i 1 =0 ), il ne réfracté pas (i 2 =0 ) n 1 si i 1 =90 (incidence rasante) alors i 2 =i 2l tq sin i 2l = n 1 / n 2 I i 2l n 2 Exemple : passage de l air (n 1 = 1) dans l eau (n 2 = 1,33) : i 2l =sin -1 (n 1 /n 2 ) 49

20 2- Réflexion totale n 2 < n 1 : Le rayon se dirige vers le milieu le moins réfringent donc Le rayon réfracté s écarte de la normale : r > i Au delà d un certain angle d incidence, appelé i c,(i > i C ) il n y a plus de rayon réfracté, tout le rayon incident est réfléchi => réflexion totale Exemple : passage diamant (n 1 = 2,42) vers air : i C =sin -1 (n 2 /n 1 ) =24 n1 i crit i Faisceau complètement réfléchi n sin i n sin 90 1 crit 2 sin i crit n 2 n 2 icrit arcsin n1 n1 n2 r r crit =90 r crit =90 :Emergence rasante i < i crit réfraction i i cri réflexion totale

21 Réflexion totale interne (suite) : n2= o

22 IV. Stigmatisme Stigmatisme rigoureux: un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour un couple de points A et A si tous les rayons lumineux issus du point A passent par le point A après passage à travers le système optique. L indice de réfraction n i dépend de la longueur d onde de la température Les points A et A sont alors des points conjugués et la relation qui lie leur position est appelée relation de conjugaison. Exemple, Miroir plan: système stigmatique rigoureux

23 Stigmatisme approché : De nombreux systèmes optiques ne présentent pas la condition de stigmatisme rigoureux. Les rayons issus du point A et émergeant du système optique ne passent pas tous par le point A de sorte que l image n est pas ponctuelle : le système optique est astigmate. On établit cependant la condition de stigmatisme approché lorsque les rayons lumineux issus du point A passent au voisinage du point A. Exemple, Dioptre plan: système astigmate

24 V. Condition de Gauss La condition de stigmatisme rigoureux n étant pas atteinte pour beaucoup de systèmes optiques, on se contente le plus souvent de la condition de stigmatisme approché. Cette dernière condition est vérifiée dans l approximation de Gauss. Conditions de Gauss (ou approximation de Gauss) 1. Les rayons lumineux font des angles petits avec l axe optique 2. Les rayons lumineux parallèles à l axe optique sont peu éloignés de celui-ci. tan i sin i i tan i sin i i d << AA d << AA Loi de Kepler: Lorsque i 1 et i 2 sont petits (sin i 1 i 1 et sin i 2 i 2 ) la loi de Descartes (2) prend la forme: n 1 i 1 =n 2 i 2.

25 VI. Espace objet, espace image, caractère réel ou virtuel des objets et des images 1. système optique dioptrique : Est un système optique constitué uniquement de dioptres transparents séparant des milieux homogènes transparents d indices différents. 2. système catadioptrique : Est un système constitué de dioptres et au moins une surface réfléchissante (miroir). 3. système catoptrique : est un système comportant que des surfaces réfléchissantes (miroirs). Espace objet et espace image pour un système dioptrique. Espace objet et espace image pour un système catadioptrique ou catoptrique.

26 VII. Phénomène de mirage On aborde ici le cas où l'indice ne dépend que d'une seule variable (température). Le milieu est dit stratifié : n est une fonction décroissante de la température mirage inférieur. n 4 > n 3 n 3 > n 2 n 2 > n 1 n croissant Température décroissante n 1 mirage supèrieur. n 4 < n 3 n 3 < n 2 n 2 < n 1 n 1 n décroissant Température croissante

27 Exemple de mirage inférieur. Exemple de mirage supérieur.

28 Ce phénomène s explique encore par la réfraction de la lumière solaire à travers l atmosphère. En effet, plus la couche atmosphérique traversée est grande et plus les rayons solaires sont incurvés. Par conséquent, le bord inférieur du Soleil sera plus relevé que le bord supérieur, transformant le disque circulaire du Soleil en un disque aplati. Le diamètre apparent du Soleil (angle défini comme le rapport du diamètre du Soleil sur la distance Terre-Soleil et exprimé en minutes d angle) voit sa valeur passer de 32 à 26. On peut enfin remarquer que l observateur terrestre voit encore le Soleil alors que celui est déjà couché et situé derrière l horizon ; il s agit ici d un exemple de mirage «supérieur»

29 VIII. Les fibres optiques Une application de la réflexion totale est le piégeage d un faisceau lumineux dans des fibres optiques. 1 Fibres à saut d indice 29/25 Cette fibre présente donc un cœur d'indice de réfraction n c entouré d'une gaine d'indice de réfraction n g < n c. Gaine protectrice Gaine Coeur

30 30/25 La transmission du rayon à l intérieur de la fibre se fait par réflexion totale à l interface cœur gaine. La gaine doit donc être moins réfringente que le cœur n g < n c. n g nc m 2 n c - 2 α m = n g avec sin(α m ) = O.N. Ouverture Numérique de la fibre optique Voir exercice 6 série 1 année 2015/2016

31 FIN 2 Fibres à gradient d indice Il s agit de fibres transparentes cylindriques dont l'indice de réfraction varie au fur et à mesure que l on s éloigne de l axe (coeur) de la fibre. La trajectoire d'un rayon lumineux est une sinusoïde à la place d'une ligne brisée. Une telle fibre permet de réduire les fuites latérales. n 31/25

32 IX. Étude du prisme 1-Définition. On appelle prisme un milieu homogène transparent et isotrope limité par deux dioptres plans. Se reporter aux dessins pour la définition de la base, de l arête et de l angle A au sommet 2- Formules générales. On travaille sur une lumière monochromatique. En se reportant au dessin, les lois de Descartes nous donnent : Relation entre les angles A, r et r : A=r + r Relation entre les angles D, i, i et A : D = i + i A

33 3. Conditions d émergence : Tous les rayons pénètrent dans le prisme (car on passe d un milieu moins réfringent à un autre plus réfringent), tous ne peuvent en sortir (car on passe d un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent) ce qui sera mise à profit pour certaines utilisations du prisme. Condition de réfraction sur la 2ème face de prisme: (i =90 ; r =r limite) En conclusion, pour que l émergence soit possible du prisme, il faut vérifier à la fois les deux conditions suivante : Condition imposée au prisme : Condition imposée à l angle d incidence : ou

34 4. Etude de la déviation : a. Dispersion de la lumière par un prisme La loi de Cauchy montre que si n croit alors λ diminue. On en déduit donc que : D augmente quand λ diminue donc le violet est plus dévié que le rouge. Remarque : la dispersion de la lumière par le prisme explique pourquoi on se plaçait précédemment dans le cas de la lumière monochromatique. b. Minimum de déviation D m. Calcul de la déviation minimum : D=i+i -A Finalement on trouve que i=i et r=r

35 L expression de n en fonction de A et D m. La loi de SD au point I donne Cette relation fondamentale trouve une application évidente en travaux pratiques : le calcul de l indice de réfraction n d un verre pour une radiation λ donnée. c. Variation de D avec l angle d incidence i: La courbe D = f(i) est représentée cicontre avec, comme vu ci-dessus, ce qui conduit à et avec

36 Conclusion: l 0 ; propagation rectiligne dans milieu homogène i.e. l petit par rapport aux instruments de mesure des rayons lumineux indépendants les uns des autres Dans un milieu homogène, transparent et isotrope, les rayons lumineux sont des lignes droites. A la surface de séparation de deux milieux, les rayons lumineux obéissent aux lois de Snell-Descartes. Principe du retour inverse de la lumière