Formalisation pour les sciences sociales et politiques Tables de vérité

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1 Formalisation pour les sciences sociales et politiques Tables de vérité Matteo Gagliolo Université libre de Bruxelles SOCA-D173 Leçon 3 Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 1 / 14

2 Plan de la leçon Syntaxe : propositions et objets Rappel : connecteurs Arbres syntaxiques Tables de vérité : exemples Principe de bivalence Syllabus : Ch 3. Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 2 / 14

3 Rappel : Syntaxe* Ensembles, propositions, nombres : tous exemples d objets mathématiques qu on peut combiner pour définir : des propositions, exprimant des relations entre des objets des nouveaux objets, à l aide des opérateurs, unaires ou binaires Propositions Objets Objet Relation Objet Opérateur Objet Proposition Objet Objet Opérateur Objet Objet Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 3 / 14

4 Rappel : connecteurs Conjonction x y x y Disjonction x y x y Négation x x Implication x y x y Équivalence x y x y Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 4 / 14

5 Évaluer une fonction à l aide des tables de vérité On peut évaluer la fonction de vérité d une expression arbitraire, en remplissant sa table de vérité. Par exemple : (a b) (a b) est une proposition, dont on peut évaluer la vérité en fonction des valeurs de a et b. Pour remplir la table : on écrit, en utilisant autant des colonnes que les variables utilisées, toutes combinaisons possibles des variables ; on écrit, dans les colonnes qui suivent, les valeurs de vérité des connecteurs utilisées, en allant du niveau plus «bas» vers le plus «haut» ; jusqu à arriver, dans la dernière colonne à droite, à écrire la fonction de vérité de la proposition entière. Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 5 / 14

6 Arbre des éventualités Avec 2 variables : 4 éventualités. Avec 3 variables : 8 éventualités. a b a = 1 a = 0 b = 1 b = 0 b = 1 a b b = 0 Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 6 / 14

7 Avec 2 variables : 4 éventualités. Avec 3 variables : 8 éventualités. Arbre des éventualités a b c b = 1 c = 1 c = 0 a = 1 b = 0 b = 1 c = 1 c = 0 c = 1 a = 0 b = 0 c = 0 c = 1 c = 0 a b c Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 6 / 14

8 Avec 2 variables : 4 éventualités. Avec 3 variables : 8 éventualités. Arbre des éventualités a b c b = 1 c = 1 c = 0 a = 1 b = 0 b = 1 c = 1 c = 0 c = 1 a = 0 b = 0 c = 0 c = 1 c = 0 a b c Avec n N variables : n fois , soit 2 n éventualités. Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 6 / 14

9 Arbre syntaxique Dans ce cas le but de l arbre est de représenter la structure d une proposition complexe : deux branches pour les opérateurs binaires, une branche pour la négation. (a b) (a b) Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 7 / 14

10 Arbre syntaxique (a b) (a b) (a b) (a b) a b a a b b a b Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 7 / 14

11 Arbre syntaxique (a b) (a b) (a b) (a b) a a b b a b a b Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 7 / 14

12 Arbre syntaxique x y x y (a b) (a b) (a b) (a b) a b a a b a b a b b Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 7 / 14

13 Arbre syntaxique (a b) (a b) (a b) (a b) a b a a b b x x a b a b (a b) Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 7 / 14

14 Arbre syntaxique x y x y (a b) (a b) (a b) (a b) a b a a b b a b a b (a b) a b Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 7 / 14

15 Arbre syntaxique x y x y (a b) (a b) (a b) (a b) a b a a b b a b a b (a b) a b (a b) (a b) Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 7 / 14

16 Exemple : tiers-exclu On peut définir une fonction unaire ainsi : a a a a a a La valeur de vérité de l exemple précédent dépendait des valeurs de vérité de ses variables : elle était un exemple de fonction contingente. Voici par contre une fonction qui est toujours vraie : une loi logique. C est le principe du tiers-exclu : au moins une entre a et a doit être vraie. Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 8 / 14

17 Exemple : contradiction Essayons avec a a a a a a Voici une fonction qui est toujours fausse : une contradiction. Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 9 / 14

18 Exemple : non-contradiction Par la définition de négation : en niant une contradiction on obtient une loi logique. On va donc rapidement écrire (a a) a a a a (a a) C est le principe de non-contradiction : a et a ne peuvent pas être simultanément vraies. Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 10 / 14

19 Exemple : bivalence La conjonction de deux lois est aussi une loi. La conjonction du tiers-exclu et de la non-contradiction donne ainsi une nouvelle loi, que l on connaît déjà : le principe de bivalence. (a a) (a a) a a a a (a a) (a a) (a a) En mots : une proposition est soit vraie soit fausse. Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 11 / 14

20 Exemple : double implication On peut définir l équivalence comme une double implication, en utilisant l implication et la conjonction, ainsi : (a b) (b a) a b a b b a (a b) (b a) On voit que la dernière colonne correspond à (a b). Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 12 / 14

21 Formules Loi logique : vraie pour toute éventualité Contradiction : fausse pour toute éventualité Formule contingente : parfois vraie, parfois fausse, selon l éventualité. Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 13 / 14

22 Conclusion À retenir expressions : objets et propositions arbre syntaxique d une expression table de vérité d une expression logique Syllabus : Ch 3 Prochainement Logique des prédicats : Négation Formes Inférences immédiates (carré logique) Syllogismes Syllabus : Ch 4. Gagliolo (ULB) Tables de vérité SOCAD173:3 14 / 14