Apprentissage des nombres : Cycle 1 et CP Premiers apprentissages

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1 Apprentissage des nombres : Cycle 1 et CP Premiers apprentissages Les programmes scolaires On parle d apprentissage des nombres naturels et/ou entiers. Cycle 1 : il s agit surtout de découvrir les quantités (aspect cardinal) et l ordre (aspect ordinal), ainsi que la suite numérique orale des nombres. D après les programmes scolaires, les élèves doivent savoir : exprimer des quantités, stabiliser la connaissance des petits nombres, utiliser les nombres pour désigner une position, connaître la suite orale des mots-nombres (jusqu à 30), écrire les nombres avec des chiffres (jusqu à 10), dénombrer, évaluer et comparer des collections d objets, réaliser une collection avec un nombre donné, comprendre qu un nombre s obtient en ajoutant 1 au nombre précédent, (dé)composer des collections jusqu à 10. CP : il s agit de découvrir l étude structurée de la numération décimale et le calcul. D après les programmes scolaires, les élèves doivent savoir : (dé)composer et comparer des collections (jusqu à 20), dénombrer, repérer un rang dans une file, comprendre la relation ordinaux/cardinaux, utiliser les symboles =/ /</>, comparer/ranger/intercaler des nombres. Le langage des nombres : Les élèves doivent circuler entre les registres analogiques, verbaux et symboliques (cette circulation s appelle transcodage). Analogique : ce registre fournit aux élèves des outils élémentaires pour résoudre de premiers problèmes arithmétiques et avoir des points de repères pour contrôler les résultats de calculs portant sur des petits nombres et en fournit des images mentales. Verbal : ce registre permet de communiquer oralement et de compter un par un : il est utilisé également dans l apprentissage par cœur (ex : tables de multiplications) Symbolique : ce registre est utilisé pour communiquer à l écrit, poser et calculer des opérations en colonnes et obtenir un résultat avec une calculatrice. Registre analogique - quantités d'objets : IIIII - constellations (usage du dé) - avec les doigts Registre verbal - Cinq en français et five en anglais Registre symbolique - écriture chiffrée : 5 en écriture arabe et V en écriture romaine La reconnaissance des écritures chiffrées est l objet d un apprentissage progressif qui nécessite un étayage de la part du maître. Il peut utiliser : les jeux de cartes traditionnelles (ex : la bataille), la file numérique (qui associe l expression orale d un nombre et sa représentation chiffrée. 1

2 Typologies de problèmes et usage des nombres : Mémoriser Comparer Anticiper le résultat d actions Variables didactiques Nombres cardinaux (quantité) Nombres ordinaux (position) Problèmes de reconnaissance ou de réalisation Problèmes de repérage d objets dans une liste de collections équipotentes : les nombres ordonnée : les nombre expriment une position expriment une quantité et permettent de la dans une liste et permettent de la garder en garder en mémoire, de la communiquer, de la mémoire, de la communiquer, de la retrouver compléter Problèmes de comparaison : les nombres Problèmes de comparaison : les nombres permettent de déterminer quelle collection a +/- permettent de comparer les positions occupées d objets, de les ranger de la plus grande à la plus par des objets dans une liste. petite. Problèmes d anticipation portant sur des Problèmes d anticipation liés au repérage quantités : les nombres permettent d anticiper d objets ordonnés : les nombres permettent des résultats (augmentation, diminution, d anticiper le résultat d un déplacement dans partage) ou de retrouver une quantité avant sa une liste ou de retrouver un objet avant son transformation. déplacement. L anticipation d action n est possible que si la situation a du sens pour l enfant (situation réelle, proche ou déjà vécue). Le choix des situations est primordial par le maître. Taille des nombres, disponibilité des objets (sont-ils accessibles? partiellement ou pas du tout?) Collections proches ou éloignées, disposition des Nature de la collection (les objets sont-ils objets, mobilité des objets (fixes : nombres sur identiques?), modalités de repérage (peut-on papier, mobiles : objets à déplacer), nombre écrire sur les objets ou les désigner du doigt?) d objets (petit ou grand?), conditions de réalisation (ex : nombre d essais possibles) Procédures de base : - La correspondance terme à terme ou paquet par paquet : il s agit d associer un a un (ou paquet par paquet) les objets de deux collections. Ex : 1 paille avec 1 verre ou 3 pailles avec 3 verres. Cette procédure est souvent utilisée par des enfants ne sachant pas encore dénombrer. Difficultés : si les collections sont éloignées, si les objets ne sont pas déplaçables ou s ils sont trop mobiles (ex : billes/perles). - La collection intermédiaire : il s agit de mémoriser la quantité à l aide d une collection intermédiaire. Ex : 3 pailles, l élève lève 3 doigts qui l aideront à choisir 3 verres. - Le dénombrement : il s agit d exprimer une quantité par un nombre. On distingue le subitizing (reconnaissance immédiate de la quantité), valable pour de très petites quantités (<5 objets) ; et le comptage un par un (mise en relation des mots-nombres avec les éléments d une collection) qui se divise en cinq principes : o Principe d adéquation unique : chaque mot énoncé est en stricte correspondance avec un seul élément de la collection o Principe d ordre stable : les mots utilisés sont toujours les mêmes et sont énoncés dans un ordre strict o Principe cardinal : le dernier mot de la suite exprime la quantité o Principe d abstraction : possibilité de compter des objets différents o Principe de non-pertinence de l ordre : peu importe l ordre de comptage, le dernier mot-nombre prononcé est toujours le même. - L estimation approximative : il s agit d évaluer approximativement une quantité avec la conscience que celle-ci n est pas nécessairement exacte mais qu elle donne un bon ordre de grandeur. - La numération : il s agit de numéroter fictivement les objets en récitant la suite des nombres en même temps qu on pointe les objets et de préciser l ordre dans lequel on a compté. Ex : l objet est dans la 6 ème boite en partant de la gauche. 2

3 - Le recomptage : l élève représente par exemple sur ses doigts les nombres (ex : 3 et 4) et compte ensuite tous les doigts - Le surcomptage (comptage en avant) : l élève retient 3 et compte en avançant de 4 jusqu à 7. Difficultés : cette procédure devient faillible avec de grands nombres - Le décomptage (comptage en arrière) : l élève retient 8 et recule de 3 pour trouver 5. Difficultés : il est plus difficile de reculer dans la suite des nombres. - Le double comptage : il s agit de faire avance deux suites numériques en même temps. Ex : de combien de cases le pion doit avancer pour passer de la case 5 à la case 9 : six (1), sept (2), huit (3), neuf (4). Difficultés : l élève risque de se perdre dans les deux comptages, il peut aussi commencer à compter à partir du mauvais nombre. - Les premières procédures de calcul : elles sont possibles à partir d un travail de (dé)composition de quantités associées à des expressions verbales (ex : 2 et 2 font 4, 3 et 2 font 5 ) 3

4 Apprentissage des nombres : Cycles 2 et 3 Nume ration de cimale Les programmes scolaires C est le début de l étude structurée des différents modes de désignation des nombres (avec des chiffres ou des mots). Les élèves sont amenés à comprendre ces systèmes, à les mettre en relation et à les utiliser. Cycle 2 : comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer et comparer, utiliser diverses stratégies de dénombrement (décomposition, recompositions, unités intermédiaires jusqu à 100 en CP, jusqu à 1000 en CE1, jusqu à en CE2), repérer une position dans une file, relation ordinaux/cardinaux, comparer/ranger/encadrer/intercaler des nombres en utilisant les symboles =/ /</>, utiliser diverses représentations des nombres (chiffres, lettres, noms, graduations, constellations, doigts ) et les transcoder, comprendre les unités de numération et leurs relations (unités, dizaines, centaines, milliers), associer un nombre à une position et sa distance à l origine, associer un nombre à une grandeur et la mesurer. Cycle 3 : utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples et les nombres décimaux, (dé)composer les grands nombres entiers en utilisant des regroupements par unités de numération (unités, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards), comprendre et appliquer les règles de la numération aux grands nombres (jusqu à 12 chiffres), comparer/ranger/encadrer les grands nombres entiers, les repérer et les placer sur une demidroite graduée adaptée. Désignation orale des nombres : Passage de l oral à l écrit et de l écrit à l oral, utilisant trois types d apprentissage : - Apprentissage du début de la suite orale des nombres : récitation de la suite orale/comptine numérique en prenant en compte ses irrégularités. Ex : de 11 à 19, le système décimal n est pas pris en compte pour 11, 12, 13, 14, 15 et 16 qu on aurait tendance à prononcer dix-un, dix-deux, etc. Il s agit alors d apprendre par cœur la suite numérique. De 20 à 59, il existe une sur-comptine des dizaines (vingt, trente, quarante) qui permet une construction régulière (ex : vingt-trois est construit comme trente-trois). De 60 à 99, il y a deux difficultés majeures : il n y a plus un mot pour chaque dizaine mais pour deux dizaines (ex : soixante-deux et soixante-douze), les nombres sont décomposé de manière variée (ex : 70 = alors que 80 = 4x20 et que 90 = 4 x ). - Apprentissage de la correspondance oral-chiffré : de 20 à 59, la lecture chiffrée correspond facilement à ce qui est entendu (ex : j entends 37, je vois 3 pour trente et 7 pour sept donc trente est associé à 3). De 60 à 99, il faut travailler en deux temps : d abord les mots-nombres de 60 à 79 et ensuite ceux de 80 à 99 de manière à insister sur les irrégularités, les différences et les ressemblances. Au-delà de 100, l utilisation de système canonique (puissance de 10) est une aide (ex : 2393 = (2x1000)+(3x100)+93 et on lit deux-mille-trois-cent-quatre-vingt-treize). Pour les grands nombres, l écriture chiffrée est organisée par tranche de six et sous-tranche de trois chiffres en commençant par la droite. Difficultés : l élève traduit ce qu il entend ou ce qu il lit (ex : 76 entendu devient 616 écrit ou 2050 entendu devient écrit). - Apprentissage de la comparaison de nombres exprimés verbalement : la comparaison se fait principalement par appui sur certains mots entrant dans la composition des mots-nombres étudiés. Les élèves doivent être conscient que le nombre de mots utilisés ne joue pas sur la taille d un nombre (ex : mille en un mot est plus grand que troiscent-quatre-vingt-treize en cinq mots). 4

5 Typologies de problèmes pour comprendre la numération chiffrée : Problèmes faisant intervenir la relation entre quantité et écritures des nombres en chiffres Problème de codage (de la quantité à l écriture chiffrée) : organiser une collection importante pour pouvoir écrire facilement le nombre d objets qu elle contient. Connaissances : régularité des groupements successifs par dix, égalités (1 dizaine = 10 unités, etc.), chaque unité de numération a une position spécifique dans l écriture du nombre, le rôle de 0, les décompositions associées (ex : 3012 = ) Problème de décodage (de l écriture chiffrée à la quantité) : construire une collection dont le nombre d objets est donné par son écriture chiffrée. Connaissances : recours au tableau de numération Difficultés : ne pas confondre par exemple nombre de centaines et chiffres de centaines. Procédures Principe de groupements réguliers : il s agit de représenter la quantité d objets par des groupements successifs réguliers de dix : groupements de 10 objets, puis de 10 dizaines d objets, puis de 10 centaines d objets Cf. l utilisation du boulier Principe de groupement-échange : il s agit de représenter la quantité par un nombre limité d objets choisis à l avance qui permet de produire l écriture chiffrée. Ex : un carré = 10, un triangle = 100 A chaque type d objet est associée une valeur et une position dans l écriture chiffrée. Cf. la monnaie (5 pièces de 1 = 1 billet de 5 ) Principe de groupements réguliers : il s agit d ajouter des groupements réguliers permettant d obtenir le nombre d objets. Principe d interprétation directe : il s agit de comprendre le nombre et de le reformuler. Ex : 243 = 2 centaines, 4 dizaines et 3 unités, ou 24 dizaines et 3 unités. Problème de comparaison de nombres entiers à partir de leurs écritures chiffrées. Difficultés : l élève ne fait pas attention à la position des chiffres (ex : 46>203 car selon lui 4>2), l élève additionne les chiffres au lieu de comparer les nombres (ex : 23<17 car selon lui 5<8), l élève ne maîtrise par les symboles de comparaison (< et >), l élève compare les nombres en commençant par les unités. Problèmes pour écrire des suites de nombres : l écriture chiffrée de nombres est régulière et correspond à des groupements en base dix. Connaissances : suite des nombres de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100 Difficultés : l élève ajoute 1 à la dizaine au lieu de l unité (ex : 29 39), l élève n isole pas les unités des dizaines (ex : ), l élève fait avancer le premier chiffre non nul en partant de la droite (ex : ) Problèmes pour placer/repérer des nombres sur une ligne graduée. Dès le CE1. Connaissances : suite des nombres (1 en 1, 5 en 5, 10 en 10, 100 en 100), associer nombres et position, comparer des nombres, proximité entre les nombres. Difficultés : l élève ne tient pas compte du pas choisi (ex : il utilisr 1 au lieu de 10 sur la règle), l élève ne tient pas compte de la relation entre les nombres (ex : il place 325 au milieu de [300 ; 400] au lieu de le placer à la fin du premier quart) 5 Principe de comparaison des chiffres. Avec deux nombres n ayant pas le même nombre de chiffres : le plus grand est celui qui a le plus de chiffres : avec deux nombres ayant le même nombre de chiffres : le chiffre le plus à gauche indique quel nombre est le plus grand, si ce chiffre est identique, on regarde le suivant, etc. Principe de représentation par des quantités : en comparant 6 groupements de 10 et 4 groupements de 10, les élèves concluent que le premier nombre est le plus grand. Aide et remédiation : afficher la suite numérique avec des outils empruntés à la vie quotidienne (ex : mètre de couturière, bandes numériques, tableaux de nombres, droites numériques graduées ) S appuyer sur les nombres déjà placés : l élève peut numéroter les traits et avancer ou reculer.

6 Apprentissage des nombres : Cycle 3 Fractions et nombres de cimaux Les programmes scolaires Cet apprentissage début au CM1 et se poursuit au collège. En primaire, cet apprentissage est limité ( 1, 1, 1, 1, 1 ) ; son but étant d aider à la compréhension des nombres décimaux écrits avec une virgule. Le , seul calcul étudié en primaire est l addition de fractions avec le même dénominateur ; les élèves apprennent également à calculer avec des nombres décimaux. Cycle 3 : utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples et les nombres décimaux, comprendre et utiliser la notion de fraction simple (écriture, oralité, décomposition), repérer et placer des fractions sur une demi-droite graduée, encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs, établir des égalités entre fractions, comprendre et utiliser le nombre décimal (fractions décimales, écritures à virgules et décompositions), repérer et placer des décimaux sur une demi-droite graduée, comparer/ranger/encadrer/intercaler des nombres décimaux. Désignation des fractions et des nombres décimaux Désignation des fractions : les élèves doivent apprendre à la signification de l écriture fractionnaire, la lecture des fractions (mots demi, tiers, quart, -ième), la décomposition d une fraction en partie entière et fractionnaire (inférieure à 1). Difficultés : l élève inverse le numérateur et le dénominateur (ex : 4 et 3 ), impossibilité de donner du sens aux 3 4 fractions >1 (ex : difficile de se représenter 4 de tarte qui ne peut être coupée qu en 3), difficulté à comprendre les 3 relations entre les fractions (ex : 2 = 4 : les élèves peuvent penser que 4 > 2 ) Désignation des nombres décimaux : les élèves apprennent l écriture décimale à virgule, les décompositions associées à cette écriture, les écritures utilisant des fractions décimales et les désignations décimales (lecture courante [quatre-cent-vingt-cinq virgule vingt-six] et lecture signifiante [quatre-cent-vingt-cinq et vingt-six centièmes]). Difficultés : confusion entre écriture décimal et fractionnaire, l élève considère l écriture décimal comme représentant deux nombres entiers séparés par une virgule (ex : 1,8+2,6=3,14), mauvaise maîtrise de la signification des chiffres d une écriture à virgule en fonction du rang qu ils occupent, l utilisation des mots dizaine/dixième comme désignant des rangs plutôt que des valeurs. Comparaison des fractions et des nombres décimaux : La comparaison des fractions n est envisagée que dans des cas simples avec le même dénominateur. Les élèves doivent oublier les comparaisons terme à terme et privilégier la décomposition des fractions (un quart = ½ divisé en deux). Le recours à des représentations des fractions par des longueurs ou des aires est une aide précieuse, de même que leur placement sur une droite graduée. La comparaison de nombres décimaux est importante au cycle 3 ; les élèves utilisent un algorithme de comparaison. Il s agit de considérer la valeur de chaque chiffre en partant du chiffre de plus grande valeur. Difficultés : non-prise en compte de la virgule, comparaison des parties après la virgule comme étant des nombres entiers, plus on se déplace à droite plus la valeur des chiffres est faible, classement par nombre de chiffres (dé)croissant (ex : 3<3,1<3,09). 6

7 Typologies de problèmes pour comprendre les fractions et les nombres décimaux : Mesure : exprimer et communiquer des mesures à partir d une unité Graduation : repérage des points sur une ligne graduée Calcul Insuffisance des nombres entiers naturels La mesure d une grandeur à l aide d une unité donnée s exprime rarement par un nombre entier. Pour le repérage des points sur une ligne, les nombres entiers laissent beaucoup de vides. Certains calculs ne donnent pas de réponse satisfaisante avec les entiers naturels. Apport des fractions et des nombres décimaux L idée de fractionner l unité permet d exprimer une mesure en n utilisant qu une seule unité. Ce fractionnement conduit aux fractions décimales et aux nombres décimaux. L idée de fractionner chaque intervalle permet de repérer de nouveaux points de cette ligne à l aide d un nombre décimal. Les fractions apportent une solution simple au problème et les nombres décimaux en donnent une approximation aussi bonne que souhaitée (à 10 3 près par exemple) Variables didactiques et procédures de base Variables : rapport entier ou fractionnaire Principe de report et comptage du nombre de reports ; utilisation d un tableau de numération Procédure : identifier la longueur unité et le type de partage de l unité 7