Rappels. Les issues sont regroupées en ensembles appelés... événements.

Transcription

1 I Arbre pondéré. Rappels. Une expérience aléatoire est un dispositif expérimental qui permet de reproduire une expérience dont on ne peut prévoir exactement l'issue (ou résultat). La probabilité d'une issue d'une expérience aléatoire est la fréquence d'apparition de cette issue si l'on répétait inniment l'expérience. La probabilité est donc un nombre compris entre 0 et. Les issues sont regroupées en ensembles appelés événements. Si ω, ω et ω sont des issues d'une expérience, alors A = {ω, ω, ω } est un événement qui est réalisé si on obtient ω ou ω ou ω. La probabilité de A est : P (A) = P (ω ) + P (ω ) + P (ω ) Lorsque la probabilité d'un événement égale on dit que l'événement est certain. Lorsque la probabilité d'un événement égale 0 on dit que l'événement est impossible. Dans une situation d'équiprobabilité (chaque issue à la même probabilité), la probabilité d'un événement A est : P (A) = nombre d'issues qui réalisent A nombre d'issues possibles L'ensemble de toutes les issues possibles est appelé l'univers de l'expérience. Si A et B sont deux événements alors : A, appelé l'événement contraire de A, est l'ensemble des issues qui ne réalisent pas A, A B est l'ensemble des issues qui réalisent A à la fois), et B (les deux --

2 A B est l'ensemble des issues qui réalisent A ou B (au moins l'un des deux). Il existe deux formules calculatoires sur les événements qui sont souvent utilisées dans les exercices. Si A et B sont des événements alors : II Arbre pondéré. P (A) = P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Considérons l'exemple suivant : une urne contient boules à savoir rouge et bleues. Deux boules sont extraites de l'urne avec remise. Chaque embranchement correspond à un choix aléatoire. R R B R B B Niveau : première étape de l'expérience. Niveau : seconde étape. Issues (R,R) (R,B) (B,R) (B,B) Au bout de chaque branche se trouve un n ud. Sur chaque branche de l'arbre est inscrite la probabilité d'obtenir le n ud suivant. Sur un arbre probabiliste, un chemin est une succession de branches qui commence à la racine et se termine dans les feuilles de l'arbre. Une issue de l'expérience aléatoire est un chemin. Une issue peut être notée par la succession des n uds de l'arbre (par exemple (B,R) ou plus simplement BR). Des règles utiles pour les exercices impliquant des arbres pondérés :. La somme des probabilités sur les branches d'un même embranchement vaut.. Principe multiplicatif : la probabilité d'une issue est le produit des probabilités sur le chemin correspondant. --

3 Exercice Une urne contient trois boules blanches et une boule noire indiscernables au toucher. On tire au hasard des boules dans l'urne, une par une, jusqu'à obtenir la boule noire.. Représentez la situation par un arbre pondéré.. Calculez la probabilité que la boule noire soit obtenue au troisième tirage. III Exercices. Exercice pour s'entraîner. Lors d'un sondage, on a demandé à tous les lycées d'un établissement le nombre de sport qu'ils pratiquaient en dehors de l'école au moins occasionnellement. Les réponses sont consignées dans le tableau suivant : Nombre de sports pratiqués Part de lycéens interrogés 0 5,6 %, % 0,5 %, % 4 7, % 5 0,4 % 6 0, % On interroge un lycéen au hasard sur le nombre de sport qu'il pratique. Représentez cette situation par un arbre pondéré. Exercice Selon l'insee (Institut national de la statistique et des études économiques), en 05 : 8,4 % des logements en France sont des résidences principales ; 9,4 % des logements en France sont des résidences secondaires ou occasionnelles ; 8, % des logements en France sont vacants. Chaque logement peut être une maison individuelle ou un logement dans un immeuble collectif. Parmi les résidences principales, 56,9 % sont des maisons individuelles. Parmi les résidences secondaires ou occasionnelles, 57,9 % sont des maisons individuelles. Parmi les logements vacants, 48, % sont des maisons individuelles. On choisit un logement au hasard et on note : R l'évènement le logement est une résidence principale ; S l'évènement le logement est une résidence secondaire ou occasionnelle ; V l'évènement le logement est vacant ; M l'évènement le logement est une maison individuelle ; I l'évènement le logement est dans un immeuble collectif. --

4 Dans la suite de l'exercice, tous les résultats seront arrondis au millième.. Recopiez et complétez l'arbre pondéré suivant : 0,84 0,094 R S V 0,569 M I M I M I. Recopiez et complétez le tableau de données croisées suivant : Maison individuelle Immeuble collectif otal Principale Secondaire (ou occasionnelle) Vacante otal Exercice 4 Exercice 47 page 6 du manuel hachette déclic 05 : construction d'un arbre probabiliste obtenu par la répétition d'une expérience aléatoire et calcul de probabilités. Exercice 5 pour s'entraîner. Exercice 48 page 6 du manuel hachette déclic 05 : construction d'un arbre probabiliste obtenu par la répétition d'une expérience aléatoire. Correction exercice 5 Construisons l'arbre pondéré correspondant à l'expérience. Notons le fait qu'une personne préfère se coucher tard et donc sinon. -4-

5 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7. Calculons P (A). A = { }. Donc P (A) = P (LLL) D'après le principe multiplicatif : = 0,7 0,7 0,7 Finalement :. Calculons P (B). B = { ; ; }. Donc P (A) 0,89 P (B) = P ( ) + P ( ) + P ( ) D'après le principe multiplicatif : Finalement : = 0,7 0,7 0,7 + 0,7 0,7 0,7 + 0,7 0,7 0,7 P (B) 0,49-5-

6 . Calculons P (C). Le nombre de chemins correspondant à l'événement B étant très important il est ici intéressant, mais pas indispensable, de considérer l'événement contraire. C : Aucune des trois personnes interrogées n'aime se coucher tard. C = { }. Donc D'après le principe multiplicatif : P (C) = P ( ) Nous en déduisons la probabilité de C : Finalement : = 0,7 0,7 0,7 P (C) = P (C) = 0,7 0,7 0,7 P (C) 0, Calculons P (D). D : Aucune ou une seule des trois personnes aime se coucher tard. D = { ; ; ; }. Donc P (D) = P ( ) + P ( ) + P ( ) + P ( ) D'après le principe multiplicatif : Finalement : P (D) = 0,7 0,7 0,7 + 0,7 0,7 0,7 + 0,7 0,7 0,7 + 0,7 0,7 0,7 P (D) 0 0,79 5. Calculons P (E). Nous remarquons que E = A. Donc P (E) = P (A) = P (A) = 0,7-6-

7 D'où P (E) 0,60 Exercice 6 pour s'entraîner. Exercice 49 page 6 du manuel hachette déclic 05 : tableur et arbre. Exercice 7 pour s'entraîner. Le supermarché Rond-Point organise des ventes promotionnelles "ash". Les clients ont quelques minutes pour proter des promotions. Lors d'une de ces ventes un ensemble d'ustensiles de salle de bain composé : d'une serviette de bain (Grande ou Petite), d'un gant de toilette (Vert, Rouge ou Jaune) et d'un rideau de douche (Blanc ou ransparent) est proposé. Chaque client prend exactement un gant de toilette, une serviette de bain puis un rideau de douche.. Dessinez un arbre rendant compte de cette situation.. Inquiet de manquer l'ore promotionnelle, un client prend au hasard un gant de toilette, une serviette de bain puis un rideau de douche. Quelle est la probabilité que ce client prenne une grande serviette (G), un gant rouge (R) et un rideau blanc (B)?. On note A l'événement : le client prend un gant de toilette jaune. Énumérer les issues qui réalisent A. En déduire la probabilité de A. 4. Calculer la probabilité qu'un client prenne un gant de toilette Vert ou Rouge. 5. On note B l'événement le client prend un rideau de douche blanc. Énumérer les issues qui réalisent B. En déduire la probabilité de B. 6. Déterminer la probabilité que le client prenne une petite serviette et un rideau de douche blanc. 7. Décrire l'événement A B par une phrase puis calculer la probabilité de A B. Exercice 8 pour s'entraîner. Exercices 0 et page du manuel Déclic 05. Correction exercice

8 G P V R J V R J B B B B B B GV B GRB GJB P V B P RB P JB GV GR GJ P V P R P J. Le choix du client correspond au chemin (G,R,B). D'après le principe multiplicatif la probabilité de ce chemin est : P (G,R,B) =. A = {(G,J,B),(G,J, ),(P,J,B),(P,J, )}. Donc : = p(a) = p(g,j,b) + p(g,j, ), + p(p,j,b) + p(p,j, ) = = 4. Notons C l'événement le client prend un gant de toilette vert ou rouge. C = {(G,J,B),(G,J, ),(P,J,B),(P,J )}. Donc : p(c) = 4 On en déduit : = p(a) = p(a) = = -8-

9 5. B = {(G,V,B),(G,R,B),(G,J,B),(P,V,B),(P,R,B),(P,J,B)} On en déduit : p(b) = 6 = 6. Notons D l'événement le client prend une petite serviette et un rideau de douche blanc. Il y a issues qui réalisent cet événement : ((P,V,B),(P,R,B),(P,J,B) donc : p(d) = = 4 7. A B : le client prend un gant de toilette jaune ou un rideau de bain blanc. L'événement le client prend un gant jaune et un gant blanc est réalisé par (G,J,B) et (R,J,B) donc : p(a B) = = 6 On en déduit : p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = + 6 = 4 6 Exercice 9 pour s'entraîner. Exercice 0 pour s'entraîner. Exercice noté déjà fait. Un sac contient des boules indiscernables au toucher : vertes, 4 rouges et bleues. On prélève successivement et avec remise deux boules du sac en notant la couleur de chaque boule.. Représentez la situation par un arbre pondéré.. Calculez la probabilité de l'événement E : tirer deux boules bleues.. Calculez la probabilité de l'événement E : tirer au moins une boule bleue. 4. Calculez la probabilité de l'événement E : tirer des boules uniquement rouge ou verte. -9-

10 IV Ce qu'il faut retenir.. Comment construire un arbre : le nombre de niveaux représente le nombre de choix successifs, le nombre de branches sur un n ud représente le nombre de réponses possibles lors d'un choix, indiquer les probabilités correspondants à chaque branche, s'assurer que sur un embranchement la somme des probabilités égale.. Calculer la probabilité d'un chemin : principe multiplicatif.. Calculer la probabilité d'un événement : additionner les probabilités des chemins correspondants à l'événement. 4. Formules calculatoires sur l'événement contraire, les unions et intersections. V Exercices Wims. ieme_es_probabilite_0_00_arbre ieme_es_probabilite_0_00_arbre ieme_es_probabilite_0_00_arbre ieme_es_probabilite_0_004_arbre ieme_es_probabilite_0_005_arbre ieme_es_probabilite_0_006_arbre ieme_es_probabilite_0_007_arbre ieme_es_probabilite_0_008_arbre ieme_es_probabilite_0_009_arbre ieme_es_probabilite_0_00_arbre ieme_es_probabilite_0_0_arbre -0-