Chapitre 07 : Les solides

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1 Chapitre 7 : Les solides Le «volume d'un solide» est le nombre de cubes (dont les arrêtes mesurent unité de longueur) nécessaires pour le remplir complètement. Unités de volume Le mètre cube (m) est l'unité de volume usuelle, c'est le volume d'un cube d'arête de m. Les multiples et sous-multiples du m sont: km hm dam m dm Multiples du m cm mm Sous-multiples du m Remarque : dans un cube d'arêtes m, il y a cubes d'arêtes dm. On a donc : m dm. km hm dam m, dm cm mm Le litre (L) est l'unité de volume utilisée au quotidien, c'est le volume d'un cube d'arêtes dm. Les multiples et sous-multiples du L sont: kl hl dal L Multiples du L dl cl ml Sous-multiples du L Remarque : on a l'équivalence suivante entre m et L : L dm Exemples : () 7 m 7 dm 7 dm 7 cm 7 cm. (2) 62, dam 62, hm,62 hm. () 4 L 4 dl 4 dl 4 cl 4 cl. (4) 98 ml 98 L,98 L,98 dm,98 dm 98 mm. /

2 I] Rappels Le cube Volume arête arête arête Aire de la Base hauteur Le parallélépipède rectangle Volume Longueur largeur hauteur Aire de la Base hauteur Le prisme droit Un patron d'un prisme droit est constitué de : deux polygones superposables (les bases) des rectangles (les faces latérales) Aire latérale périmètre de la base hauteur Volume Aire de la Base hauteur Le cylindre de révolution Un patron d'un cylindre de révolution est constitué de : deux disques de diamètre le diamètre de la base d'un rectangle de dimensions : la hauteur du cylindre et le périmètre de la base Les deux bases sont en contact avec les côtés de la surface latérale qui ont pour dimension le périmètre de la base. Aire latérale périmètre de la base hauteur π diamètre base hauteur Volume Aire de la Base hauteur π rayon rayon hauteur Les pyramides Les deux figures ci-contre correspondent au patron d'une pyramide régulière à base hexagonale. Volume Aire de la Base hauteur Elles sont constituées d'un hexagone régulier (tous les côtés ont la même longueur) et de six triangles isocèles superposables. 2/

3 II] Le cône de révolution Patron angle au centre rayon de la base génératrices même longueur Longueur de l'arc de la section circulaire : la longueur de l'arc est égale à la longueur du cercle de base. Pr 2 π diamètre 2 π rayon Angle au centre : l'angle au centre et la longueur de l'arc sont deux grandeurs proportionnelles. Angle x 6 Longueur 2 π rayon base 2 π g où g est la longueur d'une génératrice. longueur du cercle qui prolonge la section circulaire (c'est un cercle de rayon la génératrice) Exemple : Calculer l'angle de la section circulaire du patron d'un cône de génératrice cm et de rayon cm. Angle x 6 Longueur 2 π 2 π L'égalité des produits en croix donne : x 2 π 6 2 π 6 2 π π Donc pour construire le patron de cône, il faudra construire un angle de 226 pour la section circulaire. Donc, x Volume Volume Aire de la base hauteur π rayon rayon hauteur /

4 Exemple : Calculer le volume d'eau, en L, que peut contenir ce réservoir. 8m Ce réservoir est constitué d'un cylindre et d'un cône. Volume du cylindre : Aire de la base : A π rayon rayon π π m2. m Volume : V aire de la base hauteur 6 π 24 π m. 6m Volume du cône : Aire de la base : A 6 π m2. c'est la même base que pour le cylindre Volume : V2 aire de la base hauteur 6 π 6 6 π 2 2 π m. Conclusion : V V + V2 24 π + 2 π 272 π m 84, m (arrondi au dm près) 84 dm 84 L. Donc, ce réservoir peut contenir environ 84 L d'eau. III] La sphère et la boule Définitions Sphère et boule Soit O un point de l'espace et r un nombre positif. () La sphère de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM r. (2) Un grand cercle de la sphère est un cercle de centre O et de rayon r. () La boule de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM r. Exemple : dans la figure ci-dessus : cette sphère a pour centre O et pour rayon MO le segment [BD] est un diamètre de la sphère, les points B et D sont dits diamétralement opposés les points O, A et C n'appartiennent pas à cette sphère les points M, B et D appartiennent à la sphère les points M, C, O, B et D appartiennent à la boule le point A n'appartient pas à la boule. Remarques : Une sphère est une surface. Elle est «creuse». Une boule est un solide. Elle est «pleine».! Attention, une sphère n'a pas de patron! 4/

5 Aire L'aire d'une sphère de rayon r est donné par la formule suivante : A 4 π r2. Volume Le volume d'une boule de rayon r est donné par la formule suivante : V 4 π r. Exemple : Calculer une valeur approchée au centimètre cube près du volume laissé libre par une boule de 9 cm de diamètre immergée dans une boite cylindrique de diamètre 9 cm et de hauteur 9 cm. Comme le diamètre du cylindre et de la boule est de 9 cm, leur rayon est alors : r 4, cm. Volume du cylindre : V aire base hauteur π r r hauteur π 4, 4, 9 82,2 π cm. Volume de la boule : V2 4 π r 4 π ( 4,) 2, π cm. Volume laisse libre : V V V2 82,2 π 2, π 6,7 π cm 9 cm. Le volume laissé libre par la boule est d'environ 9 cm. /