35 COMPÉTITION JUNIOR DE MATHÉMATIQUE 4 Mai 2011

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1 L ASSOCIATION MATHÉMATIQUE DE CALGARY e 35 COMPÉTITION JUNIOR DE MATHÉMATIQUE 4 Mai 2011 NOM : SEXE : S.V.P. Imprimer M F ÉCOLE : NIVEAU : (7,8,9) Vous avez 90 minutes pour l examen. On y trouvera deux parties : la PARTIE A pour les réponses courtes ; et la PARTIE B pour les réponses complètes. Cet examen comporte 9 pages, celle-ci incluse. Chaque réponse correcte de la PARTIE A vous donnera 5 points, mais vous devez inscrire la réponse dans l espace fourni. Aucune note partielle. Chacun des problèmes de la PARTIE B a une valeur de 9 points. Tous les détails doivent être inclus, et des points seront attribués pour la clarté de la solution. PARTIE A a une valeur totale possible de 45 points. PARTIE B a une valeur totale possible de 54 points. Il vous est permis d utiliser des feuilles de brouillon, mais les instruments géométriques ne sont pas nécessaires. Les tables mathématiques ou toute autre référence sont tout à fait interdites. Par contre, les calculatrices de poche non programmables et sans options graphiques sont permises. Prenez note que les diagrammes ne sont pas dessinés à l échelle ; ils ne sont inclus que pour vous aider visuellement. Lorsque l enseignant vous fait signe de commencer, il est recommandé de lire tous les problèmes et de sélectionner ceux que vous semblent les plus abordables. Répondez bien sûr au plus de problèmes possibles, bien que vous n aurez peut-être pas le temps requis pour les compléter tous. A L USAGE DES CORRECTEURS SEULEMENT PARTIE A 5 B1 B2 B3 B4 B5 B6 TOTAL (max : 99) ASSUREZ VOUS QUE VOTRE NOM ET CELUI DE VOTRE ÉCOLE APPARAISSENT EN HAUT DE CETTE PAGE. CET EXAMEN COMPORTE 9 PAGES, Y COMPRIS CELLE-CI. S.V.P. retourner l examen complet à l enseignant en charge à la fin de la période de 90 minutes.

2 2 / 9 PARTIE A: QUESTIONS COURTES A1 Un magasin vend des tartes. Chaque tarte a un prix identique et deux tartes coûtent 8 $. Combien coûtent trois tartes? A2 La salle de séjour de Nahla figure ci-dessous. Les mesures sont en mètres et tous les angles sont droits (90 ). Quelle est l aire (en m 2 ) de sa salle de séjour? A3 Doan mélange 1 litre de lait à 1% (de matières grasses) avec 2 litres de lait à 2% et 4 litres de lait à 4%. Quel pourcentage du mélange représentent les matières grasses? A4 Neuf individus, tous de tailles différentes, sont assis autour d une table circulaire. Quel est le plus grand nombre d individus qui peuvent être assis de façon à être plus grands que leurs voisins immédiats? A5 Le nombre a 102 fois le chiffre un et le nombre a 101 fois le chiffre deux. En effectuant la soustraction nous obtenons un entier. Quel est la somme des chiffres de cet entier?

3 3 / 9 A6 Dans l étoile à 8 pointes suivante, quelle est la somme des angles A, B, C, D, E, F, G, H? A B C H D E G F A7 Seize pièces de monnaie, numérotées de 1 à 16, ont une face rouge et une face bleue. Initialement, les pièces sont placées face rouge dessus. On commence par retourner les pièces dont les numéros sont des multiples de 2. Ensuite on retourne les pièces dont les numéros sont des multiples de 4. Après cela, on retourne les pièces dont les numéros sont des multiples de 8. En dernier, on retourne les pièces dont les numéros sont des multiples de 16. Au final, combien de pièces se retrouvent face rouge dessus? A8 Cinq points A, B, C, D, E sont placés sur un segment de droite, comme dans la figure. Le segment AE a une longueur de 10 cm. On trace des demi-cercles de diamètres AB, BC, CD, DE comme dans la figure. La somme des longueurs des demi-cercles ÂB, BC, ĈD, DE peut s écrire sous la forme kπ pour un certain nombre k. Quel est ce k? A B C D E A9 Supposons que a et b soient des entiers strictement positifs, et que les quatre nombres a + b, a b, a b, a b soient tous différents et soient des entiers strictement positifs. Quelle est la plus petite valeur que peut prendre a + b?

4 4 / 9 PARTIE B: QUESTIONS À DÉVELOPPER B1 Ariel a acheté une certaine quantité d abricots. 90% du poids d un abricot est constitué d eau. Elle sèche les abricots jusqu à ce que 60% du poids d un abricot soit constitué d eau. 15 kg se sont ainsi évaporés. Quel était le poids initial des abricots (en kg)?

5 5 / 9 B2 Un groupe de dix amis vont ensemble au cinéma. Un autre groupe de neuf amis vont aussi au même cinéma. Quatorze des ces 19 personnes ont acheté chacune en plus une confection régulière de popcorn. Au total il s est avéré que le coût combiné du ticket de cinéma plus les popcorn était le même pour chacun des deux groupes. Le prix du ticket de cinéma est 6$. Trouver tous les prix possibles d une confection régulière de popcorn.

6 6 / 9 B3 Dans la figure, AB = 6 cm, AC = 6 cm et BAC est un angle droit. On tire deux arcs de cercle passant par B et C : un arc est centré en A et l autre est un demi-cercle de diamètre BC, comme montré. A 6 6 B C (a) (1 point) Quelle est l aire du triangle ABC? (b) (2 points) Quelle est la longueur de BC? (c) (6 points) Calculer l aire comprise entre les deux arcs de cercle, c est-à-dire l aire de la partie hachurée de la figure.

7 B4 7 / 9 Étant donné un rectangle différent d un carré, un découpage carré consiste à découper le rectangle en deux parties, dont une est un carré (l autre étant un rectangle possiblement égal à un carré). Par exemple, un découpage carré d un rectangle 2 7 donne un carré 2 2 et un rectangle 2 5, comme montré On part d un rectangle À chaque étape, on effectue un découpage carré de la partie rectangulaire qui n est pas carrée. On continue jusquà ce que toutes les parties soient des carrés. Combien de carrés y a-t-il au total?

8 8 / 9 B5 Cinq équipes A, B, C, D, E participent à un tournoi de hockey où chaque équipe joue contre chacune autre exactement une fois. Tout match résulte en une victoire pour une équipe et une défaite pour l autre ou bien un match nul. Le tableau suivant comportait à l origine tous les résultats du tournoi, mais quelques cases ont été effacées. équipe victoires défaites nuls A 3 B 1 1 C 1 D 0 E 4 En dépit de l information manquante, l issue de chaque match peut être déterminée de façon unique. Pour chaque match du tableau ci-dessous, écrire le nom de l équipe gagnante, s il y a lieu. Sinon, écrire «nul». équipe A vs équipe B équipe A vs équipe C équipe A vs équipe D équipe A vs équipe E équipe B vs équipe C équipe B vs équipe D équipe B vs équipe E équipe C vs équipe D équipe C vs équipe E équipe D vs équipe E

9 9 / 9 B6 Soit ABC un triangle dont les longueurs des côtés sont données par AB = 5, AC = 7, BC = 8. Le point D appartenant au côté AC est tel que AB = CD. On prolonge le côté BA au-delà de A jusqu à un point E tel que AC = BE. Appelons F le point d intersection de la droite ED et du côté BC. E A D B F C (a) (2 points) Trouver les longueurs de AD et AE. (b) (7 points) Trouver les longueurs de BF et F C.